力学电子第6章

1、第6 章第六章振 动 和 波第6 章6.1 线性振动 Oscillatory Motion振动：质点围绕平衡位置作周期性往复运动 机械振动 空间曲线 三维直线振动 直线振动 傅里叶分析 Fourier Analysis 简谐振动 Simple Harmonic Motion第6 章 6.1.1 简谐振动的运动学 Kinematics of SHM1、简谐振动 Simple harmonic motion 一质点沿 x 轴的运动可用余弦函数(也可以正弦函数)来表示时，此质点的运动称为简谐振动 。 x = A cos (+ ) x ： 质点对原点的位移 ： 圆频率 Frequency of cyc

2、le+ ： 相位 Phase ： 初相 Initial phase ( t = 0 时 )第6 章 A： 振幅 Amplitude T： 周期 Period ： 频率 Frequency圆频率 、频率和周期三者之间的关系 ： = 2， = 1 / T 相位是决定质点在 t 时刻的运动状态（位置、速度）的重要物理量 相位相差 2 的整数倍，其质点的运动状态相同。第6 章 2、 简谐振动的旋转矢量 Rotating vector 图 矢量 OM 逆时针以角速度 转动，矢量OM 的端点 M 在 OX 轴上的投影点 P 的位移为： x = A cos (+ ) 矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位

3、置，即为简谐振动的旋转矢量图。MM0XOtxAP第6 章XMP第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章XA第6 章 0 ， Q 超前 Lead P 0 ， Q 落后 Lag behind P 0 同相 Synchronous 反相 Antiphase 超前时间 t =（ ）/ 超前相位 = MM Q POx第6 章例6-1 物体沿X轴简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s 。当t = 0时，位移为 0.06 m，且向X 轴正方向运动。求运动表达式，并求以 x = - 0.06m处回到平衡位置

4、所需的最少时间。解：已知 A = 0.12 m，T = 2 s， = 2/T = ( rad/s ).(1) 初态 t = 0 时， x = 0.06， v 0， 初相 = /3 , 运动表达式为： x = 0.12 cos (-/3 ) (m)( t =1 s ) B ( t = 5/3 s) BA ( t = 0 )x (m)OC0.06-0.06第6 章 (2) 当 x = - 0.06 m时，物体在旋转矢量图中的位置可能在 B 或 B处，显然 B 处回到平衡位置 C 处所需时间为最少。 因为 OB 与 OC 夹角为 =/6，所以最少时间为： t = / = (/6) / = 1/6 秒

5、( t =1 s ) B ( t = 5/3 s) BA ( t = 0 )x (m)OC0.06-0.06第6 章3、简谐振动的速度和加速度 (1) 速度： = dx/dt =A sin(+ ) = A cos(+ +/2) 速度超前位移相位 /2 (2) 加速度: a = dv/dt =2Acos(+) =2.A cos(+) 加速度与位移相反第6 章 4、简谐振动的运动学方程 a = 2 x或 d2x /dt2 + 2 x = 0 5、广义简谐振动 任何一个物理量随时间而变化的规律如果遵从余弦（正弦）函数的关系，则统称为广义简谐振动。第6 章 v 的周相超前 x2avtxx0a 与 x

6、的周相相反。，第6 章 v 的周相超前 x2avtvxx0a 与 x 的周相相反。，第6 章 v 的周相超前 x2avatvxx0a 与 x 的周相相反。，第6 章位移、速度、加速度之间的 相位关系位移速度加速度xtva、以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 xAA21.00t、0 xAA21.00tt = 0时x=A2以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 、000 xAA21.00tt = 0时x=A2v以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示 、000 xA3xAA21.00tt = 0时x=A2v以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示

7、。 、000.=3xA3xAA21.00tt = 0时x=A2v以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 、000.=31xA3xAA21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 、000.=3110 xA3xAA21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0v=dxdt以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 、000.=3110 xA3A2xxAA21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0v=dxdt以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 、000.=31101=2xA3A2xxAA

8、21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0v=dxdt以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 .、000.=31101=21=t1+=xA3A2xxAA21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0v=dxdt以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 .、000.=31101=21=t1+=13xA3A2xxAA21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0v=dxdt以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 .、000.=31101=21=t1+=13=2xA3A2xxAA21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0v=dxdt以及

9、振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 .、000.=31101=21=t1+=13=2=56xA3A2xxAA21.00tt = 0时x=A2vt =1时x=0v=dxdt以及振动方程。求： 例 一谐振动的振动曲线如图所示。 .x = A cos ( 56t3)x = A cos ( 56t3)本题的另一种求法：x = A cos ( 56t3)本题3xAt = 0的另一种求法：x = A cos ( 56t3)本题32AxAt =1t = 0的另一种求法：x = A cos ( 56t3)本题32AxAt =1t = 02+32=T1的另一种求法：x = A cos ( 56t3

10、)本题32AxAt =1t = 02+32=T1T=125的另一种求法：.6.1.2 简谐振动的动力学 Dynamics of SHM由牛顿定律：kx = md xdt22d xdt22=+2x0km=km令2即：=（弹簧振子的圆频率）FmXk0 xxAcos)(t=+由()+tv=Asinx0000A=xvv)(tg22+=当 t = 0 时00v=xAAcossin初始条件： t = 0，x = xo，v = vo注意：初相还需根据旋转矢量图中的 A 的位置来确定 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。b自然长度mg 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长

11、量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b自然长度mgb自然长度静平衡时mgFkb - mg = 0 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0 x平衡位置自然长度取静平衡位置为坐标原点 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度

12、后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重

13、物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹

14、簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下

15、端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0b

16、x 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动

17、，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。b0bx 例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。自然长度自然长度b平衡位置自然长度b平衡位置0 xx自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：F = mg - k ( b + x ) = - kx自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的

18、合外力为：F = mg - k ( b + x ) = - kx可见小球作谐振动。自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：可见小球作谐振动。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=可见小球作谐振动。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=当t0=:可见小球作谐振动。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然长度b

19、平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=00当t0 xb,=:v0可见小球作谐振动。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=00当得t0 xb,A=:v0=b,=可见小球作谐振动。由得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kx自然长度b平衡位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=00 x = b cos (gt + )b当得t0 xb,A=:v0=b,=可见小球作谐振动。由得：mg - kb = 0F = mg

20、- k ( b + x ) = - kx第6 章例6-2 在一轻弹簧下端悬挂 mo = 100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm，现在这根弹簧下端悬挂 m = 250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm，并给以向上 21cm/s 的初速度（这时 t =0）。选 x 轴向下，求振动方程的表达式。解：k =mog/ l = 0.1100.08 =12.5 N/m =(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s初始条件：t = 0 , xo = 0.04 m, vo = - 0.21 m/s A = (xo2+vo2/2)1/2 = 0.05 m tg

21、= - vo /xo = - (- 0.21)/(7 0.04) = 0.75 = 0.64 rad振动方程: x = 0.05cos( 7t + 0.64 ) m弹簧的串联和并联串联公式： k1k2弹簧的串联和并联串联公式： k1k2弹簧的串联和并联串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2k1k2弹簧的串联和并联串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2并联公式： k1k2k1k2弹簧的串联和并联串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2并联公式： k1k2k1k2弹簧的串联和并联串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2并联公式： k = k1 + k2 k1k2k1k2例 ：一

22、劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：k例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因为 k1 = k2k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均

23、分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因为 k1 = k2 ，所以 1/k = 1/k1 +1/k1k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因为 k1 = k2 ，所以 1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：串联公式： 1/k = 1/k1 +1/k2因为 k1 = k2 ，所以 1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1故 k1 = k2 = 2kk1

24、k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：并联公式： k = k1 + k2 k1k2例 ：一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k。解：并联公式： k = k1 + k2 = 2k + 2k = 4kk1k2 简谐振动的能量 = 振动动能 + 振动势能 W = Wk + WpWk = mv2 / 2 = m2A2sin2（ t+ ）/

25、 2WP = k x2 / 2 = kA2cos2（ t+ ）/ 2W = Wk + Wp= kA2 /2 = m2A2/2特点： 1、Wk 最大时，Wp最小为零； Wp 最大时，Wk最小为零。 2、Wk = Wp = kA2/4 = W/2 3、Wk 和 Wp的周期是系统周期的一半。 4、系统的总能量不变。第6 章例6-3 单摆 Simple Pendulum：单摆的运动是简谐振动的一个典型的实例。单摆定义为质量为m的质点用一长为 l 而其质量可忽略的细绳悬挂在固定点O 的系统。解：由于拉力 T v ， T 不作功，故质点在摆动过程中机械能守恒。 设在平衡位置C点的势能为零，则质点在A点的机

26、械能为：EM = mv2/2 + mgl (1-cos)lTOCvm第6 章 因为= l d/dt 代入上式整理得： EM = ml 2(d/dt)2 /2 + mgl (1-cos) = 恒量对上式两边对时间求导整理可得： d2/dt2 + g sin /l = 0 在一般情况下，单摆的摆动不正好是简谐振动。但是，如果摆动的角度 很小时， sin (在 10内)，这样上式可改为： d2/dt2 + g /l = 0 表明在小角度的范围内，单摆的角位移作简谐振动。 圆频率： 周期： 第6 章例6-4 复摆 Physical Pendulum：复摆是能够在重力作用下绕水平轴自由振荡的任意刚体。Z

27、Z水平轴，C为物体质心，质量为 mg。解：转动定理 MZ = I MZ = - mgb sin = d2 /dt2 I d2 /dt2 = -mgb sin 假定振动是小振幅的， sin ，利用 I = mK2，式中K为摆的回转半径，得： d2 /dt2 + gb /K2 = 0表明在 小范围内，角运动是简谐振动 2 = gb/K2ZZCOlbOmg第6 章 2 = gb/K2因此，振动的周期为其中 l = K2/ b叫做等效单摆长度 Length ofthe equivalent simple pendulum，因为具有这个长度的单摆，其周期与复摆的相同。 可以看出，复摆的周期与其质量无关，

28、也与其几何形状无关，只要 K2/ b保持相同。第6 章非简谐振动 Anharmonic Oscillation简谐振动 力: F = - kx， 势能: EP = kx2/ 2 或 EP = k(x - xO)2/2 EP的曲线是一抛物线弹性常数 k = d2EP/dx2非简谐振动 考虑势能不是势物线，但却具有明确的极小值的情况。在平衡位置 xo 处 ( dEP/ dx = 0 )附近的运动可视为简谐振动。 等效弹性常数：k =d2EP/dx2|x = x。xoEPx第6 章例6-5 试用等效弹性常数重新计算例4-6单摆的周期。解：单摆的势能: EP = mgl (1 - cos)，其极小值位

29、置=0，单摆离开平衡点的水平位移x =l sin，因此 ：单摆的圆频率:周期:阻尼振动 受迫振动6.1.3 阻尼振动 Damped OscillationFF=kxv阻尼力弹性力d xdx2dtdtm=kx2kmm=令02（阻尼因子）2dtd xdx22+=00dt2x2rr2+0特征方程：22=0r2+=0特征根：2220 1. 小阻尼r00有两个虚根：r1=+ii2,方程的解为：A0tTx00t x=Aecos()t+0T=2220=22是一非周期运动。临界阻尼过阻尼tx阻尼 2. 过阻尼动力学方程：方程的解为：oF=Fcost 周期性干扰力（强迫力）强迫力的圆频率 oF力幅6.1.4 受

30、迫振动 Forced Oscillationdxdtd xdt22Fokx+cost=m0令kmf=2m=2Fom=,0=d xdtdtdx得222+2xf cost+t2000t2Ax=Aecos()+sin(t-)随时间很快衰减为零稳定时的振动方程 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。稳定时的振幅：时振幅最大，称为振幅共振。 当无阻尼 ( = 0 ) 时, A=o。+t2000t2Ax=Aecos()+sin(t-)A=022()222+4f相位：02-22 tg=0222A当强迫力的圆频率为第6 章dx=A cos(t - ) dtv =vo=A =022()222+4f速度:

31、速度振幅:当 m - k/ = 0， 即 2 = k/m = o2 时，vo 为极大，发生能量共振，此时相位= 0。结论：当 = o时，且速度与强迫力同相时， 发生能量共振 Energy Resonance。m()22+kFovo =oOvoFo第6 章A 较小0oO 较大 A振幅共振 Amplitude Resonance第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6

32、 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6

33、 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6

34、 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6

35、 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章共振实验：123645第6 章 6.2 振动的合成6.2.1 同方向同频率的简谐振动的叠加 设两个简谐振动的频率相等为 ，振动方向为 X 轴方向，以 x1 和 x2 分别代表两运动的质点位移： x1 = A1 cos (+ 1 ) x2

36、 = A2 cos (+ 2 )式中 A、A2 中1、2 分别表示这两个简谐振动的振幅和初相位 。因此，质点的合位移为：x = x1 + x2 =A1cos(+1) + A2cos(+2 ) = Acos(+)第6 章 其中 A = A12 + A22 + 2A1A2cos(2- 1)1/2 tg =（A 1sin1 + A2sin2 ） （A 1cos1 + A2cos2 ）讨论(1)当2-1 =2k 同相 in phase A = A1 + A2 A 最大，加强 。(1) 当2 -1 =(2k+1) 反相 in opposition A = A1A2 A 最小，减弱 。 k 取整数1、2、

37、3、4、5、等等。12A2A1AXx2x1xO第6 章例 6-5 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的相位差为 - = /6，若第一个简谐动的振幅为 17.3 cm，试求：1、第二个简谐振动的振幅 A22、第一、二两个简谐振动的相位差 1 - 2解：已知 A = 20 cm A1 = 17.3 cmA2 =A2 +A12 -2AA1cos( - )1/2 = 10 cm - xoAA2A1第6 章 A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos ( 1 - 2 ) cos (1 - 2 ) = A2 - A12 + A22 / 2A1A2 = 0

38、2 1= /2 1 2= /2 - xoAA2A1 相互垂直振动的合成 )xy(A1A22= 0 xy12+= 0AAA221222xyA2(xxyy111122222222+=AAAAcos()2sin2合振动振幅为1222AAA+=xy1A=2AxyA12A06.2.2 同频率相互垂直振动的合成 )xy1122+=AAcoscos()tt频率相同的两个分振动1=201. 2.=122xy= 1+21222AA2xy1AA2029944547432343.周相差12为不同值时的合成结果12拍频=1221xx=AAcoscos2tt2x=xx+12221111122=2A cos2()2cos

39、tt2+2一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。1、同方向情况拍现象6.2.3 不同频率振动的合成tttxx12x=20.25s0.75s0.50s=2161812、频率比为整数时相互垂直振动的合成李萨如图形1：21：32：3第6 章6.2.4 振动的分解11354Ax=(sinsinsinttt+35.)=4Ak = 08(2k+1)(2k+1)sintxtTA第6 章11354Ax=(sinsinsinttt+35)x基频t第6 章基频3xt11354Ax=(sinsinsinttt+35)第6 章基频35xt11354Ax=(sinsinsinttt+35)第6 章基频35xt1135

40、4Ax=(sinsinsinttt+35)合成后第6 章350A分立谱频 谱0A连续谱第6 章6.4.1 机械波的产生和传播 1、产生条件 (1) 波源 受迫振动 (2) 连续弹性媒质 2、 机械波的分类横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行6.4 机械波第6 章3、几何描述波线：表示波的传播途径和方向。波阵面：所有振动相位相同的点连成的面， 最前面的那个波阵面则称波前。例：(1)球面波 波阵面为球面; 在各向同性介质中波线与波面垂直球面波波阵面波线平面波波线波阵面(2)平面波 波阵面为平面。第6 章4、波动是振动状态的传播，传播方向上的质元相位永远落后波

41、源相位。6.4.2 波动方程 描述介质中同一波线上不同位置质点的位移与时间的关系。简谐波：波源作简谐振动。由于介质中各 质点在波源的扰动下作受迫振动， 所以各质点都以波源相同频率作 简谐振动。第6 章 设波以波速 u 沿着 x 轴的正方向传播，y 轴表示 x 轴 ( 波线 ) 上质点的位移。波源O点作简谐振动，其振动方程为： yo = A cos (t +) B 点落后时间为 x /u ，相应落后相位为x /u ，则 B点的振动方程为：yB = Acos(t+-x/u) = Acos(t - x / u)+ 因为B点是任意的，所以上式即平面简谐波的波动方程。xxyuBO1、平面简谐波第6 章平

42、面简谐波的波动方程： y = A cos( t - x / u ) +因= 2， = 1/ T，并设= u / = u T，则上式还可写成下列三种形式： y = A cos2 ( t - x /) + y = A cos2 ( t / T - x /) + y = A cos2 ( x - u t ) /+第6 章2、波动方程的物理意义(1) x 给定，y t 曲线表 示 x 处质点振动方程。ytoyxo(2) t 给定， y x 曲线表示 t 时刻波形方程 ，其空 间周期为。波长：空间周期又称为波长，它表示在 波线上相距一个波长的两质点的 相位差为/ u = 2/ u = 2。第6 章(3)

43、 y 给定 ( 即 x 与 t 同时变化 ) 当 t t +t 时，x x +x 处， A cos( t - x / u ) + = A cos t +t - ( x +x ) / u + x = ut 即：整个波形以速度 u 向传播方向移动。yyxyxxtt + t 第6 章解：设波动传播到 P点 ( x xo )，则 P点落后 Po 的相位为( x - xo ) / u，所以 P点的振动方程为：yP = A cost -( x - xo ) / u 因为 P点是任意的，所以上式即为该平面简谐波的波动方程。例6-6 有一以波速为 u，沿 x 轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到 Po 点

44、 ( 离原点为 xo ) 处的振动规律为 yPo = A cost，求此波的表达式。 P PoxoxxOu第6 章例6-7 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，t = 0 s 时刻的波形如图所示，试画出P处质点的振动在 t = 0 时刻的旋转矢量图。uxyoPyoA第6 章oyt=2 st=0 s例6-8 图示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，波的振幅为 0.02m，周期为 4 s, 求图中 P点处质点的振动方程。解：已知A = 0.02 m , T = 4 s则有 = 2 / T = / 2V0Puyxo= P点的初相为 = - /2yp = 0.02cos( t/2 - /2

45、) (SI) = t = / 2 2 = t = 2 s 时，P点的位相为/2第6 章3、波动方程的标准形式 可以证明波动满足下面微分方程： 2y/ t2 = u2 2y/ x2上式称为波动方程的标准形式。标准形式波动方程的一般解形式为：y = f ( x u t )其中 f 是任意函数。简谐波只是波动方程的一个特解形式。 从质元动力学分析可建立标准形式的波动方程，进而可确定波在介质的传播速度 u。第6 章例如：(1)在弹性细棒中，纵波的波速为： u = ( Y/)1/2 ( 纵波 )式中 Y 为介质的杨氏弹性模量，为介质的体密度。(2) 在无限大弹性介质中，横波的波速为： u = ( G/)

46、1/2 ( 横波 )式中 G 为介质的切变模量。(3) 在紧张绳索上的波速为： u = ( T/)1/2 ( 绳索上 )式中 T 为绳索张力，为绳索线密度。第6 章6.4.3 机械波的能量和强度 1、波的能量 当平面简谐波传播到体积元V 时，该体积元将具有动能 EK 和弹性势能 EP。可以证明：EK = EP =2V( A2 - y2 ) / 2体积元的总机械能为：E = EK + EP =2V( A2 - y2 )波的能量密度：w =E/V= 2( A2 - y2 ) 一个周期内的平均值：w =2 A2 / 2 上式对所有弹性波都是适用的。第6 章波的能量特点：(1) 体积元的动能和势能相等

47、、且同相。 即：同时最大，同时最小。yxo形变最小势能最小动能最小动能最大形变最大势能最大与谐振子比较：动能最大时，势能最小； 势能最大时，动能最小。第6 章usu平均能流： P = w u s波的强度 I（能流密度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流，即：I = P / s = w u =A22 u / 2平均能流 P 与强度 I 关系： P = I s (2) 对于某一给定点，总能量随时间作周期 性变化。这说明任一体积元都在不 断地 接受和放出能量，所以波动传播能量。与振动系统比较：能量守恒，不传播能量。2、波的强度能流：单位时间内通过介质中某面积的能量。第6 章 设离波源单位

48、距离 ro 处的振幅为Ao，离波源距离 r处的振幅为A。对于球面波，通过球面So和S的能流相同。即： So Io ds = S I ds Io 4 ro2 = I 4 r2 Ao22 u ro2/ 2 = A22 u r2/ 2 Ao ro = A r A = Ao ro / r = Ao / r 球面简谐波： y = (Ao/r) cos( t - r / u ) + 例：试求球面简谐波表示式。rroSo S第6 章6.4.4 波的干涉1、波的迭加原理实验证明： 当介质中存在两个以上的波源时，这时各波源所激起的波可在同一介质中独立地传播；而在各个波相互交迭的区域，各点的振动(位移或电磁场)则

49、是各个波在该点激起的振动的矢量和。例如：(1)几个水波可以互不干扰地相互贯 穿，然后继续按各自原来方式传播； (2)当交响乐队演奏时，人耳仍能清 晰地分辨出每个乐器演奏的旋律。第6 章两水波的叠加SS12第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的

50、叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加第6 章理论分析： 由于波动的方程式 2 y/ 2 t = u2 2 y/ 2 x 是线性的。可证明： 如果 y1( x、t ) 和 y2( x、t ) 分别满足波动方程，则合成波 y = y1 ( x、t ) + y2 (x、t )

51、也满足波动方程，这就是波的波加原理的数学表示。第6 章2、波的干涉(1) 相干源 两个频率相同，振动方向相同、相位相同或相位差恒定的波源。干涉现象： 两个相干源波在空间迭加时，在某些点处振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱。光既然是电磁波，也能产生干涉现象。第6 章y10 = A10 cos ( 2t +1 )y20 = A20 cos ( 2t +2 )S1 和 S2 发出的波到达 P点的振动分别为：y1 = A1 cos ( 2t +1 - 2 r1 /) y2 = A2 cos ( 2t +2 - 2 r2 /)两个振动在 P点的相位差为：=2 -1 - 2 ( r2 - r1 )

52、 /P 点的振动就是这两个振动的合振动。S1S2r1r2P(2) 两个相干源的干涉设波源 S1、S2的振动方程为：第6 章P点合振动：频率 两同频率、同方向振动的合振动仍 为同频率的振动；振幅 由两分振动的相位差来决定。由于 两波源的相位差2 -1是恒定的， 因此，空间中任一 P点两振动的相 位差也是恒量，所以，任一P点合 振幅也是恒量。第6 章干涉加强与减弱条件：加强：=2 -1 - 2 ( r2 - r1 ) / = 2k (k = 0，1，2，3) 合振幅 A 最大，A = A1 + A2 。减弱：= 2 -1 - 2 ( r2 - r1 ) / =(2k+1) (k = 0，1，2，3

53、) 合振幅A为最小， A = |A1 - A2| 。如果1=2，上述条件可简化为波程差：加强：= r2 - r1 = 2k (/ 2) ( k = 0，1，2) 又称为干涉相长减弱：= r2 - r1 = ( 2k + 1 ) (/ 2 ) （k = 0，1，2 ) 又称为干涉相消第6 章3、驻波(1)驻波的形成和特点(a)驻波形成的条件 两列振幅相同，传播方向相反的相干波的迭加。 波干涉的特例。(b)定量分析 （以平面简谐波为例） 设两列频率、振幅及振动方向相同，传播方向相反的平面简谐波：y1 = Acos 2(t - x/)，y2 = Acos 2(t + x/)。合成波：y = y1+

54、y2 = 2Acos2x/ cos 2t 第6 章合成波：y = 2Acos2x / cos 2t讨论：(A)各点都在作同频率的振动 cos 2t；(B)位置 x 点的振幅 | 2Acos2x / | (C)位置 x 点的振动相位依赖与 2Acos2x / 的正负号。正号（或负号）各处相位相 同，但正、负号之间处相位反相。波节波腹第6 章(D)在 x = k/2处，振幅 | 2Acos2x/ |= 2A， 振幅最大，称为波腹； 在x =(2k+1)/4处，振幅 |2Acos2x/|= 0， 静止不动，称为波节。 其中 k = 0，1，2 。 (F) 相邻两个波腹或波节之间的距离为 / 2。 这

55、为我们提供了一种测定波长的方法波节波腹第6 章波节波腹(G)驻波使波线上各点作分段振动 ( 两个相 邻波节为一分段 )，在每一分段中，各 点的振动相位是相同；两个相邻分段， 振动相位正好反相。每分段中各点的振动相位是相同的，这种波称为驻波；而相位逐点传播的波称为行波。第6 章(c)驻波特点频率：各质元频率相同；振幅：与位置有关；相位：同一分段，相位相同； 相邻分段，相位反相。能量：波腹处，动能为零，聚集势能； 波节处，势能为零，聚集动能。 驻波能量不断在相邻波腹与波节之间相互转换，没有单一方向的能量传播。第6 章入射波y反射波y(d) 半波损失绳子波在固定端反射：叠加后的波形 在反射端形成波节

56、。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生 相位突变，称为半波损失。墙体)波密媒质(第6 章反射波叠加后的波形入射波自由端yy绳子波在自由端反射 在反射端形成波腹。在反射端入射波和反射波周相相同，无半波损失。第6 章 “半波损失”将决定于波的种类和两种介质的有关性质以及入射角的大小。机械波：波密介质 密度与波速 u 的乘 积u较大的介质。 波疏介质 乘积u 较小的介质。光波：光密介质 折射率 n 较大的介质； 光疏介质 折射率 n 较小的介质。可以证明：当波从波(光)疏介质垂直入射到波(光)密介质而反射时，则反射波有 相位突变，相应有半波波程的损失。这样在分界处出现波节

57、，这种现象称为“半波损失”。第6 章例6-9 一平面波沿 x 轴正方向传播，传到波密介质分界面 M 在 B 点发生反射。 已知坐标原点 O 到介质分界面 M 的垂直距离 L = 1.75 m，波长= 1.4 m，原点 O处的振动方程为： yo = 5 10-3 cos ( 500t + /4 ) m，并设反射波不衰减，试求：(1)入射波和反射波的波动方程；(2)O和B之间其余波节的位置；(3)离原点为 0.875 m 处质点的振幅。L OBMu 第6 章解：(1)已知原点振动方程为：yo = 5 10-3 cos (500t + /4) m则入射波的波动方程为：y入= 510-3cos2 (2

58、50t - x /1.4)+ /4 m反射波：考虑 C点，反射波引起 C 点振动的相位落后于 O 点振动的相位为 2 (2L - x) /+ ，所以反射波的波动方程为：y反 = 510-3cos500t+/4 - 2(2L-x)/+ = 510-3cos2(250t+x /1.4)+ /4 mL OBMu Cx第6 章(2) x 处反射波与入射波引起振动相位差：= ( 2x /1.4 + /4 ) - ( -2x /1.4 + /4) = 4x / 1.4干涉减弱条件可得波节位置满足条件为：4x / 1.4 = ( 2k + 1 )波节位置： x = 0.35 ( 2k + 1) m，( k

59、= 0，1，2) =0.35，1.05，1.75 m所以 O 和 B 之间其余波节位置：x1 = 0.35 m , x2 = 1.05 m。第6 章(3) 在 x = 0.875 m 处，反射波和入射波间 的相位差： = 4 0.875 1.4 = 5 / 2合振幅： A = ( A入 2 + A反2 + 2A入 A反 cos)1/2 = 1.414 A入 = 1.414 5 10-3 = 7.07 10-3m第6 章4、简正模式 驻波的频率由系统的固有性质和边界条件决定。例如：一根两端固定，长为 l 的紧张弦上的驻波，必须使两端成为波节，即弦长必须是半波长的整数倍： l = k/ 2 k = 2 l / k ( k = 1，2，3 )对应的驻波频率： ( u 为弦线中的波速 ) k = k u / 2 l ( k = 1，2，3 )/23/2k = 1k = 2k = 3第