9第九章机械振动

1、第九章 机械振动（一）简谐振动（二）简谐振动的合成（三）阻尼振动（四）受迫振动与共振目 录1第九章 机械振动（一）简谐振动机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动.振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化.特征： 重复性、周期性； 对任意周期的运动,可采用傅里叶展开分析在数学上,一个周期为T的函数可被展开为一系列不同频率的简谐函数的叠加傅里叶级数展开：其中 而 被称为基频简谐振动:不能进一步分解,是最根本的、成分单纯的振动2理想模型轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹 性力作用下的直线运动.由牛顿定律：弹簧振子的运动一、简谐振动的特征及其表达式令第九章 机械振动3方程的解为：简

2、谐振动的运动方程速度表达式：加速度表达式：第九章 机械振动4二. 描述简谐振动的特征参量振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值周期T：完成一次全振动所需时间频率 ：角频率 ：第九章 机械振动5相位：决定简谐运动状态的物理量初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量设 初始条件决定振幅和初相位相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态.第九章 机械振动6例题9.1 设想地球内有一光滑隧道,如下图。证明质点m 在此隧道内的运动为简谐振动,并求其振动周期.证明：质点m受力分析oyrR第九章 机械振动建立oy坐标系7思考：巴黎与伦敦两城市直线距离为300Km。现用一条直的地下铁道将其连接,两

3、城市间的火车仅在重力作用下运行,试求火车的最大速度以及从伦敦出发到达巴黎所需时间（地球的半径为6400Km,g=9.8m/s2,忽略摩擦力）。 满足简谐振动微分方程,故为简谐振动。其周期：即第九章 机械振动8三、常见的简谐振动（1）竖直悬挂的弹簧振子选平衡位置为坐标原点平衡时位移x时故物体仍做简谐振动x第九章 机械振动9（2）单摆重力形成的力矩,在角度很小时有根据转动定律说明：单摆的运动也是简谐振动,故第九章 机械振动又有10（3）复摆:一可绕水平固定轴摆动的刚体类似单摆写出方程为：OC结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力,即其中称为等值单摆长第九章 机械振动111. 旋转矢量图示

4、法x0t+0Opt=0M说明:旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法;不能把M的运动误认为简谐振动。四、简谐振动的表示法 模 振幅A作坐标轴ox ,自原点作一矢量与x 轴的夹角 相位角速度 角频率初始与x 轴的夹角 初相第九章 机械振动旋转矢量 简谐振动12P点坐标、速度和加速度都作简谐振动 矢端M在x 轴投影的运动规律：P点的坐标即M点位矢在x 轴上的投影速度即M点速率在x 轴上的投影加速度即M点向心加速度在x 轴上的投影0t+0Opt=0M第九章 机械振动13例题9.2 一物体沿x轴作简谐振动, 振幅为0.24m, 周期为2s, 当t=0时x0=0.12m, 且向x 轴正方向运动. 试求:

5、 1) 振动方程; 2) 从x=0.12m, 且向x轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所需的时间.当t =0时, x0=0.12m, v00 为确定初相, 画出t=0时旋转矢量的位置由题知解:1) 设振动方程为Opxt=0M第九章 机械振动提示:用旋转矢量图示法求解14振动方程为:由图得到2) 从x = -0.12m, 且向x轴负方向运动的状态, 回到平衡位置所需的时间xDOpM第九章 机械振动152. x-t 曲线图示法 简谐振动也可用x-t 的振动曲线表示,如以下图所示,图上已将振幅、周期、和初相标出.x x TtAP1P1P2P0O第九章 机械振动P2x16第九章 机械振动x(v) O

6、t x(a) O t 17解：设运动表达式又当t = 1s时,t(s)O2-2x(m)1由图可见，A=2m，当t = 0时有：例题9.3 已知某质点作简谐运动,振动曲线如图,试 根据图中数据写出振动表达式。第九章 机械振动18解得：第九章 机械振动3. 复数法利用三角函数与复数的关系,简谐振动也可用复数描述：注：上式有意义的是实数局部（或虚数局部）。其中 是复数，称为复振幅。19五、简谐运动的能量设在某一时刻,振子速度为v则系统的动能：该t 时刻物体的位移为,则系统的势能：系统的总能量：谐振动的总能量与振幅的平方成正比,其值由初始条件决定第九章 机械振动20能量平均值第九章 机械振动EP(1/

7、2)E21（二）简谐振动的合成 合成结果仍为简谐运动 合振动与分振动在同一方向, 且有相同频率一、同方向同频率谐振动的合成合振动的运动方程：A2A1x0Ax2x1x任何一个复杂的振动都可看成假设干个简谐振动的合成。第九章 机械振动22讨 论：1) 相位差同相同相, 合振幅最大2) 相位差反相反相, 合振幅最小当A1=A2时, 质点静止3) 一般情况（相位差任意）相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用第九章 机械振动23二、两个同方向不同频率谐振动的合成设一质点同时参与了角频率分别为 的两个同方向的简谐振动设两振动的振幅相同，初相为j合振动的运动方程为：第九章 机械振动24讨论: 两频率都较大

8、, 而频率差很小的情况表明: 一个高频振动受一个低频振动的调制合振动频率合振动振幅xtx2tx1t注意：周期应有|2p(v1-v2)/2|T=p决定第九章 机械振动25合振幅出现时大时小的现象拍现象振幅变化的周期为：拍频：拍现象的应用： 用标准音叉振动校准乐器 测定超声波 测定无线电频率 调制高频振荡的振幅和频率等上述结果也可用旋转矢量合成法描述 若 ，如图， 以 的角速度旋转，则 相对 以 的角速度旋转，则合矢量 的变化角频率为 .注：这里A1 = A2 第九章 机械振动26三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成消去参数t，得轨迹方程运动轨迹椭圆方程，形状决定于分振动的振幅和相位差.合运动是简

9、谐振动，角频率与初相不变，振幅为讨论：1) 轨迹：两个分振动同相合振动坐标的参量方程第九章 机械振动272) 轨迹：合运动是简谐振动，角频率与初相不变，振幅为两个分振动反相 y 比x 位相超前/2, 故椭圆轨道运动的方向是顺时针, 即右旋的.3) 轨迹：第九章 机械振动284) 轨迹： y 比x 位相滞后/2, 故椭圆轨道运动的方向是逆时针, 即左旋的. 当A1=A2时, 正椭圆轨道将变为圆轨道, 即质点作圆周运动.第九章 机械振动29四、两个相互垂直的不同频率谐振动的合成 可看作两频率相等而2-1随缓慢变化, 合运动轨迹将按上页图依次循环地缓慢变化.1. 两分振动频率相差很小第九章 机械振动

10、30 合振动轨道一般不是封闭曲线,但当频率有简单的整数比关系时,是稳定的封闭曲线,称为利萨如图形（如图）。2. 两振动的频率相差很大利萨如图形的应用利用利萨如图形的形状判断二分振动的频率比,再由已知频率测量未知频率。工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差。第九章 机械振动31例9.4 有两个振动方向相同的简谐振动,其振动方程分别为 ,1) 求它们的合振动方程；问: 当3为何值时, x1+x3的振动为最大值？当3为何值时, x1+x3的振动为最小值？解：1) 两个振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动, 合振动方程为2) 另有一同方向的简谐振动第九章

11、 机械振动32所求的振动方程为2) 当 时，相位相同。当 时，相位相反。根据已知条件,t=0时,合矢量应在第二象限,故第九章 机械振动33一、阻尼振动定义：振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。（三） 阻尼振动粘滞阻力牛顿方程二、 阻尼振动的运动微分方程（固有角频率）（阻尼因子）令OxkPxmv第九章 机械振动34将形如 的解代入微分方程，得特征方程其特征根是 按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式的解，代表了振动物体的三种运动方式.得运动微分方程第九章 机械振动351. 弱阻尼时, 阻尼振动运动方程的方程解为阻尼振动的角频率:A0和0 决定于初始条件的积分常数xtO阻尼振动曲线：第九章

12、机械振动36弱阻尼曲线： 振幅随时间t 作指数衰减 近似为简谐振动 阻尼振动周期比系统的固有周期长阻尼振子的能量与品质因数阻尼振子的总能量：机械能不再守恒即损失的能量用于克服粘滞阻力做功第九章 机械振动37 即是物体不作往复运动的极限。系统从周期运动变为非周期振动,称为临界阻尼。 2. 临界阻尼时，特征方程只有一个重根，微分方程的解为临界阻尼特点：不再振动,但趋于平衡最快 品质因数：用来描述阻尼项的大小t时刻阻尼振子的能量与经一周期后损失的能量之比的倍,用Q表示,即这里第九章 机械振动38 这种过阻尼运动方式是非周期运动,振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置, 不再做往复运动. 时,阻尼较大,特

13、征方程有两个不同的实根,这时方程的解为xtO弱阻尼临界阻尼过阻尼3. 过阻尼问题：怎样使灵敏电流计的指针尽快稳定以得到读数？第九章 机械振动391. 定义：系统在周期性外力持续作用下所发生的振动 一、 受迫振动强迫力:阻尼力:恢复力:xmFf-kx2. 受迫振动的运动微分方程（四）受迫振动 共振第九章 机械振动40微分方程的通解为 -简谐振动,稳态解xtO 经一段时间受迫振动变为简谐振动令 ，代入方程,有-阻尼振动, 随时间消失,暂态解其中：第九章 机械振动41由此得定态解的振幅和相位分别为二、共振驱动力的角频率为某一定值时, 受迫振动的振幅达到极大值的现象.共振振幅：共振角频率：稳态解的特点：频率与强迫力频率相同,振幅及初相位完全由强迫力和系统的固有参量决定,与系统初始条件无关第九章 机械振动42分析:1) 越小时2) =0时尖锐振动O0A无阻尼 =0弱阻尼 0大阻尼 0应用:电磁共振选台(收音机)乐器利用共振提高音响效果研究避免共振的破坏的措施：破