2021-2022学年四川省成都市双流区高二下学期3月月考数学（理）试题【含答案】

1、2021-2022学年四川省成都市双流区高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1已知命题：，则为（）A，B，C，D，C【分析】根据特称命题的否定变量词否结论即可得正确答案.【详解】命题：，则为，故选：C.2如图是函数y=f（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A在区间上f（x）单调递增B在区间（1，3）上f（x）单调递减C在区间上f（x）单调递增D在区间（3，5）上f（x）单调递增C【分析】根据导数的正负依次判断单调性即可.【详解】由导数图象知，在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，A错误；在区间上大于0，在上小于0，函数f（x）先增后减，B错误；在区间上大于0，函数f（

2、x）单调递增，C正确；在区间上小于0，在上大于0，函数f（x）先减后增，D错误.故选：C.3已知直线，,若，则=A或B或CDB【分析】由两直线垂直关系可得2a（a+1）+（a+1）（a1）0，即可求出a.【详解】直线l1：2ax+（a+1）y+10，l2：（a+1）x+（a1）y0，且l1l2，2a（a+1）+（a+1）（a1）0，解得a或a1故或.本题考查直线的一般式方程与两直线的垂直关系，利用两直线垂直的性质解题是关键，属于基础题4下列函数中，在上为增函数的是（）ABCDB【分析】A中根据正弦函数的单调性即可判断；B中，利用导数判定在上是增函数；C中，利用导数判定在上是减函数，在，上是增函

3、数；D中，利用导数判定在上是增函数，在上是减函数【详解】解：对于A，是周期函数，当，即时，函数是减函数，不满足题意；对于B，当时，在上是增函数；对于C，当时，是减函数；，时，是增函数；不满足题意；对于D，当时，是增函数，当时，是减函数，不满足题意综上，在上为增函数的是B故选：B5已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）ABCDD直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程.【详解】直线与轴的交点为,直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.则，所以椭圆的方程为.故D本题考椭圆的简单几何性质，根据

4、离心率求，属于基础题.6设a，b，c表示不同直线，表示不同平面，下列命题：若ac，bc，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的个数是（）A1B2C3D4A利用线面平行和线线平行的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择【详解】由题意，对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，根据ab，b，可以推出a或a，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出a与b平行，相交或异面，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出ab或a与b异面，故是假命题所以真命题的个数是1.故选：A.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题

5、7在以下三个命题中，真命题的个数是（）.若三个非零向量，不能构成空间的一个基底，则，共面；若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底.A0B1C2D3C【分析】根据空间向量的基底的概念，逐个判断可得答案.【详解】正确，作为基底的向量必须不共面；正确；错误，因为，共面，所以不能构成基底.故只有正确.故选：C.本题考查了空间向量的基底的概念，属于基础题.8对于空间任意一点和不共线的三点，且有，则，是,四点共面的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件B【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点和

6、不共线的三点，且,得,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可.【详解】解：空间任意一点和不共线的三点，且则,四点共面等价于若，则，所以,四点共面若,四点共面，则，不能得到，所以，是,四点共面的充分不必要条件故选B.本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.9如图，是正三角形所在平面外一点，分别是和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCDB【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线夹角.【详解】不妨设，如图建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，又，分别是和的中点，则，所以，所以，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：

7、B.10如图中，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边，的中点，点在线段上，且分所成的定比为，现用基向量，表示向量，设，则，的值分别为（）A，B，C，D，D【分析】根据，代入计算即可得出结果.【详解】解：，分别是对边，的中点，.点在线段上，且分所成的定比为，.即，.故选：D.11某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是（）A2B4CDB先求出截面圆的半径，然后根据球的半径，小圆半径，球心距三者之间的关系列方程求解即可【详解】解：设截面圆半径为

8、，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，根据截面圆的周长可得，得，故由题意知，即，所以，故选：B本题考查球被面所截的问题，考查学生计算能力以及空间想象能力，是基础题12下列四个命题：；，其中真命题的个数是（为自然对数的底数）A1B2C3D4B【分析】根据所要比较大小的式子可以构造函数，利用其单调性即可求解.【详解】构造函数，当时，当时，所以函数在时单调递增，在时单调递减，而，所以，化简得故错误，而，所以，即，化简可得故正确，因为，所以，化简可得 ，故正确，因为当时取最大值，若成立，可得，即，显然不成立，故错误，综上可知选B.本题主要考查了利用函数的增减性比较大小，涉及构造函数

9、，利用导数求函数的单调性，属于难题.二、填空题13向量，则_【分析】利用空间向量的线性运算及向量模长的坐标公式直接计算即可.【详解】由，得，故答案为.14某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：2013年2014年2015年2016年2017年降雨量x（毫米）15001400190016002100发电量y（亿千瓦时）7.47.09.27.910.0若由表中数据求得线性回归方程为，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1800毫米，请你预测2019发电量约为_亿千瓦时.8.7【分析】根据样本中心点求得，进而求得预测值.【详解】，所以，所以，当，

10、亿千瓦时.故15已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是_【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理得到，再由基本不等式得到，转化为关于离心率的不等式，求出取值范围.【详解】由椭圆的定义可知：，在中，由余弦定理得：，所以，又，即，当且仅当时等号成立，故，所以，解得.故16设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为_【详解】试题分析：考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离解：函数与函数互为反函数，图象关于对称.函数上的点到直线的距离为.设函数.由图象关于对称得：最

11、小值为.反函数点评：本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，以及导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，同时考查了化归的思想方法，属于中档题三、解答题17求下列函数的导数(1)f（x）=x3ex；(2)g（x）=cos2x+ln（2x）(1)(2)【分析】（1）利用导函数除法求导法则进行计算；（2）利用复合函数求导法则进行计算.【详解】(1)(2)18为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百

12、分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(1) ，；(2) ，.【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得，解得，由，解得.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，乙离子残留百分比的平均值为本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.19如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF

13、的中点.证明：（1）OM平面BCF；（2）平面MDF平面EFCD.（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积得，则OMAB，又因为AB平面BCF，则可证OM平面BCF；（2）分别求得平面MDF与平面EFCD的一个法向量，利用法向量数量积为零可证平面MDF平面EFCD【详解】（1）由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），F（1，0，1），M（，0，0），O（，）（0，），（1，0，0），OMAB三棱柱ADEBCF是直三

14、棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF；（2）设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别是，（1，1，1），（1，0，0），（，1，0）所以，令得（2，1，-1），同理，令得（0，1，1），0平面MDF平面EFCD求证面面垂直的常用方法：（1）、几何法，根据面面垂直判定定理证明；（2）、用空间向量坐标法证明，求证平面的法向量数量积为零即可20如图所示，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，ABE为等边三角形，且平面ABCD平面ABE，AB2CD2BC2，P为CE中点(1)求平面ADE与平面BCE所成的二面角的余弦值；(2)在ABE内是否存在一点

15、Q，使PQ平面CDE？如果存在，求PQ的长；如果不存在，说明理由(1)(2)存在，【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面BCE的法向量，即可计算二面角的余弦值；（2）先假设存在，设出点Q坐标，通过，解出点Q即可.【详解】(1)设AB中点为O，连接OE，OD，因为平面ABCD平面ABE，ABE为等边三角形，ABOE，OE平面ABE，平面ABCD平面ABEAB所以OE平面ABCD，所以OEOD如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，0，0），D（0，0，1），C（1，0，1），E（0，0），所以设平面ADE的法向量为（x1，y1，z1），则即令z11，则

16、x11，所以，同理可求得平面BCE的一个法向量为，设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为，则，所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为(2)假设存在Q（x2，y2，0）满足题意，因为，所以，又，所以依题意有即解得易知点在ABE内，所以ABE内存在点，使PQ平面CDE，此时21已知曲线C：x2=2y，点D为直线上的动点，过点D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)若点D的坐标为，求这两条切线的方程；(2)证明：直线AB过定点.(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用导数的几何性质求解即可.（2）设，根据题意得到直线的方程为，再求直线恒过顶点即可.【详解】(1)设切点为，曲线在点处

17、的切线的斜率切线的方程为：又切线过点，解得或，故切线的方程为：或.(2)设，则.由于，所以切线的斜率为，故.整理得设，同理可得.故直线的方程为.所以直线过定点.22已知函数(1)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上都不是单调函数，求实数的取值范围(2)讨论函数的单调性(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义可构造方程求得，由此可确定和的解析式，根据不单调可知，进一步将问题转化为对于任意的恒成立，采用分离变量法可得，由此可求得范围；（2）求导得，分别在、和的情况下，根据的正负即可确定单调性.【详解】(1)，解得：，在上不单调，在上有变号零点；，由得：；由得：对于任意的，恒成立，即，又在上单调递减，解得：；综上所述：实数的取值范围为