电子线路：逻辑代数基础

1、数 字 电 路逻辑代数基础1.2 逻辑代数的基本运算1.4 逻辑代数的基本定理 1.5 逻辑函数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简1.1 概述1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式1.7 逻辑函数的卡诺图化简法模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。uu模拟信号波形数字信号波形tt对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。一、数字信号与数字电路 1.1 概述0.3VVLVH3.6V0.4V2.4V 5Vt高低电平的概念数字电路的特点：速度快精度高抗干扰能力强易于集成应用领域：数字通讯自动控

2、制测量仪表电子计算机基本工作信号是二进制的数字信号数字电路，又称为逻辑电路分析和设计的主要工具是逻辑代数（布尔代数）产生和处理数字信号的电路称为数字电路。 二、数制与码 （一）数制 多位数中每一位的构成（指用哪些码）方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。1.十进制 十进制使用十个数码：09注意：小数点的前一位为第0位，即i =0如：103.45=1102+0101+3100+410-1+510-2 日常生活最常用的是十进制、七进制（星期）等数字电路中使用的是二进制和十六进制 任意一个十进制数D可按“权”展开为：其中ki是第i位的数码(09中的任意一个),10i 称为第i 位的权D=kiX10

3、i计数的基数是10，进位规则是“逢十进一”。或：103.45=1100+010+31+40.1+50.012、二进制 计数的基数是2，进位规则是“逢二进一”其中ki是第i位的数码（0或1）2i 称为第i 位的权 如：(1010.11)2=123+022+121+020 +12-1+12-2=（10.75)10下标2和10分别代表二进制数和十进制数，有时也用B（Binary）和D（Decimal）代替下标2和10 如：1010.11B=10.75D任意一个二进制数D可按“权”展开为：D=kiX2i二进制仅使用0和1两个数码或 (1010.11)2=18+04+12+01 +10.5+10.25=

4、（10.75)103.十六进制 任意一个十六进制数D可按“权”展开为：D=kiX16i 如：(2F.8)16=2161+15160+816-1=(47.5)10下标16代表十六进制数，有时也用H（Hexadecimal）代替下标16。 如：2F.8H=47.5D 二进制、十六进制数广泛应用于数字电路计数的基数是16，进位规则是“逢十六进一” 十六进制使用09、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）共16个数码（二）、数制转换请熟记2的010次方所对应的十进制数：将二进制数按“权”展开，然后把所有各项按十进制数相加将十进制数展成ki2i的形式例：(123)10=6

5、4+32+16+8+0+2+1 1.二进制十进制转换2.十进制二进制转换1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024 如：(1011)2=123+022+121+120=(11)10注意：不要漏掉0得到二进制数:knkn-1k1k0（有小数时还会有k-1）=(1111011)2=164+132+116+18+04+12+11整数部分采用除2取余法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘2取整法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10(101100.011)2或者：采用的方法 除2取余、乘2取整原理：将整数部分和小数部分分别进行转

6、换。 整数部分采用除2取余法，小数部分采用乘2取整法。转换后再合并。3.二进制十六进制转换十六进制实际上也应属于二进制的范畴例：（10111011001.111）2将4位二进制数（恰好有16个状态）看作一个整体时，它的进位关系正好是“逢十六进一”所以只要以小数点为界，每4位二进制数为一组（高位不足4位时，前面补0，低位不足4位时，后面补0），并代之以等值的十六进制数，即可完成转换 =（5D9.E）16=（0101，1101，1001.1110）24.十六进制二进制转换5.十六进制十进制转换将每1位十六进制数代之以等值的4位二进制数只要将十六进制数按公式：展开，然后把所有各项按十进制数相加，即转

7、换成十进制数。也可先将十六进制数转换成二进制数，再转换成十进制数。或：(3F)16=(111111)2=(1000000-1)2=126-1=(64-1)10=(63)10例：(3F)16或：(3F)16=(111111)2=125+124+123+122+121+120=(63)10例：(8AF.D5)16=(100010101111.11010101) 2=3161+15160=(63)10当数码表示不同的对象（或信息）时被称为代码 如：邮政编码、汽车牌照、房间号等，它们都没有大小的含意(三)码制为了便于记忆和处理（如查询），在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就叫做码制。1. BCD

8、码：用4位二进制数码表示十进制数，有多种不同的码制。这些代码称为二十进制代码，简称BCD码。8421码、2421码、5211码是有权码。如8421码中从左到右的权依次为：8、4、2、1。8421码是最常用的BCD码。余3码是无权码，编码规则是：将余3码看作四位二进制数，其数值要比它表示的十进制数多3余3循环码主要特点是：相邻的两个代码之间只有一位取值不同8421码余3码2421码5211码余3循环码0123456789权无权码无权码种类编码十进制数几种常见的BCD码 8421码是BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为8，4，2，1。另外，每个代码的数值

9、恰好等于它所表示的十进制数的大小。 2421码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制数“5”可以编码为“1011”或“0101”）；09、18、27等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化； 余3码被看成4位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多3。如果将两个余3码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多6。因此，在用余3码作十进制加法运算时，若两数之和为10，正好等于二进制数的16，于是从高位自动产生进位信号。 余3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误。三、算术运算与逻辑运算

10、逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（Geroge.Boole）于1848年首先进行系统论述的，也称布尔代数。 所研究的是两值变量的运算规律，即0，1表示两种不同的逻辑状态。 算术运算：两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。 逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算。在数字电路中二进制数码的0和1，不仅可以表示大小，还可以表示不同的逻辑状态（将在下一节专门介绍 ）例：当0和1表示大小时，它们之间可以进行算术运算运算规则 ：“逢二进一”1 1 0 1 + 1 11101+11=010101011100001110-11=1011例：1 1 1 0- 1 11

11、0 1 1在逻辑代数（又称布尔代数）中的变量称为逻辑变量一、三种基本运算（一）基本运算的概念变量的取值只有和两种可能 只有当两个开关同时闭合，指示灯才会亮我们约定：把开关闭合作为条件满足，把指示灯亮作为结果发生只有条件同时满足时，结果才发生,+-AYB逻辑与（逻辑乘、积）这种因果关系叫做逻辑与，或者叫逻辑乘。灭亮1.2 逻辑代数的基本运算只要条件之一满足时，结果就发生，这种因果关系叫做逻辑或开关闭合时，指示灯不亮，而开关断开时，指示灯亮逻辑非只要有任意一个开关闭合，指示灯就亮；只要条件满足，结果就不发生；而条件不满足，结果一定发生。这种因果关系叫做逻辑非，或者叫逻辑反 逻辑或（逻辑加、和）灭亮

12、+-AYB逻辑非（逻辑反、反相）+-AYR亮灭若条件满足用1表示，不满足用0表示；事件发生用1表示，不发生用表示0。则可以列出逻辑关系的图表逻辑真值表 与（AND）或（OR） 非（NOT）ABYABYAY0 0 00 1 01 0 01 1 10 0 00 1 11 0 11 1 10 1 1 0 1.逻辑真值表（二）逻辑运算的描述2.逻辑表达式3.逻辑符号Y=AB 或写成：Y=AB与：或：非:Y=A+B实现与、或、非逻辑运算的单元电路分别叫做与门、或门、非门 &YAB1ABY1AY与门或门非门与门或门非门二、复合逻辑运算实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂的多，不过它们都可以用与、或、非的组合

13、来实现。最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。ABY0 0 1与非或非异或同或0 1 11 0 11 1 0只有输入都是1时,输出才是0ABY0 0 10 1 01 0 01 1 0ABY0 0 00 1 11 0 11 1 0ABY0 0 10 1 01 0 01 1 1只要输入有一个为0,输出就是1只有输入都是0时,输出才是1输入不同时,输出为1输入不同时,输出为0只要输入有一个为1时,输出就是0输入相同时,输出为0输入相同时,输出为1A B与或非&=11=1与或非真值表 只有A、B或C、D同时为1时,输出才是0与或非表达式： 与或非门 逻辑符号 与非门 或非门 异或门

14、同或门 &11.3 逻辑代数的基本公式和常用公式一、常量之间的关系二、基本公式0-1律：描述了变量与常量之间的运算规则 互补律:描述了变量与其反变量之间的运算规律重叠律:描述了同一变量的运算规律非非律：表明一个变量经过两次求反之后还原为其本身分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。 证： (A+B)(A+C)= (A+B)A+ (A+B)C =AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC 因此有 A+BC=(A+B)(A+C) 证明 AB0

15、 00 11 01 11110111010001000证明：公式可推广为：若两个乘积项分别含有同一因子的原变量和反变量（如上式中的A和 ），而这两项的其它因子又都是第三个乘积项的因子，则第三个乘积项是多余的。 例： A+ =1吸收一、代入定理1.4 逻辑代数的基本定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立例： A B= A+B利用反演律BC替代B得由此反演律能推广到n个变量：二、反演定理例：又例：如Y是一个与或式（先与运算再或运算），而看作一个整体（或说成一个变量） 将Y中的则变成了或与式对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理： 若把式中

16、的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”; 常量“0”换成“1”，“1”换成“0”； 原变量换成反变量，反变量换成原变量那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。注： 保持原函数的运算次序，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保留不变例：F(A、B、C)其反函数为或三、对偶定理 将一个等式两边的“ ”换成“+”，“+”换成“ ”，0换成1，1换成0，保持变量不变，得到一个新的等式.，这两个等式互为对偶式，这就是对偶定理。 例：我们观察基本公式会发现公式1和公式2它们都互为对偶式。 互为对偶式

17、互为对偶式1.5 逻辑函数及其表示方法 一、逻辑函数逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑函数。记为注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。二、逻辑函数的表示方法(逻辑式、真值表、逻辑图、卡诺图）1.逻辑表达式逻辑表达式：将输入与输出之间的逻辑关系用逻辑运算符号来描述。特点是：简洁、抽象，便于化简和转换 。例:Y=(B+C)A2.逻辑真值表（简称真值表）特点是：直观、烦琐（尤其是输入变量较多时），具有唯一性。是将实际的问

18、题抽象为逻辑问题的首选描述方法 。真值表：将输入变量所有的取值和对应的函数值，列成表格。ABY0 0 10 1 11 0 11 1 0逻辑图：将输入与输出之间的逻辑关系用逻辑图形符号来描述。3.逻辑图卡诺图是专门用来化简逻辑函数的，将在下一节专门介绍。 4.卡诺图特点是：接近实际电路，是组装、维修的必要资料 。例：对一个举重裁判电路，规定必须有一名主裁判和任一名副裁判同时认定运动员动作合格，试举才成功，即灯亮。主裁判掌握按钮A，两名副裁判分别掌握按钮B和C，裁判认为动作合格才按钮。解：以A=1,B=1,C=1表示三按纽按下状态，A=0,B=0,C=0表示没有按下，Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不

19、亮，得逻辑函数： Y=F(A,B,C)A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1 Y=(B+C)A =A (B+C)(3)逻辑图：(1) 逻辑真值表 (2) 逻辑表达式：Y=ABC+A!BC+AB!C =ABC+A!BC+ABC+AB!C =AB+AC =A (B+C)三、逻辑函数的最小项： 最小项：一个n变量的逻辑函数的“与或”式，若其中每个“与”项都包含了n个变量(每个变量或以其原变量形式、或以其反变量形式在“与”项中必须并且仅出现一次)，这种“与”项称为最小项。 三变量逻辑函数的最小项有8个（23），四变

20、量逻辑函数的最小项有16个（24），. n变量逻辑函数的最小项有2n个 。 以三变量的逻辑函数为例，以下为三变量最小项的编号表(下一页）任意的逻辑函数可以写成最小项Y=f(A)最小项 任意的Y=f(A)都可以写成任意的逻辑函数可以写成最小项Y=f(A,B)最小项 任意的8、设计一个二楼楼梯开关控制电路。楼梯上有一盏灯，各层楼各有一个控制该灯的开关A、B，要求上楼时可在楼下开灯，上楼后在楼上顺手关灯，下楼时可在楼上开灯，下楼后在楼下顺手关灯。用与非门实现该逻辑电路。8、设计一个二楼楼梯开关控制电路。楼梯上有一盏灯，各层楼各有一个控制该灯的开关A、B，要求上楼时可在楼下开灯，上楼后在楼上顺手关灯，

21、下楼时可在楼上开灯，下楼后在楼下顺手关灯。用与非门实现该逻辑电路。方案：A为任意值是，输出Y可以随B变化；B为任意值时 ，输出Y可以随A变化。ABY001010111100将真值表代入公式，可得到系数的值。任意的逻辑函数可以写成最小项之和Y=f(A,B,C)最小项 任意的若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例： 和 ，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。最小项性质：在输入变量的任何一取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。任意两个最小项的乘积为0。全体最小项之和为1。具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。 逻辑函数的最小项之和形式：利用

22、基本公式 可把任一逻辑函数式展开为最小项之和的形式。这种形式在逻辑函数的图形化简法中以及计算机辅助分析和设计中得到广泛应用。例1：例2：1.6逻辑函数的公式化简一、 逻辑运算符的完备性 对于一个代数系统， 若仅用它所定义的一组运算符号就能解决所有的运算问题， 则称这一组符号是一个完备的集合， 简称完备集。 在逻辑代数中， 与、 或、 非是三种最基本的运算，n变量的所有逻辑函数都可以用n个变量及一组逻辑运算符“、 +、 -”来构成， 因此称“、 +、 -”运算符是一组完备集。 但是“与、 或、 非”并不是最好的完备集， 因为它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。 实际上从反演律可以看出， 有

23、了“与”和“非”可得出“或”， 有了“或”和“非”可得出“与”， 因此“与非”、 “或非”、 “与或非”运算中的任何一种都能单独实现“与、 或、 非”运算， 这三种复合运算每种都是完备集， 而且实现函数只需要一种规格的逻辑门， 这就给设计工作带来许多方便。 例如，任何一个逻辑函数式都可以通过逻辑变换写成以下五种形式： 与或式 或与式 与非与非式 或非或非式 与或非式 意义 表达式越简单逻辑图就越简单，对应的实际电路也就越简单、经 济、可靠 最简与或式的定义：乘积项最少、乘积项中的因子也最少。二、化简方法1.合并法利用公式： 例： AB是公共因子介绍最简与或式的目的有两个：一是容易判断是否最简，

24、二是化简的工具（就是基本公式和定理）方便。 两个乘积项分别含有同一因子的原变量和反变量，而其它因子都相同公共因子，可以合并成一项，留下公共因子2.吸收法利用公式： 例： 两个乘积项相加，如果一项是另一项的因子，则另一项是多余的3.消项法利用公式 例： 4.消因子法例： 两个乘积项分别含有同一因子A的原变量和反变量，而这两项的其它因子又都是第三个乘积项的因子，则第三个乘积项是多余的两个乘积项相加，如果一项的反是另一项的因子，则另一项中的这个因子是多余的摩根定理提取C消去因子证明：A+!AB=!A(A+!B)(反演律)=!AA+!A!B=!A!B=A+B吸收化简较复杂的函数时，往往需要灵活地、交替

25、地综合运用上述方法，才能得到最简的结果。例： 解：注意用公式化简斜体部分。用公式化简函数，没有固定的步骤，比较灵活，有一定的技巧。消去因子摩根定理吸收两个乘积项分别含有同一因子B的原变量和反变量，而这两项的其它因子又都是第三个乘积项的因子，则第三个乘积项是多余的1.7逻辑函数的卡诺图化简 一、逻辑函数的卡诺图表示 （一）最小项的相邻性中，两个最小项只有一个变量取值不同，我们就说这两个最小项在逻辑上相邻。例如： 、ABC就是两个逻辑相邻的最小项 中，用公式可以化简上式： 合并这两个最小项合并成了一项，消去了那个变量取值不同的变量（因子），剩下“公共”变量（因子）。 这不是一个“偶然”，而是一个规

26、律,但直接从表达式中观察相邻的最小项有一定的难度。（二）卡诺图卡诺图以方块图的形式，将逻辑上相邻的最小项放在一起，这对化简逻辑函数非常直观、方便 三变量的卡诺图 四变量的卡诺图 000111100m0m1m3m21m4m5m7m60001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m10ABCDBCA除了几何位置（上下左右）相邻的最小项逻辑相邻以外，一行或一列的两端也有相邻性 。图形左侧和上侧的数字，表示对应最小项变量的取值 AB=11CD=10要熟记这些数字和最小项的排列次序ABCD=1110对应的最小项是 m14=（三）用卡诺图表示逻辑函数首先把逻辑函数转换成最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填1，其余填0（也可以不填），就得到了表示这个逻辑函数的卡诺图。实际上就是将函数值填入相应的方块。 例：填写三变量逻辑函数Y（A、B、C）=m(3,5,6,7)的卡诺图0001111001BCA1解：Y有4个最小