量子力学课件：第二章 量子力学原理(Ⅰ)波函数和 Schr??dinger 方程

1、第二章 量子力学原理()波函数和 Schrdinger 方程2.1 波函数及其统计解释 2.2 态叠加原理 2.3 Schrdinger方程2.4 定态2.5 一维定态问题假设一 微观体系的运动状态由相应的 归一化波函数描述 假设二 微观体系的运动状态波函数随时间 的变化规律遵从薛定谔方程假设三 力学量由相应的线性厄密算符表示假设四 力学量算符之间有确定的对易关 系,称为量子条件.基本量子条件假设五 全同的多粒子体系的波函数对于任 意一对粒子交换而言具有对称性 玻色子；费米子量子力学的五条假设2.1 波函数及其统计解释2.1-1 波函数2.1-2 波函数的统计解释2.1-3 波函数的归一化2.

2、1-4 粒子动量取值的几率分布2.1-5 坐标和动量的期望值2.1-6 量子态；量子力学的第一条假设例：动量为 ,能量 的自由粒子，此为自由粒子(单色平面波)的波函数2.1-1 波函数量子力学用坐标 和时间 的复函数 来描述粒子的波动状态,称 为波函数其波矢为 ；角频率为伴随着单色平面波动. 描述单色平面波的函数为不再是常量,粒子的状态用较复杂的波描写，一般记为：2.1-2 波函数的统计解释如果粒子处于一个力场中运动，粒子动量和能量电子源感光屏PPOQQO电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。单个电子就具有波动性。 长时间单个电子衍射实验衍射图样反映是波的强度电子

3、数目的分布波动性看粒子性看波函数的统计解释 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在该点附近的几率感光片上, 某一 点附近衍射图样的强度粒子的运动状态用波函数 来描述，时刻 时波在空间一点 的强度 正比于该时刻粒子在该点 出现的几率 表示(正比于)在 点处，体积元 中找到粒子的几率Born 1926年提出了波函数的统计解释 (1)描写粒子的波可以认为是几率波.粒子本身是 完整的,但运动没有轨道,任一时刻粒子在空间各点都有出现的几率;(2)波函数本身没有物理意义,波的强度 有物理意义: 表示粒子在t时刻在空间各点出现的几率分布.（1）归一化条件在任意时刻在全

4、空间找到粒子的几率应为1，即要求波函数满足归一化条件：若波函数不满足归一化条件,则将波函数乘以归一化常数 ,波函数的归一化解出2.1-3 波函数归一化归一化的波函数为:使得即 和 描述同一状态归一化的波函数为:则或若 波函数乘上一个常数N后，所描写的粒子状态不变，因为物理上有意义的是相对几率分布归一化后，在 时刻， 点， 体积元内粒子出现的几率是（2）几率和几率密度在 时刻， 点附近单位体积元 内粒子出现的几率密度几率密度归一化波函数三维空间注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。(3)平面波归一化一维空间傅立叶变换2.

5、1-4 粒子动量取值的几率分布逆变换一一对应,同一量子态的不同描述方式若 已归一化，则 也是归一化的和t时刻粒子出现在 附近 体积元内的几率t时刻粒子出现在 附近 体积元内的几率物理意义:动量取值的几率分布2.1-5 坐标和动量的期望值（1）坐标期望值设 是归一化波函数， 是粒子出现在x处dx线段元内的几率，则坐标的期望值为：三维情况一维情况 是粒子动量在 点取值的几率，动量 的期望值为：这里一维情况（2）动量期望值1.2.这里三维情况：（3）坐标算符动量算符的x分量一维情况三维情况（4）力学量算符 势能，动能，哈密顿函数的算符表示例： 动能的期望值(一维情况)式中把该力学量对应的算符夹在 和

6、 之间,对全空间积分，即（5）任一力学量的期望值哈密顿函数（6）角动量算符三个分量期望值2.1-6 量子态；量子力学的第一条假设量子态：微观体系的运动状态。用波函数描述。量子力学的第一条假设微观体系的运动状态由相应的波函数完全地描述。波函数归一化后，给出粒子在这个运动状态下，在任一时刻坐标、动量以及其它所有力学量取值的几率分布，用它们来统计性地完全确定这个运动状态。S2开：状态 强度分布|2|22.2 态叠加原理电子双缝干涉示意图S1开：状态强度分布|1|21,2同时开：状态, 强度分布|2PS1S2电子源感光屏一个电子有 和 两种可能的状态,则处于这两种状态的叠加而成的态实验表明而是若 是微

7、观体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 也是体系的一个可能状态。 处于 态的微观体系，处于 态， 态.， . 等诸状态各有一定的可能性。量子力学的态叠加原理2.3 Schrdinger 方程2.3-1 方程的引出； 量子力学的第二条假设2.3-2 几率守恒和几率流密度2.3-3 波函数的标准条件2.3-1 方程的引出； 量子力学的第二条假设类比经典情况量子情况1t=t0 时刻，已知初态是 ，所以波函数 所满足的方程是 对时间的一阶导数。2 满足态叠加原理，故 若 和 是方程的解，那末, 也应是 该方程的解。这就要求方程应是线性的。3方程含普朗克常数4对时间一阶微商的波动方程含虚数i5方程

8、不能包含状态参量，如 , 等 故所以方程合理地写成:能量量纲线性算符；能量量纲(1)自由粒子满足的方程自由粒子波函数:将对坐标二次微商，有：上式对时间微商，得：同理有：？ No对自由粒子有 ，则上式右边为零(1)-(2)式相加，有故和前面公式比较得如果能量关系式 写成如下方程形式:作算符替换（见4式）即给出(3)式启发：给出Schrdinger方程若粒子处于势场 中运动，(2) 势场 中的运动粒子作用波函数上其能量-动量关系为然后作算符替换 对于任一个非相对论性微观体系，不论它是单粒子 体系还是多粒子体系，也不论它有无对应的经典体系，设它的哈密顿量为 ，则该体系的任一运动状态的波函数 都满足如

9、下所示的Schrdinger方程（3）量子力学第二条假设其中 对一个粒子而言，在全空间找到它的几率总和应不随时间改变，即几率密度分布2.3-2 几率守恒与几率流密度（1）几率流密度矢量总几率守恒将 式得：考虑 Schrdinger 方程及共轭方程：对几率密度分布对时间取微分注意:(7)令几率流密度矢量（2）几率密度分布随时间演化方程粒子在空间某处出现的几率不会凭空地增加或减少，必定通过几率流的方式与空间其它位置进行几率的相互传递。粒子几率守恒的微分表达式(7)式可写成粒子几率守恒的积分表示式单位时间内通过 V 的封闭表面S流入区域内的几率闭区域 V上找到粒子的总几率在单位时间内的增量SV（3）

10、几率守恒的积分表达式在空间闭区域V中将上式积分，则有令 V 趋于，积分对全空间进行。考虑粒子在有限空间内运动，波函数在无穷远处为零，则公式右边面积分趋于零于是或说明:粒子在全空间出现的总几率是守恒的。有限空间内运动，波函数为平方可积的满足三个条件有限性、单值性、连续性波函数对空间坐标的一阶微商连续2.3-3 波函数的标准条件束缚态:粒子受势场束缚，波函数在空间无穷远处值为零自由态:2.4 定态 Schrdinger 方程2.4-1 定态与定态薛定谔方程2.4-2 非定态由若干定态叠加而成若 与时间无关,故 与时间无关令2.4-1 定态和定态 Schrdinger 方程得分离变量法两边同除得上式

11、可化为两个方程:于是E具有能量量纲，实数有此时体系能量有确定的值，这种状态称为定态，波函数 和 称为定态波函数。定态和定态波函数定态薛定谔方程空间波函数 和能量E可由该方程和边界条件得出能量本征值方程哈密顿算符下一步工作：给出所有容许的定态对于束缚定态: E不能任意取值,因为方程解需满足有限、单值、连续三个条件每个能量(本征值)称为能级，其解为对应的定态波函数(本征函数)能谱本征值谱；本征函数组若一个能级对应多个定态,则称为该能级简并定态的性质1.粒子在空间几率密度分布与时间无关简并度：一个能量E对应有d个独立无关的波函数，称为该能级d度简并。2. 几率流密度矢量与时间无关3.粒子动量的几率密度分布与时间无关4. 任何不显含t的力学量期望值与t无关2.4-2 非定态由若干定态叠加而成当 与时间无关,可以处于两类状态: 定态,非定态非定态：由若干个不同能量的定态叠加而成满足代入有利用因为不同的 独立无关，故体系的任意定态波函数线性叠加(叠加系数与时间无关)，描述这个体系的一个非定态。求体系t0时刻的非定态波