上海市闸北区2019届高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、2019 年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）一、填空题本大题共有10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1x x a 0 a1f 1 =3f 0 +f 1 +f 2f x =a +a （ ，），且（），则（）（）（）的值是已知函数 （ ）2已知集合 A=x|x 2| a ，B=x|x22x30BA，则实数a的取值范围是，若 ?23如果复数 z 满足 |z|=1 且 z =a+bi，其中 a， bR，则 a+b 的最大值是4在直角坐标系 xOy 中，已知三点A （ a，1）， B（2，b）， C（ 3，4），若向量，在向量方向上的投影相同，则3a

2、 4b 的值是5某科技创新大赛设有一、 二、三等奖 （参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000 元、 5600 元、 4200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元6已知 F1、F2 是椭圆 C：（ a b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点， 且若PF1F2 的面积为 9，则 b=222且7 ABC 中， a，b， c 分别是 A ， B ， C 的对边且 ac+c =b a ，若 ABC 最大边长是sinC=2sinA ，则 ABC 最小边的边长为8在极坐标系中，曲线=sin+2与 sin =2 的公共点到极点的距离为9如

3、图， A ， B 是直线 l上的两点，且AB=2 两个半径相等的动圆分别与l 相切于 A ， B 点， C 是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是10设函数 f （ x） =x2 1，对任意x ，+）， f （ ） 4m2f （x） f（ x1） +4f （ m）恒成立，则实数 m 的取值范围是二、选择题本大题共有3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.第1页（共 18页）11向量，均为单位向量， 其夹角为，则命题 “p：| | 1”是命题 q：，）的（）条件（）A 充

4、分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D 非充分非必要条件12已知 S，A ，B ，C 是球 O 表面上的点， SA 平面 ABC ， AB BC， SA=AB=1 ，则球O 的表面积等于（）A 4B 3C 2D 13已知数列 a n 中， an+1=3Sn，则下列关于 a n 的说法正确的是（）一定为等差数列B一定为等比数列C可能为等差数列，但不会为等比数列D可能为等比数列，但不会为等差数列三、解答题（本题满分75 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（理）在长方体ABCDABCD中， AB=2 ， AD=1 ， AA=1E在棱AB上

5、移动11111，点（ 1）探求 AE 等于何值时，直线D1E 与平面 AA 1D1D 成 45角；（ 2）点 E 移动为棱 AB 中点时，求点 E 到平面 A 1DC 1 的距离15某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足P=（其中 0 xa， a 为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（ P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元 /件1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？第2页（共 18页）16已知函数f （x） =sin（ x+ ）（ 0， 0 ）的周期为，图象的一个

6、对称中心为（，0），将函数f（ x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（ x）的图象1）求函数 f （ x）与 g（x）的解析式；2）求证：存在 x0（ ， ），使得 f（ x0）， g（ x0）， f （x0） ?g（x0）能按照某种顺序成等差数列17若动点M 到定点 A （ 0，1）与定直线l： y=3 的距离之和为41）求点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；2）记（ 1）得到的轨迹为曲线 C，问曲线 C 上关于点 B（ 0，t）（ tR）对称的不同点有几对？请说明理由18已知数列 a n ， Sn 为其前 n 项的和

7、，满足Sn=1）求数列 a n 的通项公式；2）设数列 的前 n 项和为 T n，数列 T n 的前 n 项和为 Rn，求证：当 n2，nN* 时 Rn 1=n（ Tn 1）；（ 3）已知当 nN* ，且 n6 时有（ 1）n（）m，其中 m=1，2，n，求满足 3n+4n+（ n+2 ）n=（ an+3 ） an 的所有 n 的值第3页（共 18页）2019 年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题本大题共有10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1已知函数 f （ x） =ax+ax（ a0， a1），且 f（ 1）=

8、3，则 f（ 0） +f （ 1） +f （ 2）的值是12 【考点】 指数函数的单调性与特殊点；函数的值【专题】 计算题【分析】 由 f （ 1） =3 可得到关于 a 的式子，由 f（ 0） +f （ 1）+f （ 2）得到关于 a 的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解【解答】 解： f （ 1） =a+a 1 =3， f （ 0） =2， f（ 2） =a2+a 2=（ a+a1） 22=7，f （ 1） +f （ 0） +f （ 2） =12 故答案为： 12【点评】 本题考查指数幂的运算和运算法则，属基本运算的考查2已知集合 A=x|x 2| a ， B=x|x2 2x3 0 ，若

9、 B? A ，则实数 a 的取值范围是a3 【考点】 集合的包含关系判断及应用【专题】 数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；集合【分析】 利用绝对值不等式的解法、 一元二次不等式的解法分别解出A，B，再利用 B? A 即可得出【解答】 解：由 |x 2| a，可得 2a x 2+a（ a 0）， A= （ 2 a， 2+a）（ a 0）由 x2 2x 3 0，解得1 x 3 B= （ 1， 3）B? A，则，解得 a3故答案为： a3【点评】 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3如果复数z 满足 |z|=1 且 z2=a+bi，其中 a， bR，则

10、 a+b 的最大值是【考点】 复数代数形式的乘除运算【专题】 计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数第4页（共 18页）【分析】 由 |z|=1，得 |z2|=1，结合 z2=a+bi ，得 a2+b2=1，然后利用基本不等式求得 a+b 的最大值【解答】 解： |z|=1， |z2|=1，由 z2=a+bi ，得 a2+b2=1，（ a+b） 22（a2+b2） =2，故当时， a+b 的最大值是故答案为：【点评】 本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题4在直角坐标系xOy 中，已知三点A （ a，1）， B（ 2，b）， C（ 3， 4），若向量，在向量方向上的投影

11、相同，则3a 4b 的值是 2 【考点】 平面向量数量积的运算【专题】 计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用【分析】 构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果【解答】 解：向量，在向量方向上的投影相同，= ?，A （ a，1）， B（ 2， b）， C（3， 4）， 3a+4=6+4b ， 3a 4b=2，故答案为： 2【点评】 本题考查了向量的数量积运算、投影，考查了推理能力，属于基础题5某科技创新大赛设有一、二、三等奖 （参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是

12、以7000 元、 5600 元、 4200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是5000元【考点】 离散型随机变量的期望与方差【专题】 计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】 由已知求出获得一、二、三等奖的概率分别为，由此利用一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000 元、 5600 元、 4200 元，能求出参加此次大赛获得奖金的期望第5页（共 18页）【解答】 解：某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项， 2 为公比的等比数列，获得一、二、三等奖的概率分别为a， 2a，4a，且 a+2a+4a=1，解得 a=，获得一、二、三等奖的概率分别

13、为，一、三、三等奖相应的奖金分别是以7000 元、 5600 元、 4200 元，参加此次大赛获得奖金的期望E（ X ） =5000 元故答案为： 5000【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用6已知 F1、F2 是椭圆 C：（ a b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点， 且若PF1F2 的面积为 9，则 b= 3 【考点】 椭圆的应用；椭圆的简单性质【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 由已知得 |PF|+|PF |=2a=4c2，由此能得到b 的12，值【解答】解： F1、F2 是椭圆 C：（ a

14、b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 |PF |+|PF |=2a=4c2，12，（ |PF1|+|PF2|） 2=4c2+2|PF1|PF2 |=4a2 ，36=4（ a2 c2 ）=4b 2，b=3故答案为3【点评】 主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识222且7 ABC 中， a，b， c 分别是 A ， B ， C 的对边且 ac+c =b a ，若 ABC 最大边长是sinC=2sinA ，则 ABC 最小边的边长为1第6页（共 18页）【考点】 正弦定理【专题】 方程思想；综合法；解三角形【分析】 根据余弦定理求出cosB=，故 b=，由 sinC=2sinA

15、得 c=2a，代入余弦定理计算a【解答】 解： ac+c2=b2a2， cosB=， B=， b=sinC=2sinA ， c=2a，三角形的最短边为 a由余弦定理得cosB=，解得 a=1故答案为1【点评】 本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题8在极坐标系中，曲线=sin+2 与 sin =2 的公共点到极点的距离为1+【考点】 简单曲线的极坐标方程【专题】 计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程【分析】 联立方程组消去 sin求解即可【解答】 解： =sin +2 与 sin=2 消去 sin，可得 （ 2）=2，由于 0，解得 =1+故答案为：【

16、点评】 本题考查极坐标方程的应用，利用的几何意义是解题的关键9如图， A ， B 是直线 l 上的两点，且AB=2 两个半径相等的动圆分别与l 相切于 A ， B 点， C 是这两个圆的公共点， 则圆弧，与线段 AB 围成图形面积S 的取值范围是【考点】 圆与圆的位置关系及其判定【专题】 计算题；压轴题；数形结合第7页（共 18页）【分析】 结合图形，可见当O1 与 O2 外切于点C 时， S 最大，圆弧AC ，CB 与线段 AB 围成图形面积 S就是矩形ABO 2O1 的面积减去两扇形面积，解答即可【解答】 解：如图，当O1 与 O2 外切于点C 时， S 最大，此时，两圆半径为1，S 等于

17、矩形ABO 2O1 的面积减去两扇形面积，随着圆半径的变化，C 可以向直线l 靠近，当 C 到直线 l 的距离 d0 时， S0，S【点评】 本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题10设函数 f （ x） =x2 1，对任意 x ，+）， f （ ） 4m2f （x） f（ x1） +4f （ m）恒成立，则实数 m 的取值范围是【考点】 函数的值；函数恒成立问题【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】 由已知得4m2 +1 在 x ， +）上恒成立，上由此能求出实数m 的取值范围【解答】 解：依据题意得 1 4m2（ x2 1） （ x 1） 2 1+4（ m

18、2 1）在 x， +）上恒定成立，即 4m2 +1 在 x，+）上恒成立当x= 时，函数 y= +1取得最小值， 4m2 ，即（3m2+1）（ 4m23）0，第8页（共 18页）解得 m或 m，故答案为：【点评】 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用二、选择题本大题共有3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.11向量，均为单位向量， 其夹角为，则命题 “p：| | 1”是命题 q：，）的（）条件（）A 充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D 非充分

19、非必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】 平面向量及应用；简易逻辑【分析】 根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：若 | |1，则平方得：2 2 ? + 2=2 2 ? 1，即 ? ，则 cos=? ， （， ，即 p： （， ，命题 q： ，），p 是 q 的必要不充分条件，故选： B【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键12已知 S，A ，B ，C 是球 O 表面上的点， SA 平面 ABC ， AB BC， SA=AB=1 ，则球O 的表面积等于（）A 4B 3C 2D

20、 【考点】 直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积第9页（共 18页）【专题】 压轴题【分析】 先寻找球心，根据S，A ， B， C 是球 O 表面上的点，则OA=OB=OC=OS ，根据直角三角形的性质可知O 为 SC 的中点，则SC 即为直径，根据球的面积公式求解即可【解答】 解：已知S， A， B， C 是球 O 表面上的点OA=OB=OC=OS=1又 SA平面 ABC ， AB BC ，SA=AB=1 ，球 O 的直径为2R=SC=2， R=1，表面积为4R2=4故选 A【点评】 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属

21、于基础题13已知数列 a n 中， an+1=3Sn，则下列关于 a n 的说法正确的是（）一定为等差数列B一定为等比数列C可能为等差数列，但不会为等比数列D可能为等比数列，但不会为等差数列【考点】 等差关系的确定；等比关系的确定【专题】 等差数列与等比数列【分析】 由条件可得Sn+1=4Sn，对 S1 分类讨论，即可得出结论【解答】 解： an+1=3Sn，Sn+1 Sn=3Sn，Sn+1=4Sn，若 S1=0，则数列 a n 为等差数列；第 10 页（共 18 页）若 S10，则数列 S n 为首项为 S1，公比为 4 的等比数列， Sn=S1?4n1，此时 an=Sn Sn 1=3S1?

22、4n2（ n2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列综上，数列 a n 可能为等差数列，但不会为等比数列故选 C【点评】 本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键三、解答题（本题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（理）在长方体 ABCD A 1B 1C1D 1 中， AB=2 ， AD=1 ， AA 1=1，点 E 在棱 AB 上移动（1）探求 AE 等于何值时，直线 D E与平面AAD D45111 成角；（2）点 E 移动为棱 AB 中点时，求点E 到平面 A 1DC 1 的距

23、离【考点】 直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【专题】 计算题【分析】 （ 1）解法一：先找到直线D1E 与平面 AA 1D1D 所成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为 45，来求三角形中边之间的关系，即可求出AE 长度解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出坐标，以及平面AA 1D 1D 的法向量的坐标，因为直线 DE与平面AAD D45角，所以与平面AAD D45角，再111 成11 的法向量成用向量的数量积公式即可求出坐标，进而判断 E 点位置（ 2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为 E 点到平面上任意一点的向量第 11

24、页（共 18 页）【解答】 解：（1）解法一：长方体ABCD A 1B1C1D1 中，因为点 E 在棱 AB 上移动，所以EA 平面 AAD DED AD E与平面AA DD所成的平面角，11 ，从而1 为直线11 1Rt ED1A 中， ED1A=45 解法二：以 D 为坐标原点，射线DA 、 DC、 DD 1 依次为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，则点D（1 0，0，1），平面 AA 1D 1D 的法向量为，设 E（1，y，0），得，由，得，故（ 2）以 D 为坐标原点，射线 DA 、DC、DD 1 依次为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则点E（ 1，1，0）， A 1（

25、1， 0，1），C1（ 0， 2，1），从而，设平面 DA 1C1 的法向量为，由令，所以点 E 到平面 A1DC 1 的距离为=1【点评】 本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离属于立体几何的常规题15某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足P=（其中 0 xa， a 为正常数）已知生产该产品还需投入成本6（ P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元 /件1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【考点】 函数模型的选择与应用【专题】 应用题；函数的性质

26、及应用第 12 页（共 18 页）【分析】 （ 1）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件【解答】 解：（）由题意知， y=（ 4+ ） p x 6（ p+ ），将 p=代入化简得：y=19 x（ 0 xa）；（） y=22 （+x+2 ） 223=10 ，当且仅当=x+2 ，即 x=2 时，上式取等号；当 a2 时，促销费用投入2 万元时，该公司的利润最大；y=19 x， y=， a2 时，函数在 0， a 上单调递增， x=a 时，函数有最大值即促销费用投入a 万元时，该公司的利润最大【点评】 本题主要考查了函数模型的选择

27、与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题16已知函数f （x） =sin（ x+ ）（ 0， 0 ）的周期为，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（ x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（ x）的图象1）求函数 f （ x）与 g（x）的解析式；2）求证：存在 x0（ ， ），使得 f（ x0）， g（ x0）， f （x0） ?g（x0）能按照某种顺序成等差数列【考点】 函数 y=Asin （ x+）的图象变换；函数与方程的综合运用【专题】 函数思想；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性

28、质【分析】 （ 1）由周期公式可得， 0，再由对称中心可得值，可得f（ x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得；（ 2）当 x（，）时 sinx cos2x sinx?cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx ?cos2x 在（，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得第 13 页（共 18 页）【解答】 解：（ 1）函数f（ x） =sin（ x+）的周期为， 0，又曲线 y=f （ x）的一个对称中心为（， 0）， （ 0， ）， sin（ 2+） =0，可得， f（ x） =cos2x，将函数 f（ x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）后可得y

29、=cosx 的图象，再将 y=cosx 的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x） =cos（ x）的图象，由诱导公式化简可得g（ x） =sinx ；（ 2）当 x（，）时，sinx cos2x sinx?cos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinx ?cos2x 在（，）内是否有解设 G（ x） =sinx+sinx ?cos2x 2cos2x，x（，），且函数G（ x）的图象连续不断，函数 G（ x）在（，）内存在零点x0，即存在 x0（，），使得f（ x0）， g（ x0）， f （x0） ?g（x0）能按照某种顺序成等差数列【点评】 本题考查三角函数图象变换，问题转化为

30、方程2cos2x=sinx+sinx ?cos2x 在（，）内是否有解是解决问题的关键，属中档题17若动点M 到定点 A （ 0，1）与定直线l： y=3 的距离之和为4（ 1）求点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（ 2）记（ 1）得到的轨迹为曲线C，问曲线C 上关于点B（ 0，t）（ tR）对称的不同点有几对？请说明理由【考点】 轨迹方程【专题】 综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （ 1）设 M （x， y），由题意，分类讨论，可得点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；第 14 页（共 18 页）2）当 t0 或 t4 显然不存在符合题意的对称点当少存在

31、一对（关于 y 轴对称的）对称点，下面研究曲线的对称点即可0 t 4 时，注意到曲线 C 关于 y 轴对称，至 C 上关于 B（ 0， t）对称但不关于 y 轴对称【解答】 解：（ 1）设 M （ x， y），由题意 ：当 y3 时，有，化简得： x2=4y ：当 y 3 时，有，化简得： x2= 12（ y 4）（二次函数）综上所述：点M 的轨迹方程为（如图）（ 2）当 t0 或 t4 显然不存在符合题意的对称点当 0 t 4 时，注意到曲线C 关于 y 轴对称，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点下面研究曲线C 上关于 B（ 0， t）对称但不关于y 轴对称的对称点设 P（ x0， y0）是轨迹x2=4y （ y3）上任意一点，则，它关于B （0， t）的对称点为 Q（ x0， 2t y0），由于点Q 在轨迹 x2= 12（ y 4）上，所以