15函数模型及其应用

1、第 PAGE 5 页 共 NUMPAGES 5 页2013届高三理科数学一轮复习15函数模型及其应用【考点解读】函数模型及其应用：B级【复习目标】了解指数函数、对数函数、幂函数、简单分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用。活动一：基础知识1常用的函数模型有： ，二次函数， ， ， ，幂函数。2指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般的，在区间上，尽管函数都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”。随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度会越来越慢，因此，总会存在一个，当时，有。3函数模型的应用实例的基本题型：（1）给定函数模型解决实

2、际问题；（2）建立确定性的函数模型解决问题；（3）建立拟合函数模型解决问题4函数建模的基本程序收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验用函数模型解释实际问题。5解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.6解答数学应用题的关键两点：（一）认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的

3、实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；（二）要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解。活动二：基础练习1某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过200元，则不予优惠，如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，如果超过500元，其500元按条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款 元。2某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两

4、个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 512 个。3圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是 () 。4将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 。5如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长为时，场地面积最大，最大面积是_.活动三：典型例题例1 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的

5、变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知： （1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？解：（1）当，是增函数，且；，是减函数，且.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.（2），故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.当时，；当，（3）令，则学生注意力在180以上所持续的时间28.574=24.572

6、4，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.例2 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x) 万元满足R(x)=.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则（1）要使工厂有赢利，则有f(x)0.当0 x5时，有0.4x2+3.2x2.

7、80,得1x7,15时，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.综上，要使工厂赢利，应满足1x5时f(x)8.25=3.2所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为=2.4（万元/百台）=240（元/台）.例3 某外商到一开放区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元.（1）若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？解：由题意知，每年的经费是以12为

8、首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为 （1）纯利润就是要求 解得 知从第三年开始获利 （2）年平均利润当且仅当n=6时取等号. 故此方案先获利616+48=144（万美元），此时n=6， 当n=10时，. 故第种方案共获利128+16=144（万美元），故比较两种方案，获利都是144万美元。但第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第方案. 活动四：自主检测1某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为

9、445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.解：设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建筑费用为：，从而当且仅当时，总费用y最少故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，最少总费用为1000A元。2（2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工19）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.（1）当

10、一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）解：()设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购量为x0个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。()当0 x100时，P=60当100 x550时，当x550时，P=51所以()设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000

11、因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元。3随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则 =依题意 0.又140420, 70210.(1)当0,即70,即140210时， , 取到最大值; 综上所述，当70140时，应裁员人；当140210时，应裁员人.4甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元. 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数，并指出函数的定义域； 为了使全程运输成