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1、 留数定理是复变函数的定理，又是应用到回路积分的，因此要将定积分变为回路积分中的一部分。3 留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分成为回路积分的一部分：1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为cosq与sinq 的有理函数. 令 z =eiq ,则 dz=ieiq dq ,而 其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f

2、(z)的孤立奇点.例1 计算 的值.令 z =eiq ,则 dz=ieiq dq ,而解所以原式例2 计算 的值.解：令取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性, 设为一已约分式.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.例 4当被积函数R(x)是x的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高一次, 并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 3. 形如的积分 z1z2z3yCR-RROx如 2中处理一样：此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.可以证明也可写为例5 计算 的值.解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴

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