连续时间信号与系统的复频域分析PPT通用课件

1、连续时间信号与系统的复频域分析即 4.1 双边拉普拉斯变换 设一个线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，如果输入 f(t)=est，则输出其中 s=+j是复数，称为复频率，当s=j时，即为傅里叶变换。傅里叶变换对 即构成了双边拉普拉斯变换对。用符号F(s)=Lf(t)和f(t)= L-1F(s)表示，或简写为设函数是一个实常数。(t)的傅里叶变换为由此可得即 令s=+j，则d=(1/j)ds，于是有 f(t)的拉普拉斯变换可以看成是f(t)在乘以一个实指数信号以后的傅立叶变换。实指数e-t在时间上可以是衰减的，也可以是增长的，这取决于是正还是负。 从数学观点上看，这是将一个不收敛的函数f(t

2、)乘以因子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义上看，是将频率变换为复频率s，只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的速率或衰减速率。若则存在，可进行拉氏变换。例：求信号f(t)= e-atu(t)在a0时的拉普拉斯变换。 解： f(t)的拉普拉斯变换为 如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。 不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有效的s值的集是大不相同的。因此，在确定信号的拉氏变换中，既要求有代数表示式，又要求有这表示式的s取值范围，即拉氏变换的收敛域(ROC)。1

3、. 拉普拉斯变换的收敛域 一般情况，信号的拉普拉斯变换都可以表示成复变量s的两个多项式之比，即 一般把使积分 收敛的s值的范围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。 4.2 拉普拉斯变换的收敛域及其性质 当N(s)=0时，F(s)=0，把N(s)的根称为F(s)的零点，在复平面(S)上记做“ ”；当D(s)=0时，F(s)=，把D(s)的根称为F(s)的极点，在复平面(S)上记做“”。这样的图称为零极点图。例：已知信号f(t)= (t)-(4/3)e-tu(t)+(1/3)e2tu(t)，求其拉普拉斯变换F(s)。 解： (t)的拉普拉斯变换而指数函数的拉普拉斯变换分别为则2. 拉普拉斯变

4、换收敛域的性质 性质1 F(s)的收敛域在S平面内是平行于j轴的带状区域所组成。 性质2 对于有理拉普拉斯变换来说，收敛域不包括任何极点。 性质3 若f(t)是时限信号，则其收敛域为整个S平面。 性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为从最右边极点开始的右半平面。 性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为从最左边极点开始的左半平面。 性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带状区域。 双边信号可以分成一个右边信号和一个左边信号之和，即例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b0及b0，f(t)的拉普拉斯变换为 若b-1。 由于收敛域包括j轴，所以傅里叶

5、变换存在。1. 线性4.3 拉普拉斯变换的性质 即总的收敛域为原来两个收敛域的重叠部分，也有可能扩大。若无重叠部分，则线性组合的拉氏变换不存在。如：信号f1(t)和f2(t)的拉普拉斯变换分别为 则信号f1(t)-f2(t)的拉普拉斯变换为 例：求冲激串 的拉普拉斯变换。 2. 时移特性解：将冲激串展开根据时移特性，对上式每一项求拉氏变换，得 每一项的收敛域为全平面，但它们线性组合后，收敛域变小了。例：求下列函数的拉普拉斯变换 解：由于 所以 而 结合时移特性，得 若a=-1，则有 3. S域平移特性4. 尺度特性如： 则 若两个时间函数对纵坐标对称，它们的拉氏变换的关系是以-s置换s，收敛域

6、则对j轴呈镜像映射。 因此有 若同一个时间信号f(t)(双边)分别乘以u(t)和u(-t)得到右边和左边信号，则它们的拉氏变换反号，收敛域互补。 例：求 的拉普拉斯变换。 解：再由尺度特性，得 于是，得根据S域平移特性，得 若 -，则该非因果信号的双边拉氏变换存在，否则就不存在。 5. 卷积特性 即总的收敛域为原来两个收敛域的重叠部分，若有零极点被抵消的情况，则收敛域会扩大。例：已知一因果线性时不变系统的系统函数为 求输入为f(t)=e2t(-t-26. 时域微分特性 新的收敛域R1包含了原来的收敛域R，若原收敛域上的极点被抵消，则收敛域会扩大。对于时域的n次微分，则有7. 时域积分特性 因1

7、/s的收敛域Res0，而F(s)的收敛域为R，所以总的收敛域为两者的重叠部分；如无重叠部分，则 f (t)积分的拉氏变换不存在。8. S域微分特性对于S域的n次微分，则有9. S域卷积特性例：求下列函数的拉普拉斯变换 解：(1) 由于u(t)1/s,或根据tu(t)=u(t)*u(t)，由卷积特性，得 推广，得根据S域微分特性，得 即 进而得 由于tu(t)1/s2 ，根据S域平移特性，得 于是 再根据S域微分特性，得 根据时移特性，知 实际的信号，通常都有其起始时刻，设其为时间坐标的原点。则一个信号f(t)的单边拉氏变换F1(s)为F1(s)拉氏反变换为4.4 单边拉普拉斯变换式中积分下限取

8、0-，是考虑到f(t)中可以包含冲激函数等奇异函数。 因果信号的双边拉氏变换就是等于其单边拉氏变换。例：求信号 的双边拉氏变换和单边拉氏变换。 解：由于 可见，单边拉氏变换和双边拉氏变换是明显不同的。实际上 f (t)的单边拉氏变换F1(s)可以看成是 f (t)u(t)的双边拉氏变换。根据时移特性，得f(t)的双边拉氏变换为 而f(t)的单边拉氏变换为 单边拉氏变换的大多数性质与双边拉氏变换相同，它们的重要差别表现在时域微分和时域积分特性上。证明：1. 时域微分特性推广例：已知信号 ， 试求f (t)的单边拉氏变换。 解：由于 或则 f (t)的单边拉氏变换为 函数在t=0处无冲激，其单边拉

9、氏变换为 证明：2. 时域积分特性取拉氏变换，并根据卷积特性，得因 f (t)的单边拉氏变换就是 f (t)u(t)的双边拉氏变换3. 初值定理证明：由单边拉氏变换的时域微分特性，有 如果F1(s)为假分式，可将其分成正整幂多项式N0(s)与真分式F0(s)和的形式，即F1(s)=N0(s)+F0(s)。再将F0(s)代入初值定理计算。例：已知信号的拉氏变换函数如下, 求原信号的初值。 解： (1) 因为F1(s)是真分式，所以 因为根据时域微分特性，有 则 4. 终值定理证明：由单边拉氏变换的时域微分特性，有当s0，则有 终值存在的条件：F1(s)的极点应全部在s左半平面和在s=0处只有一阶

10、极点。例：已知信号的拉氏变换如下, 求原信号f(t)的初值和终值。 解： (1) 由于F(s)中分母比分子阶高2次，则 则 F(s)在j轴上有共轭复根s=j2，所以终值不能确定。 例：求图示信号的拉氏变换。 解：由于而h(t)可表示为而 f (t)=tu(t)-u(t-1), 根据S域微分性质，有根据S域平移性质，有而y(t)可表示为根据时移性质，有5. 开关周期信号的拉普拉斯变换 设周期信号fp(t)的周期为T，则称f(t)=fp(t)u(t)为开关周期信号。可见：F1(s)/(1-e-sT )形式的原函数为开关周期信号，其终值是不存在的。 如果f1(t)是f(t)的第一个周期，其拉氏变换为

11、F1(s)，则根据时移特性可得f(t)的拉氏变换F(s)为例：求图示信号的拉氏变换。 解：(1)将f(t)分解为而f1(t)可表示为根据时域微分性质和时移性质，得则而f21(t)又可表示为即将f2(t)可表示成f21(t)和T(t)的卷积，即根据时域微分性质和时移性质，得而根据卷积性质，得于是(2) f(t)可表示为其中gT(t)为开关周期矩形脉冲，即由于则根据S域平移性质，得 利用拉氏变换方法分析电路问题时，需求函数的逆变换。在已知拉氏变换F(s)及其收敛域时，用定义式求其逆变换比较困难。可以利用复变函数理论中求围线积分的留数定理。4.5 拉普拉斯逆变换 在实际中，所遇到的拉氏变换都是有理函

12、数，可以将其展开为部分分式，然后根据基本信号的拉普拉斯变换式和拉普拉斯的特性求得其逆变换。1. 部分分式展开法 设F(s)是有理函数，如果分子多项式的次数高于分母，先进行长除，得到商和余数，再将余数展开为部分分式和的形式。 由于假分式经长除后，得到商和余数，而商部分的逆变换为冲击函数及冲击函数的各阶导数。余数部分为真分式作为部分分式展开的对象。 设有理真分式为 部分分式展开的第一步是把分母N(s)进行因式分解，第二步区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。 在这里mn，F(s)的标准形式可化为an=1。 下面分别讨论极点为实数、共轭复数和多重根的三种情形：（1）极点为实数且无重根 设p1，p2

13、，pn为F(s)的实极点，则F(s)可分解为其中这一方法又称海维赛德(Heaviside)“掩盖法”。例：求 的拉氏逆变换f(t)。 解：先将F(s)分解为多项式与真分式的和，即式中于是，有 由于收敛域为最右边极点的右半平面，所以F(s)的逆变换为（2）极点为共轭复数且无重根 如果多项式N(s)0具有复根，则F(s)具有复数极点，则必定以共轭形式成对出现。相应的部分分式展开的系数为共轭复数。由于则相应共轭复数部分的逆变换为 例：已知因果信号的拉氏变换 ，求原函数 f (t)。 解：式中于是，有则原函数为 例：已知因果信号的拉氏变换 ，求原函数 f (t)。 解：式中则原函数为 当出现复根时，也

14、可以不用将复根分解成部分分式和的形式，而采用配平方和的方法。式中则原函数为于是，有（3）二阶和高阶极点(重根) 当N(s)0有r重根，其余为单根时，部分分式可展开为： 其中重根部分相应的拉氏逆变换为则 例：已知因果信号的拉氏变换 ，求原函数 f (t)。 解：式中则原函数为（4）一些非标准形式的部分分式展开 当F(s)的分子中包含e-as的指数形式时，先得到不包含这个因子的部分分式，由于该因子表示时移，只要最后把 t 换成t-a即可。 F(s)可分解为所以 例：已知因果信号的拉氏变换如下，求原函数 f (t)。 解：由于 例：已知信号的拉氏变换 ，求原函数 f (t)。 解：由于则原函数为根据

15、尺度特性如果收敛为Res-2，则原函数为2. 留数法闭合回线确定的原则是：必须把F(s)的全部极点都包围在此闭合回线的内部。可由直线AB与直线AB左侧半径R=的圆弧CR组成。 这是一个复变函数的线积分，根据复变函数理论，此线积分可转化为求F(s)的全部极点在一个闭合曲线内部的全部留数的代数和。而由于(1) 若pi为D(s)=0的单极点，则其留数为于是(2) 若pi为D(s)=0的m阶极点，则其留数为 与部分分式法相比，留数法的优点在于不仅能处理有理函数，也能处理无理函数。当有重极点时，留数法求拉普拉斯逆变换要更简便一些。即 D(s)=(s+1)2(s+3)s= 0 的根为 p1 = 1(二重根

16、), p2= 3，p3=0。故各极点上的留数为例: 已知 ,利用留数法求原函数 f (t)。 解：则线性时不变系统的数学模型通常用常系数微分方程来描述对上式两边取拉氏变换，得故系统函数H(s)为 H(s)只与系统的特性有关，是表征系统特性的重要参数。4.6 系统函数及连续时间系统的 复频域分析1. 系统函数 对于一个因果的LTI系统，其单位冲激响应h(t)在t0时为0，因此h(t)为一右边信号，H(s)的收敛域为右半平面。因果系统的冲激响应一定是右边信号，但冲激响应为右边信号的系统却不一定是因果的。 线性时不变系统的很多性质都与系统函数H(s)在s平面的特性密切有关，尤其与极点位置和收敛域有关

17、。 如果收敛域包含j轴，那么H(s)|s=j就是这个线性时不变系统的频率响应。例如 解：因为 所以 例：某线性时不变系统，输入 时，输出 ，求系统函数H(s)及频率响应H( j)。H(s)的收敛区包括 j 轴，则系统频率特性为 线性时不变因果系统的内部稳定性可用微分方程的特征根在复平面上的位置来说明。反映在S平面就可用系统函数的极点分布来说明。2. 系统内部稳定性 假设H(s)可展开成下列形式 由于H(s)的一阶极点的拉氏逆变换为 可见，系统的冲激响应h(t)的性质取决于在S平面中极点sk的位置。一般情况下，对于单极点因果系统，在S平面中sk的位置有以下三种情况。 sk=k ，且k0，则(1)

18、 sk位于虚轴j左边 sk=kjk，且k0，则单位冲激响应h(t)为一增长指数。 sk=kjk，且k0，则h(t)为一增长的正弦振荡。 极点在原点，原函数取u(t)，tu(t)，t2u(t)等形式； 极点在实轴上，原函数取e t，te t，t2e t 等形式； 共轭虚极点，原函数取cost，tcost，t2cost等形式； 共轭复极点，原函数取e tcost，te tcost 等形式； 当t，h(t)0，则系统本身是稳态的。故为使系统稳定，系统的极点必须全部位于左半S平面，即 根据因果系统的系统函数H(s)的极点位置，判断稳定性的准则为： 当t，h(t)有限值，则系统本身是条件(临界)稳态的。

19、系统只有简单极点位于j轴上，而其余极点都在左半S平面内，才能达到条件稳定。 当t，h(t)，则系统本身是不稳态的。系统的极点只要有一个落在右半S平面，系统本身是不稳定的。 BIBO稳态性要求系统函数H(s)中分子多项式N(s)的阶不能超过分母多项式D(s)的阶。例：已知因果系统的系统函数分别如下，讨论它们的稳定性。 解： (1) H(s)的极点s= -a。a0，Re|s|0，系统稳定；a0，系统不稳定；a=0，Re|s|=0，系统临界稳定。(2) H(s)的极点s= -a(二阶实极点)。a0，Re|s|0，系统稳定；a0，系统不稳定；a=0，Re|s|=0，系统不稳定。(3) H(s)的极点s

20、= -aj。a0，Re|s|0，系统稳定；a0，系统不稳定；a=0，Re|s|=0，系统临界稳定。(4) H(s)的极点s=j (二阶共轭虚极点)。系统不稳定。 多项式D(s)的各幂次项系数均为非零正实数或非零负实数。系统稳定的必要条件： 用上述方法判断系统是否稳定，必须先求出H(s)的极点。但当H(s)的分母多项式D(s)的幂次较高时，要具体求出H(s)的极点就困难了。 另一种判断因果系统稳定性的方法是根据具有实数系数的、根位于S平面整个左半部分的多项式称为是严格的霍尔维茨(Hurwitz)多项式。系统稳定的充分条件： 多项式D(s)为霍尔维茨多项式。 检验 是否为霍尔维茨多项式的罗斯 (R

21、outh)准则：罗斯阵列第一列元素符号相同。罗斯阵列的排列规则如下：若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。 从第三行起按下式计算，直止最后一行只留一个非零数字。 例: 已知线性连续系统的系统函数如下，试判别这些系统的稳定性。 解：(2) D(s)的系数无缺项并且符号相同，R-H阵列为第一行元素构成的R-H数列符号不全相同，所以系统不稳定。符号由正变负，再由负变正，两次改变符号，说明系统有两个极点位于s右半开平面。(1) 由于分母多项式中s3项的系数为零，由R-H准则的必要条件可以判定出系统是不稳定的。 在时域求解微分方程时，将解分为齐次解和特解，或者将解分为零输入响应和零状态响应，对于零状

22、态通过卷积的方式进行求取。4. 线性微分方程的复频域解法 在频域求解微分方程时，可先对方程两边取傅里叶变换，得到零状态响应的频域表示，进而得到时域解。 在复频域求解微分方程时，可先对方程两边取双边或单边拉氏变换，得到s域的解，然后通过拉氏反变换，求出其时域解。 对于零状态系统，可以通过双边拉氏变换求出其解；而对于初始状态不为零的系统，则可通过单边拉氏变换求出其解。这种求解方法要比前面的方法容易得多。例：一因果线性系统的微分方程为 (1) 求系统的冲激响应h(t)； (2) 求输入 时的输出y(t)。解： (1)对方程取双边拉氏变换，得 则(2) 由于系统的冲激响应为所以输出为例：已知某线性系统

23、的微分方程为 且y(0)=3，y(0)=4。求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf (t)和完全响应y(t)。解：设 对方程两边取单边拉氏变换，得即代入初始条件，得则进行拉氏逆变换，得 零输入响应为零状态响应为系统的全响应为或即例：一个 因果系统,求输入 的稳态响应ys(t)。解： 由于H(s)的收敛区包括 j 轴，则系统频率特性为输入信号由两项构成，频率分别为0和2，可得则稳态响应为例：求因果系统 对于下列输入的强迫响应yp(t)。解： (1) 由于输入信号的复频率s0=-3， s=s0=-3时的H(s)为则强迫响应为则强迫响应为(2) 输入信号的复频率s0=-1+j， 此时相应的H(

24、s)为4.7 连续系统的框图模拟与信号流图表示 系统不但可以用方程和系统函数表示，还可以用框图模拟表示。例如：如图所示电路1. 系统的框图模拟表示列写回路电压方程为即取拉氏变换得或该系统可用框图表示为级联：Y(s)=H1(s)H2(s)F(s) 一个复杂的系统可以由若干子系统组合而成，将各子系统的系统函数写进框内，连上有方向的线段，再加上一些相加符号等，就构成了系统的总框图。 系统的连接方式有三种：级联；并联和反馈。用s域表示为：并联：Y(s)=H1(s)H2(s)F(s)反馈：例：求如下所示系统的转移函数H(s)。解： 设E(s)如图E(s)则有而所以于是得转移函数 系统的系统函数完全由各子

25、系统的系统函数及子系统间的连接方式决定。因此可以将方框图简化，用系统的信号流图来表示。2. 系统的信号流图表示 系统的信号流图表示实际上是用一些点和支路来描述系统。 用一条有向线段来表示一个子系统的方框图，线段的两端点(也称节点)分别表示子系统的输入和输出变量或信号点，箭头的方向表示信号的传输方向，系统函数标注在箭头旁边，这样构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图。如:H (s)F(s) Y(s) 系统框图信号流图节点：表示系统中变量或信号的点。源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号。阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出信号。支路：连接两个节点之间的定向线段，支路

26、的增益即为其转移函数。转移函数：两个节点之间的增益。 (1) 信号流图中的一些术语通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径(注意：不允许有相反方向支路存在)。前向通路：从源点到阱点方向的通路上，通过任何节点不多于一次的全部路径。闭合通路：通路的终点就是通路的起点，且与任何其它节点相交不多于一次，又称为环路。通路增益：通路中，各支路转移函数的乘积。不接触环路：两环路之间无任何公共节点。 信号只能沿着支路上的箭头方向通过；节点可以将所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路； (2) 信号流图的性质 给定的系统，其信号流图形式不唯一； 信号流图转置后，其转移函数保持不变；具有输入和输出

27、支路的混合节点，可通过增加一个具有单位传输函数的支路，将其变成输出节点处理； 信号流图用以表示一组线性方程组，代表某一线性系统，它可以按照一些代数运算规则加以简化。 (3) 信号流图的代数运算级联简化并联简化反馈简化由信号流图直接求系统函数的公式 (4) 信号流图的梅森(Meson)公式其中：称为信号流图的特征行列式，且有Li 所有环路增益之和；Lm Ln 两个互不接触环路增益乘积之和；Lp Lq Lr 三个互不接触的环路增益乘积之和；gk 第k个前向通路的增益；k 除去第k个前向通路(除去该通路上的全部节点和支路)后的子信号流图的特征行列式。解： 例：求如下系统的转移函数H(s)。(1) 信号流图特征行列式前向通路 则转移函数 (2) 信号流图特征行列式前向通路 则转移函数 解:例：求如图所示系统的系统函数H(s)。信号流图特征行列式前向通路g1:前向通路g2 :前向通路g3 :除去前向通路g1后所剩子信号流图如图其特征行列式则系统函数 3. 系统模拟 系统模拟就是一些基本运算单元组成一个系统。它可以是时域的，也可以是变换域的。该系统与实际系统有相同的数学模型。系统模拟的基本器件是加法器、标量乘法器 (数乘器) 和积分器，这些器件均可用集成运算放大器的适当连接来实现。 (1) 直接形式设系统微分方程为二阶的，其形式