概率统计课件：7第三章第一讲

1、第三章 二维随机变量第二章: 一个随机变量但在实际和理论研究中,有许多随机试验,仅用一个随机变量描述不够用.需要引入二维、三维、n维随机变量描述其规律性.例3 空中飞行的飞机(其重心)需要用三个随机变量X,Y,Z才能确定它的位置.例2 掷两颗骰子,观察出现的点数.设X为第一颗骰子出现的点数, Y为第二颗骰子出现的点数,(X,Y)为二维随机变量,它描述了掷两颗骰子出现的点数情况.例1 对平面上的点目标进行射击, 弹着点A的位置需要用横坐标X和纵坐标Y才能确定.由于X和Y的取值都是随着试验结果而变化, 因此X和Y都是随机变量, 弹着点的位置是(X,Y). 设试验E的样本空间为S=e,而X=X(e)

2、,Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量。称由这两个随机变量组成的向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量。定义1: 称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数.定义2: 设(X,Y)为二维随机变量, 对任意实数x, y, 二元函数(x,y)(- ,-)分布函数F(x,y)的性质：定义域: (1)分布函数的取值范围：特殊值（2）F(x,y)对x或对y单调不减，即（3）F(x,y)对x或对y右连续，即(x2,y2)(x2,y1)(4)对任意实数x1x2, y10的任意性,得 所以 解 (1) 利用分布函数的性质(2) 则称(X,Y)是离散型随机变量. 称为二维离散型随机变量(

3、X,Y)的(概率)分布律,或称为X和Y的联合(概率)分布律。二维离散型随机变量2 记分布律的表示法: (1)公式法；(2)列表法。1定义 若二维随机变量(X,Y)的取值 为有限对或可列对3 二维离散型随机变量(X,Y) 分布律的基本性质:(1) (2)其中和式是对所有使(xi,yj)D的i,j求和。定理 设(X,Y) 的分布律为则随机点(X,Y)落在平面上任一区域D内的概率D特别有 (x, y)D例1 甲、乙两盒内均有3只晶体管,其中甲盒内有1只正品,2只次品; 乙盒内有2只正品,1只次品.第一次从甲盒内随机取出2只管子放入乙盒内; 第二次从乙盒内随机取出2只管子.以X,Y分别表示第一、二次取

4、出的正品管子的数目.试求：(1) (X,Y)的分布律；(2) 其中 解：(1) 根据题意知,X的可能取值为0,1; Y的可能取值为0,1,2.因此, (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2).(X,Y)是离散型随机变量 YX01 2 0 1 (2)6. 接连不断地掷一颗匀称的骰子, 直到出现点数大于2为止, 以X表示掷骰子的次数, Y表示最后一次掷出的点数.求二维随机变量(X,Y)的分布律.解 依题意知:X的可能取值为 i=1,2,3, ; Y的可能取值为 j=3,4,5,6X=i,Y=j=“掷骰子i次,前(i-1)次掷出1点或2点,最后一次

5、掷出j点”于是(X,Y)的分布律为例2 某射手在射击中,每次击中目标的概率为p(0p1), 射击进行到第二次击中目标为止.X表示第一次击中目标时所进行的射击次数, Y表示第二次击中目标时所进行的射击次数,试求二维随机变量(X,Y)的分布律.解: 设Ak=“第k次射击时击中目标”, 根据题意,P(Ak)=p,k=1,2, 且A1,A2, ,Ak, 相互独立,所以(X,Y)的分布律为 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),若有非负可积函数f(x,y),使得对任意实数x,y, 恒有二维连续型随机变量1定义则称(X,Y)是二维连续型随机变量,函数f(x,y)称为二维连续型随机变量(X,Y)

6、的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度.2 (X,Y)的概率密度f(x,y)具有下列基本性质: (1) (2) 反之, 若二元函数f(x,y)满足上面两条基本性质, 则它一定是某个二维随机变量(X,Y)的概率密度. 3. 如果概率密度f(x,y)在点(x,y)处连续, 则有（具体证明可参看概率论与数理统计，浙江大学编）定理 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则有(1) 设D为平面上任一区域,则：3 利用概率密度计算概率(2)例1 设二维随机变量(X,Y) 具有概率密度(1) 确定常数a；(2) 求分布函数F(x,y)；(3) 求PYX。2解(1)由概率密度的性质(A)当或时，对有

7、 u(x,y) (2)v (B)当时， (x,y)0uv(C)当时2(x,y)0uv于是得所求分布函数 (3) 求PYX 设 2D1例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求分布函数F(x,y)；(2) 求PY+X 1 。(A)当或时， 0(1)(B)当时，(C)当时，1.uv(x,y)u=v例2 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求分布函数F(x,y)；(2) 求PY+X 1 。(1)(D) 当时，(E) 当时， 11.uv(x,y)u=v(2) 求PY+X 1 1其中A为有界区域D的面积.则称(X,Y)在区域D上服从均匀分布.记为(1)均匀分布若随机变量(X,Y)概率密度常用的二维连续型随机变量