人教B版选修(2-1)《直线与平面的夹角》练习题

1、直线与平面的夹角一、选择题1已知平面 内的角 APB 60，射线 PC 与 PA、 PB 所成角均为135 ，则 PC 与平面 所成角的余弦值是 ()6B. 6A 333D3C. 33答案 B解析 由三余弦公式知cos45 coscos30 ， cos 63 .2三棱锥 P ABC 的底面是以 AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是ABC 的外心， PA AB 1， BC 2，则 PB 与底面 ABC 所成角为 ()A60B 30C45D 90答案 B解析 3，由 AB 1， BC 2，知 AC 3， OA 21又 PA 1， PQ AC， PO 2，OB OA 3， tan 3

2、. 应选 B.233正方体ABCD A1B1C1D 1 中，直线BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值是()22A. 4B. 363C. 3D. 2答案 C2解析 由计算得 sin 3 .故选 C.14在三棱锥 P ABC 中， AB BC， AB BC2PA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ()2183A.6B.3C.210D.2106030答案 D解析 以 O 为原点，射线 OA、OB、OP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 如图，设 AB a，则 OP2a,0，14a)，7a，OD (244可求得平面PBC

3、 的法向量为 n (1， 1，17)，OD n210cos(OD，n) 30 ，|OD|n|210，故选 D.设 OD与面 PBC 的角为 ，则 sin305若直线 l与平面 所成角为 3，直线 a 在平面 内，且与直线l 异面，则直线l 与直线 a 所成角的取值范围是 ()2 2A. 0，3B. 3，3 2 C. 2，3D. 3，2答案 D6如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3 倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为 ()122A. 3B. 322C. 2D.3答案 A7如图，正方体 AC1 中，BC1 与对角面 BB1D 1D 所成的角是 ()A C1BB1B C1BDC C1

4、BD1D C1BO答案 D解析 由三垂线定理得，OB 为 BC 1 在平面 BB1D 1D 上的射影故选D.8在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面 BDE所成的角为 ()A. 6B.3C.D.526答案 B解析 以 D 为原点建立空间直角坐标系，平面BDE 的法向量 n (1， 1,2)，而 BA1 (0， 1,1)，cos1 2 3， 30. 2 3 2直线 A1B 与平面 BDE 成 60角9正方形纸片ABCD ，沿对角线AC折起，使点D 在面ABCD外 ，这时DB与平面ABC所成角一定不等于()A30B 45C60D 90答案

5、 D解析 当沿对角线AC折起时， BD在面ABC上的射影始终在原对角线上，若 BD面ABC，则此时B、 D 重合为一点，这是不成立的，故选D.10已知等腰直角ABC 的一条直角边BC 平行于平面与平面 所成的角为30，则 AC 与平面 所成的角为 (A 30B 45C60D 90)，点A ，斜边AB 2， AB答案 B解析 过 B、C作BB 于B ， CC 于C，则 BB CC 1， sin 2， 45.故选 B. 2二、填空题11正三棱柱ABC A1B1C1 的所有棱长都相等，则 AC1 与平面 BB1C1C 的夹角的余弦值为_答案 104解析 设三棱柱的棱长为1，以 B 为原点，建立坐标系

6、如图，则C1(0,1,1) ， A3，1， 1 ，3，1， 0 ， AC12222又平面 BB 1C1C 的一个法向量n (1,0,0) ，设 AC1 与平面 BB1 C1C 的夹角为 .1n|6|AC，sin |cos n，AC 1|4|AC1|n|cos 1 sin2 410.12正四棱锥S ABCD 中， O 为顶点 S 在底面内的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且SOOD ，则直线BC 与平面 PAC 所成的角是 _答案 3013AB ，AA ， A是垂足， BB是 的一条斜线段，B为斜足，若AA9， BB 63，则直线BB与平面所成角的大小为_答案 6014正方体 ABCD A1B1

7、C1D1 中， E、 F 分别为 AA1、A1D1 的中点，则 EF 与面 A1C1 所成的角为 _答案 45三、解答题15如图所示， ABCD 是直角梯形， ABC 90，SA平面 ABCD ，SA AB BC 1， AD 12，求 SC 与平面 ABCD 所成的角解析 解法 1：如图所示，设n 是平面 的法向量， AB 是平面 的一条斜线， A ，则AB 与平面 所成的角为 arccos|AB n|；2|AB | n AS是平面ABCD 的法向量，设 CS与AS的夹角为 . CS CB BA AS， ASCS AS(CB BAAS) ASAS 1.(CB BA AS)2|AS|1， |CS

8、|CB |2 |BA |2 |AS |2 3， 3 cosASCS 3 .|AS| |CS|3 arccos 3 .从而 CS 与平面3ABCD 所成的角为 arccos23 .解法 2：连结 AC，显然 SCA 即为 SC 与平面 ABCD 所成的角计算得：AC2，tanSCA2，2故 SC 与平面 ABCD 所成角为 arctan 22 .16如图，在直三棱柱 ABO A BO中， OO 4，OB 3，AOB 90.D 是线段 A B的中点， P 是侧棱 BB上的一点若OPBD，试求：(1)OP 与底面 AOB 所成的角的大小；(2)BD 与侧面 AOO A所成的角的大小解析 如图，以 O

9、 为原点建立空间直角坐标系，由题意，有3， 2，4，B(3,0,0) ， D 23设 P(3,0， z)，则 BD ，2，4， OP (3,0，z)2 BD OP， BD OP 9 4z0， z 9.289P 3， 0，8 .(1) BB 平面 AOB ， POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角9833 tan POB 8， POB arctan .38故 OP 与底面 AOB 所成角的大小是 arctan3. 8(2) OB (3,0,0) ，且 OB 平面 AOO A， 平面 AOO A 的法向量为(3,0,0) OB33又 DB (3,0,0) 2，2， 4 2， 2， 4，3 (

10、2) 0 (9 OBDB 324) 0 .2又 |OB| 3，322289，|DB|2(2) (4)2 923OBDB cos OB，DB 8989 .|OB| |DB |3 2 BD与侧面AOO A 所成的角的大小为 3 OB ， DB arccos(或写成22893arcsin)8917 如图，正方体ABCD A1B1C1D1 中， E 是 CC1 的中点，求BE与平面 B1BD 所成角的正弦值解析 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(2,2,0) ， B1(2,2,2) ， E(0,2,1) ， BD ( 2， 2,0)， BB1 (0,0,2)， BE ( 2,0,1)

11、设平面 B1BD 的法向量为 n(x， y， z) ， nBD ， n BB1nBD 2x 2y 0，nBB1 2z 0 x y，z0令 y 1 时，则 n ( 1,1,0)，10nBEcos 5 .|n|BE|即 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为10.518 (2018 京北)如图，在三棱锥 P ABC 中， PA底面 ABC，PA AB， ABC 60， BCA 90，点 D， E 分别在棱PB，PC上，且 DE BC.(1)求证： BC平面 PAC；(2)当 D 为 PB 的中点时，求AD 与平面 PAC 所成的角的大小； 解析 考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容

12、，可以用直接法实现，也可用向量法解法一： (1) PA底面 ABC， PA BC.又 BCA 90， AC BC.BC 平面 PAC.1(2) D 为 PB 的中点， DE BC， DE 2BC.又由 (1)知， BC平面 PAC， DE 平面 PAC，垂足为点E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角PA 底面 ABC， PA AB，又 PA AB， ABP 为等腰直角三角形， AD 1 AB.2在 RtABC 中， ABC 60， BC 1AB. 2DEBC2 在 Rt ADE 中， sin DAE AD2AD4 . AD 与平面 PAC 所成的角的大小为arcsin24 .解法二： (1) 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系Axyz.3 设 PA a，由已知可得 A(0,0,0) ， B 2a， a， 0 ，23C 0， 2 a， 0， P(0,0， a)1(1) AP (0,0， a)， BCa，0， 0 ，2 BCAP0， BC AP.又 BCA 90，BC AC.BC 平面 PAC.(2) D 为 PB 的中点， DE B