量子力学课件：第六章 电子自旋及一般角动量

1、6.1 电子自旋的引出 6.2 电子自旋算符和自旋态矢量6.3 计入自旋的电子运动态矢量及运动方程6.4 一般角动量的基本知识 6.5 两个角动量的耦合第六章 电子自旋及一般角动量6.1 电子自旋的引出电子自旋是 Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年作为假设提出来的主要的两个实验事实:1.氢原子和碱金属原子光谱的精细(双线)结构2.反常塞曼效应:弱磁场中光谱线的复杂分裂1.电子绕核运动-轨道角动量2.绕自身轴转动-自转角动量(电子自旋)6.1-1 Uhlenbeck 和 Goudsmit 假设自旋角动量在空间任何方向上的投影只能取两个数值.用s表示自旋角量子数,则2s+1=2与

2、电子自旋方向相反,大小等于一个玻尔磁子自转角动量在空间取值量子化的,取值为:自旋磁量子数与自旋对应的磁矩称为自旋磁矩斯特恩-盖拉赫实验证实了电子自旋假设的正确性6.1-2 Stern and Gerlach 实验电子、质子、中子: 费米子:玻色子:6.2 电子的自旋算符和自旋波矢量6.2-1 电子的自旋算符电子自旋的算符:三个分量算符:本征值都是本征值是平方算符:定义电子自旋对易关系:自旋角动量轨道角动量算符关系式:电子自旋磁矩算符:一般地:6.2-2 泡利算符分量形式令对易关系:分量形式:线性厄密算符:的本征值都是1。 本征值谱: 的本征值都是/2，在空间任意方向的投影的算符 的本征值为 故

3、 的本征值为 。单位算符所以 和 的本征值为1.即么正算符反对易关系证：从左乘 右乘二式相加同理可证:由对易关系和反对易关系还可以得到和6.2-3 （ )表象和泡利矩阵:对角矩阵,对角元为其本征值泡利算符的矩阵形式求 的矩阵形式令利用由厄密性得:b = c*令( 为实）,则又求 的矩阵形式:得习惯上取 得到泡利矩阵自旋算符在泡利表象中的矩阵表示令6.2-4 电子自旋的本征矢量分别为 的本征值 对应的本征矢量 即1. 的本征矢量本征值方程为由归一化条件确定c1:所以满足正交性由称为电子自旋向上电子自旋向下同理对于的矩阵形式2. 电子自旋在空间任一方向投影的算符 的本征矢量的本征值方程可写为对于

4、，有展开为即给出利用归一性有即取则正交归一性 对应的本征值分别为 的归一化本征矢量为3. 的本征矢量取得 的归一化本征矢量为xz球 坐 标ry一般地写成:取得 的归一化本征矢量为本征值为:6.2-5 电子自旋态的一般态矢量按 的本征矢量组展开电子自旋态 的归一化表示:自旋向上几率；:自旋向上几率6.3 计入自旋的电子运动态矢量和运动方程6.3-1 电子运动的态矢量轨道运动的基矢量组自旋算符 的基矢量组在 的共同表象中,基矢量组为:任意一个态矢量, 按上述基矢量组作展开归一化:t时刻自旋取为 在点 处出现的几率t时刻自旋取为 在点 处出现的几率算符 在 表象中表示为22矩阵，即在任意态 中的期望

5、值力学量 的期望值仅对自旋：6.3-2 运动方程 可以包含电子的自旋算符,如氢原子置于外磁场 中，取外磁场方向沿Z方向，则 可写为：这里， 都要乘以一个22的单位矩阵这样含时的薛定谔方程为具体写成：(6.3-7)6.3-3 方程的分离变量解法若 可写为分离变量代回到 (6.3-7)有得到两部分波函数满足的薛定谔方程6.3-4 电子自旋共振设磁场为沿z轴方向的恒定均匀磁场，即自旋磁矩与外磁场作用的哈密顿量 为:注：自旋磁矩可表示为定态本征值方程为即其本征值为：二能级能级间隔为令跃迁玻尔角频率在垂直z轴方向加一弱的交变磁场当 ，体系在两能级间跃迁称为电子自旋共振设t时刻，电子自旋的态矢量满足跃迁玻

6、尔角频率为：及令展开上式，有初始条件为：所以方程的解为：式中：所以电子在任意时刻的自旋态矢量(已归一化)即自旋向上几率自旋向下几率当满足共振条件时，当即自旋向上即自旋向下从翻转当从低能级到高能级，从外场吸收能量，吸收能量；当从高能级到低跃迁能级，放出能量。电子自旋共振当的期望值分别为：(1)自旋态 (2)期望值例：(习题6-9)只考虑自旋运动。设电子处于恒定均匀磁场中，初始 时刻处于态 下，求在 时刻解：(3)经过多少时间 ，电子处于(4) 在时刻t，电子自旋向上的几率与向下的几率。(1) 电子自旋态矢量满足的薛定谔方程为(1)则方程(1)为这里，哈密顿算符为其中则设t时刻电子自旋态矢量为展开

7、,有(2)(3)由(3)可得初始条件为令故得 (3) 式的解为可得代入上式得满足归一化(2)(3) 在 时刻，当即自旋向下在 时，(4) 在 时刻，自旋向上的几率自旋向下的几率6.4 一般角动量的基本知识一个线性厄密矢量算符6.4-1 角动量算符的定义式其直角坐标系的分量算符 满足对易关系：角动量算符角动量平方算符 的定义为：引入两个线性非厄密算符：算符关系式:6.4-2 角动量算符的本征值问题和 的共同本征矢量组，记为：本征值方程写为:角量子数j的可能取值为：0,正整数和半正整数磁量子数m的可能取值为：轨道角动量角量子数 取零和正整数，电子自旋角量子数s 取1/2。个6.4-3 角动量算符的

8、矩阵形式给出 在 共同表象中的矩阵形式算符 在自身表象中是对角矩阵，对角元是各自算符的本征值，即对于 在 共同表象中的矩阵形式，利用故又又故左边为约定 取正实数，得即右边为左右相等得即于是 的矩阵元为由此得到 的矩阵元为:由 的矩阵元表达式中可以看到,对于, 的矩阵元都为零， 的矩阵元可能不为零所以只需要在固定 的子空间中给出算符的表示矩阵给出 的表示矩阵矩阵元的排列顺序按照磁量子数从大到小矩阵元的排列顺序按照磁量子数从大到小下面普遍讨论两个独立角动量的耦合问题6.51 两个独立角动量耦合而成的总角动量算符 6.52 无耦合表象和耦合表象6.53 总角动量算符的本征值问题6.54 克累布施-戈

9、登系数 (C-G系数)6.5 两个独立角动量的耦合;克累布施-戈登系数设 为两个独立角动量，其角动量对易关系为：相互对易，即6.5-1 两个独立角动量耦合而成的总角动量算符角动量之和构成总角动量算符其分量对易关系可写为(1)同理可证算符关系式证：即(2)(3)同理证：证：(4)但证：6.5-2 耦合表象和无耦合表象共同的正交归一化的本征矢量完备组记为取力学量完全集为满足两两对易.(1)无耦合表象共 个基矢无耦合表象基矢(2) 耦合表象取力学量完全集合为耦合表象基矢两两对易满足因为：共同的正交归一化的本征矢量完备组记为共 个基矢不是 的本征矢量而即 的可能取值有 个重复的m对应不同的j值.当体系

10、的哈密顿算符包含项 时,使用耦合表象此时 是 的本征矢量(固定 )6.5-3 总角动量算符的本征值问题在耦合表象中讨论总角动量算符的本征值磁量子数 共 个 的取值范围（ 与 的关系）(1)对给定 ，求因为 取值范围分别是：又则于是次一个 对应的即再次一个 对应的即得到因为m的可能取值数目为(2) 求 :对于一个 值， 取值有 个，那末 的所有m取值数目为：等差级数求和公式解得 (3) j的取值范围共有 个共有 个6.5-4 克累布施-戈登系数这两组正交归一化完备的基矢可以相互变换变换矩阵的矩阵元所以上式求和可只对 进行C-G系数因为对于 时的C-G系数对于 时的C-G系数见书p320表6.5-2例6.5-1: 两个电子的自旋耦合态两个电子的自旋角量子数为所以总自旋角量子数当 时,自旋平行态,总自旋三重态当 时,自旋反平行态,总自旋单态用两个电子的单电子的自旋态，即无耦合表象来表示第一行第一列第二项第一项第一行第二列