医学统计学：第8讲常用概率分布

1、二项分布(binomial distribution)二分类资料，观察对象的结局只有相互对立的两种结果。 例如： 生存、死亡 阳性、阴性 发病、不发病 治愈、未愈先看一个例子已知：小白鼠接受某种毒物一定剂量时， 死亡率=80% 生存率=20%每只鼠独立做实验，相互不受影响若每组各用3只小白鼠（甲、乙、丙）3只小白鼠的存亡方式符合二项分布概率的乘法法则 : 几个独立事件同时发生的概率，等于各独立事件的概率之积 概率的加法法则 : 互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和3只小白鼠均生存的概率：P=0.20.20.2=0.0083只小白鼠2生1死的概率：P1=0.20.20.8=0.032P2=0

2、.20.80.2=0.032 P=0.096P3=0.80.20.2=0.0323只小白鼠1生2死的概率：P1=0.20.80.8=0.128P2=0.80.80.2=0.128 P=0.384P3=0.80.20.8=0.1283只小白鼠均死亡的概率：P=0.80.80.8=0.512x00.50.40.30.20.10.0123(0.2+0.8)3 二项分布示意图二项分布的定义从阳性率为的总体中随机抽取含量为n的样本，恰有X例阳性的概率为： X=0,1,2,n 则称X服从参数为n和的二项分布，记为：XB(n,)。其中参数 n由实验者确定，而常常是未知的。如已知n=3，=0.8，则恰有例阳性

3、的概率P(1)为： 二项分布的性质（一）均数与标准差二项分布的性质（二）累计概率(cumulative probability)从阳性率为的总体中随机抽取n个个体 最多有k例阳性的概率：最少有k例阳性的概率： 递推公式：二项分布的例子据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率为85，今有5个患者用该药治疗，问： 至少3人有效的概率为多少？ 最多1人有效的概率为多少？ 至少3人有效的概率：P(X3)=P(3)+P(4)+P(5)则 P(X3)=0.1381781250.3915046880.443705313=0.973388126 最多1人有效的概率为： P(X 1)=P(0)+

4、P(1)二项分布的图形特征偏态分布N逐步增大且 不要太小或太大（ 和 ），二项分布趋向与正态分布。 二项分布的应用条件各观察单位只能有互相对立的一种结果，属于二分类资料 已知发生某一结果(如阴性)的概率不变，其对立结果(如阳性)的概率则为1-n次试验在相同条件下进行，且各观察单位的结果互相独立 Poisson 分布的概念单位时间、单位空间内某事件的发生数单位人群（较大）中某稀有事件的发生数放射性物质每分钟放射的脉冲数每ml水中大肠菌群数、每升空气中粉尘数、每1万个细胞中有多少个发生突变某地每天的交通事故数、某工矿企业每天的工伤人数足球比赛每场的进球数生物：每平方公里有多少植物如果某事件的发生是

5、完全随机的，则单位时间或单位空间内，事件发生0次、l次、2次的概率为： X=0，1，2， 则称该事件的发生服从参数为的Poisson分布，记为XPoisson()。X为单位时间或空间内某事件的发生数，P(X)为事件数为X时的概率，e为自然对数的底。Poisson分布的性质（一）均数与方差 Poisson分布的方差2与均数 相等，均为 ，即：2= 其中参数 即为均数，表示单位空间或时间内事件平均发生的次数，又称强度参数。 Poisson分布的性质（二）累计概率最多为k次的概率：最少为k次的概率： 递推公式： Poisson分布的形状取决于 的大小。 Poisson分布为正偏态分布，且 愈小分布愈

6、偏； 随着 的增大，分布逐渐趋于对称当 =20时已基本接近对称分布；当 = 50时，Poisson分布近似正态分布， 50时可按正态分布原理处理之。 Poisson分布的性质（三）图 Poisson分布示意可加性 以较小的度量单位，观察某一现象的发生数时，如果它呈Poisson分布，那么把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈Poisson分布。 Poisson分布的性质（四） 例如，已知某放射性物质每10分钟放射脉冲数呈Poisson分布，5次测量的结果，分别为35、34、36、38、34次，那么50分钟放射脉冲数(总计为177次)亦呈一Poisson分布。因此 Poisson分布资料可利用可加性原理使50，然后用正态近似法处理之。 可加性示例Poisson分布的性质（五）Poisson分布是二项分布的极限形式 二项分布中，当很小，比如0.05，而n很大，二项分布逼近Poisson分布。且：其中= n。n愈大，近似程度愈好。如果某些现象的发生率甚少，而样本例数n甚多时，二项分布常用Poisson分布来简化运算。 一个实例： 据以往经验，新生儿染色体异常率为1，试分别