离散数学：6-3 子群及其陪集

1、第六章 群 、环、域123代数系统子群及其陪集567群的同态及同构环域的特征 素域4多项式有限域8群的定义6.3.1 子 群 的 定 义设(G，)是一个群，H是G的一个子集，如果按照G中的乘法运算，H仍是一个群，则（H, ）叫做（G, ）的子群。如果G的一个子群H不等于G，即HG，则（H，）叫做（G, ）的真子群。6.3.1 子 群 的 定 义注意：G的子群H不只是一个包含在G中的群，而且H的运算 必须与G的运算一样。平凡子群 单位子群自身非平凡子群 G的子群 6.3.2 子群的判别条件定理6.3.1 （判别条件一） 群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是(1) 若aH，b H，则ab

2、 H；(2) 若a H，则a-1 H；(3) H非空。充分性 由(3)H非空。由(1)，H中的两个元素a，b可以在H内相乘（封闭）。设a,b,c是H的任意三个元素，在G中有(ab) c = a (bc)，此式在H中自然也对,即结合律成立。今证H中有单位元。取任意aH，由(2)a-1H，由(1)aa-1H，即1H；1在G中适合1a=a1=a，故在H中亦有此性质。最后证H中任意a有逆，因由(2)，a-1H，但是G中，a-1a=aa-1=1，此式在H中亦应成立，故a-1即a在H中之逆，故按照G中的乘法，H是一个群，它是G的一个子群。 证明：必要性。设H是G的子群，乘法在H中是封闭的，即(1)成立。

3、(3) 显然成立。 现要证(2)，先证G中的单位元就是H中的单位元，设1是G中的单位元，1是H中的单位元。取任意aH，则1a=a，此式在H中成立，故在G中也成立。以a-1右乘得1(aa-1)= aa-1即1=1，故G中的单位元就是H的单位元。由群的定义，对于H中的a，应有b H使ab=1，此式在G中亦成立，以a-1左乘得b=a-1，因而a-1 H， 即(2)成立。H的单位元素就是G的单位元素H中元素a在H中的逆元素也是a在G中的逆元素。 定理6.3.2（判别条件二） 定理6.3.1中的两个条件(1)，(2)可以换成下面一个条件 (*)若aH,bH，则ab-1H。即： 群G的一个子集H是G的一个

4、子群的充分必要条件是(1)若aH,bH，则ab-1H。(2) H非空。证明：设(1), (2)成立，往证(*)成立。设aH，bH，由(2), b-1H，故由(1)，ab-1H，因而(*)成立。设(*)成立，往证(1), (2)成立。设aH，由(*)可推得，aH, aH，故aa-1H，即1H。又由(*)可推得，1H，aH，故1a-1H，即a-1H，因而(2)成立。设aH，bH，因为(2)已证，故b-1H。再由(*)推知，aH，b-1H，故a (b-1)-1H，即 abH，故(1)成立。 定理6.3.3 （判别条件三）群G的一个有限非空子集H是G的一个子群的充分必要条件是H对G的运算是封闭的，即若

5、a H，bH，则ab H。如果(G, )是有限群，则对G的任意非空子集H，只要运算封闭， (H, )就是(G, )的子群 。6.3.3 循 环 群定理6.3.4 设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集合an| n=0,1,2, ，做成G的一个子群，记为 (a)。此群称为由a生成的子群。证明：(1) (a)非空，例如a0=1 (a)。(2) 任取(a)中二元素am，an，有am(an)-1=ama-n=am-n(a)。故由定理6.3.2， (a)做成G的一个子群。定义6.3.2 群G叫做一个循环群，或巡回群，如果G可以由它的某元素a生成,即有a G使G =(a)。于是定理6.3.4中的子群(a

6、)可称为由a生成的循环子群。 例: 整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。（nZ，+）是由n生成的循环群。试看群G的一个元素a所生成的循环群(1) ： , a-2, a-1, a0, a, a2, 其中a0=1 (1)有两种情形：情形10 ： 如果(1)中所有元素都彼此不同，则称a的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的整数s与t，asat。情形20 ：如果(1)中出现重复的元素，即有整数 st使as=at。不妨设st，于是s-t0而as-t=1，即有正整数m使am=1。若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期为n。例6.3.3 Xn-1=0在复数域中恰有n个不同的根，称为n次单位根，

7、它们做成一n元的乘法交换群 (Un，*)， Un可由任意一个本原n次单位根（即周期为n者）生成，设是一个n次本原单位根，那么，任一个n次单位根都可表示成的一个方幂，因此，(Un，*)是一个循环群，是它的一个生成元。例6.3.4 在所有非0复数构成的乘法群中，1的周期为1，-1的周期为2，i的周期为4，模数r1的复数z=rei的周期为无穷大。定理6.3.5若群G中元素a的周期为n，则 （1）1,a,a2,a3,an-1为n个不同元素； （2）am=1当且仅当nm; （3）as=at当且仅当n(s-t)。证明：因为任意整数m恒可唯一地表为m=nq+r，0rn。故am=anqar=(an)qar=1

8、qar=lar=ar；由于0r2时，本原n次单位根不只一个。那么，在一个循环群中，怎样的元素才能作为生成元呢? 定理6.3.6 （1）无限循环群（a）一共有两个生成元:a及a-1.（2）n元循环群（a）中，元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。 所以（a）一共有（n）个生成元素。证明：如果ak是（a）的一个生成元，那么（a）中每个元素都可表示为ak的方幂。特别地，a也可表示为ak的方幂。设 a=（ak） m= ak m。 （1）由(a)是无限循环群知，km=1.因此，k=1。即，a及a-1为无限循环群(a)的生成元。（2） 如果(a)是一个n元有限群，那么a的周期为n。由定理6.

9、3.5，n|km-1。因此 km-1=nq，km-nq=1。这说明k与n互质。另一方面，如果k与n互质，则有h和-q，使hk-qn=1，hk-1=qn，则 n(kh-1)，a1=akh， a=(ak)h，故a可表为ak的若干次方，总之，a可表为ak的若干次方，当且仅当k与n互质。但在0kn中，共有 (n)个k与n互质，故共有 (n)个元素ak也生成(a) 。 例6.3.5 设是一个12次本原单位根，则全部12次单位根所成的群U12是由生成的循环群： U12=()= k | k=0，1，2，11。U12一共有（12）= 4个生成元：1， 5， 7， 11。6.3.4 陪 集定义: 合同关系设G是

10、群，H是G的子群，a，bG，若有hH，使得 a =bh， 则称a合同于b（右模H）， 记为 ab（右mod H）。结论： 合同关系（右模H）是一个等价关系。证明：1）证反身性, 因为对任意aG，有1H,使得a=a1,所以aa(右mod H)。 2）证对称性, 即若ab (右mod H)，则ba(右mod H)。由a=bh，hH 可以推出b=ah-1，而且h-1 H，故ba（右mod H）。3)证传递性。即证若ab(右mod H)，bc（右mod H），则ac（右mod H）。 由a=bh，b=ck，h，kH，可得a=ckh，其中khH，故ac（右mod H）。陪集 定义6.3.4 群G在合同关

11、系（右模H）下的一个等价类叫做H的一个右陪集.显然，包含a的右陪集，就是以H的所有元素右乘a所得的集合aH。同样，可以定义a合同于b（左模H）：ab（左modH）和H的左陪集。求右陪集的方法若G是一个有限群，求H的右陪集可以进行如下：首先，H本身是一个；任取aH而求aH又得到一个；任取bHaH而求bH又得到一个；如此类推，因G有限，最后必被穷尽，而 G=HaHbH。定理6.3.7设H是群G的有限子群，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。证明： aH=ahhH，又G中有消法律：由ax=ay可以推出x=y，故H中不同元素以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元数等于H的元数。 陪集的性质 (1)

12、若H为G的有限子群,则|aH|=|H|。 (2)H本身也是H的一个右陪集。 (3)aH=H的充分必要条件是aH。 (4)a在陪集aH中。 我们把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。 (5)对于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。证明：由baH知，存在hH，使得b=ah。因此， bH=ahH=a(hH)=aH。 说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。陪集的性质(6) aH=bH的充分必要条件是a-1bH。证明：必要性.bbH及aH=bH知，baH, 故a-1bH。 充分性. 由a-1bH，知， baH,故由性质（5），知 aH=bH。(7)任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 证明

13、： 如果aH和bH相交，则它们包含公共元素c， 即caH，且cbH。因此，由（5）得aH=cH，且 bH=cH。故，aH=bH。 若G是Abel群，则左右陪集没有区别。若G不是Abel群，则左右陪集可能有区别，也可能没有区别定义6.3.5 正规子群设H是群G的子群，设对G中的任意元素g，都有gH=Hg，则称H是G的正规子群。 结论1：“平凡”子群H=1和G都是G的正规子群，H=1时合同关系就是等于关系=；即任意两个元素都不合同，除非它俩是同一个元素。H=G时G中任意两个元素都合同，结论2： Abel群的任意子群是正规子群。重要结论：H是G的正规子群，必要而且只要对任意的gG，gHg-1H证明：

14、必要性. 由H是G的正规子群，知： 对于任意gG，gH=Hg， 即，gHg-1=H，故 gHg-1 H.充分性. 设对任意gG，gHg-1 H。既然此式对任意gG成立，则以g-1G代g仍成立：g-1H（g-1）-1 H，即，g-1Hg H；以g左乘以g-1右乘之，得H gHg-1因此，H=gHg-1对任意gG都成立,即，gH=Hg,因而H是正规子群。Lagrange定理设G为有限群，则G的任意子群H的元数整除群G的元数。证明： 设G和H的元数分别为n和r，设H有s个右陪集。但G等于所有右陪集的并集，不同的右陪集没有公共元素，而且，每个右陪集的元数（按定理6.3.7）等于H的元数r，一共是s个右陪集，故所有右陪集的并集有元数rs，它等于G的元数n：n=rs，或者说，r整除n，商为s。 有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。右代表系从每个右陪集中选出一个元素为代表，全体代表的集合叫做一个右代表系或右代表团