2021-2022学年云南省玉龙纳西族自治县高三压轴卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）ABCD2若集合M1，3，N1，3，5，则满足MXN的集合X的个数为()A1B2C3D43已知正三

2、角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ）ABCD4已知向量，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件5若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( )ABCD6已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD7已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD8已知实数满足约束条件，则的最小值是ABC1D49用数学归纳法证明1+2+3+n2=n4+n22，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上（ ）Ak2+1Bk+12Ck2+1+k2+2+k+12Dk

3、+14+k+12210在直三棱柱中，己知，则异面直线与所成的角为（ ）ABCD11已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（ ）ABCD12连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_14若存在实数使得不等式在某区间上恒成立，则称与为该区间上的一对“分离函数”，下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有_.（填上所有正确答案的序号），；，；，；，.15若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的

4、最小值为_16已知正实数满足，则的最小值为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值18（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.（1）试估计的值；（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.求的数学期望和方差；若随机变量满

5、足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.附：某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；若，则，.19（12分）设函数.（1）求的值；（2）若，求函数的单调递减区间.20（12分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.（）求的值；（）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.21（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线与曲线交于，两点

6、，若，求的值.22（10分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.（）证明:平面平面；（）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，所以，则，当时，当时，当且仅当时取等号，此时，点在以为焦点的椭圆上，由椭圆的定义得，所以椭圆的离心率，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题

7、.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解2D【解析】可以是共4个，选D.3A【解析】建立平面直角坐标系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围【详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，所以的取值范围是故选A【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思

8、想的运用4A【解析】向量，则，即，或者-1，判断出即可【详解】解：向量，则，即，或者-1，所以是或者的充分不必要条件，故选：A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.5C【解析】由题可知，设函数，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.【详解】设函数，因为，所以，或，因为 时，或时，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，所以.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考

9、查数形结合思想和解题能力.6A【解析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程【详解】抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（1，0），则p2，又ep，所以e2，可得c24a2a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用7D【解析】设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计

10、算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.8B【解析】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故选B9C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+n1=n4+n22时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案【详解】当n=k时，等式左端=1+1+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+（k+1）1故选：C【点睛】

11、本题主要考查数学归纳法，属于中档题./10C【解析】由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，解得从而得出异面直线与所成的角【详解】连接，如图：又，则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱，面，又，解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题11D【解析】由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得，所以，又，所以，得，所以椭圆的方程为.故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.12D【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，

12、四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，四个顶点形成的四边形的面积，四个焦点连线形成的四边形的面积，所以，当取得最大值时有，离心率，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（-4，2）【解析】试题分析：因为当且仅当时取等号，所以考点：基本不等式求最值14【解析】由题意可知，若要存在使得成立，我们可考虑两函数是否存

13、在公切点，若两函数在公切点对应的位置一个单增，另一个单减，则很容易判断，对，都可以采用此法判断，对分析式子特点可知，进而判断【详解】时，令，则，单调递增， ，即.令，则，单调递减，即，因此，满足题意.时，易知，满足题意.注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，因此切线为，易知，因此不存在直线满足题意.时，注意到，因此如果存在直线，只有可能是（或）在处的切线，因此切线为.令，则，易知在上单调递增，在上单调递减，所以，即.令，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，即.因此，满足题意.故答案为：【点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像，转化与化归思想，属于中档题15【解析】

14、设直线l与函数及的图象分别相切于，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，令，设，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以，所以实数的最小值为164【解析】由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】.当且仅当时等号成立.据此可知：的最小值为4.【点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值三、解答题

15、：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）见解析；（2）【解析】(1) 取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2) 以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：如图,取的中点,连接.又为的中点,则是的中位线.所以且.又且,所以且.所以四边形是平行四边形.所以.因为,为的中点,所以.因为,所以.因为平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.（2）易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为,所以点

16、.则.设平面的法向量为,由,得,令,得平面的一个法向量为；显然平面的一个法向量为；设二面角的大小为,则.故二面角的余弦值是.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.18（1）（2），,72【解析】（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；（2）利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】（1）平均时间为（分钟

17、）（2），即最佳时间长度为72分钟.【点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.19（1）（2）的递减区间为和【解析】（1）化简函数，代入，计算即可；（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合即可求出.【详解】（1），从而.（2）令.解得.即函数的所有减区间为，考虑到，取，可得，故的递减区间为和.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.20（）3；（）.【解析】

18、()函数，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；()由()知函数，根据点是函数图象的一个对称中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.【详解】() 的最大值为最小正周期为 ()由题意及（）知，,故故的面积的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.21（1），以为圆心，为半径的圆；（2）【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与的直角坐标方程，根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值.【详解】解：（1）由，得，所以，即，.所以曲线是以为圆心，为半径的圆.（2）将代入，整理得.设点，所对应的参数分别为，则，.，解得，则.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：；（2）若要使用直线参数方程中的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.22（）证明见解析；（）.【