极坐标和参数方程知识点+典型例题与其详解

1、PAGE1 / NUMPAGES22极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即xf(t)yf(t)并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（x0，y0），倾角为的直线：xyx0y0ttcossin（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离根据t的几何意义

2、，有以下结论1设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则ABtBtA2(tBt)4ttAAB2线段AB的中点所对应的参数值等于tAt2B2中心在（x0，y0），半径等于r的圆：xyx0y0rrcossin（为参数）3中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：xyacosbsin（为参数）（或xybcosasin）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程xyx0y0acosbsin,.(为参数）4中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：xasecxbtg（为参数）（或）ybtgyasec5顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：2x2pt（t为参数，p

3、0）y2pt直线的参数方程和参数的几何意义xxtcos0过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是sinyyt0（t为参数）（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(,)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。MxO图12、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，

4、但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,2k)或（，(k），(kZ)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值X围加以限制则21)除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，02或0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：0acosacosasinasincos(a)M（，）MM0OxOaaO图1图3图20aacoscosM（，）MOaN(a,)aaO图4asinM图5asinO

5、图6pacos()4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a0)：a2acos2acos2asin2asin2acos()MMMaaOxOxaxO图3图2图12acosa2acosOxMMaaM(a,)aO图4x图5Ox图62asin2asin2acos()5、极坐标与直角坐标互化公式：yNx(,)MyxcosO2y2x2Hysinytan(xx0)（直极互化图）基础训练A组一、选择题1若直线的参数方程为x12ty23t()t为参数，则直线的斜率为（）A23B23C32D322下列在曲线xysin2cossin()为参数上的点是（）A1(,2)2B31(,)42C(2,3)D(1

6、,3)2x2sin3将参数方程(为参数)化为普通方程为（）2ysinAyx2Byx2Cyx2(2x3)Dyx2(0y1)4化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为（）A2201x或Bx1Cyy2201x或xDy1y5点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）A(2,)3B(2,)3C2(2,)3D(2,2k),(kZ)36极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆二、填空题1直线x34ty45t(t为参数)的斜率为_。ttxee2参数方程()t为参数的普通方程为_。tty2(ee)x13tl:(t为参数)与直线l2:2x4y5相交于点B

7、，又点A(1,2)，3已知直线1y24t则AB_。4直线1x2t2()t为参数被圆1y1t2224xy截得的弦长为_。5直线xcosysin0的极坐标方程为_。三、解答题1已知点P(x,y)是圆222xyy上的动点，（1）求2xy的取值X围；（2）若xya0恒成立，XX数a的取值X围。2求直线x1tl:(t)为参数和直线1y53tl2:xy230的交点P的坐标，及点P与Q(1,5)的距离。3在椭圆22xy16121上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值。一、选择题xat1直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点ybtP对应的参数是t1，则点P1与P(a,b)1之间的距离是（）2tA

8、t1B2t1C2t1D12xt1t2参数方程为(t为参数)表示的曲线是（）y2A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线3直线1x1t23y33t2(t为参数)和圆2216xy交于A,B两点，则AB的中点坐标为（）A(3,3)B(3,3)C(3,3)D(3,3)4圆5cos53sin的圆心坐标是（）A4(5,)3B(5,)3C(5,)3D5(5,)3xt5与参数方程为(t)为参数等价的普通方程为（）y21tA22yxB142x2y41(0 x1)C2y2xD1(0y2)42x2y41(0 x1,0y2)6直线x2ty1t(t为参数)被圆22(x3)(y1)25所截得的弦长为（）A98B4014C

9、82D9343二、填空题x11t为参数,t0，则它的普通方程为_。1曲线的参数方程是(t)2y1t2直线x3aty14t(t为参数)过定点_。3点P(x,y)是椭圆222x3y12上的一个动点，则x2y的最大值为_。4曲线的极坐标方程为tan1cos，则曲线的直角坐标方程为_。5设ytx(t为参数)则圆2240 xyy的参数方程为_。三、解答题1参数方程xycos(sincos)sin(sincos)(为参数)表示什么曲线？2点P在椭圆22xy1691上，求点P到直线3x4y24的最大距离和最小距离。3已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，6（1）写出直线l的参数方程。2y2（2）设l与圆4x

10、相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。一、选择题1把方程xy1化为以t参数的参数方程是（）Axtyt1212BxsintxcostxtantCD111yyysintcosttant2曲线x25ty12t(t)为参数与坐标轴的交点是（）A21(0,)(,0)、B5211(0,)、(,0)C(0,4)、(8,0)D525(0,)、(8,0)93直线x12ty2t(t为参数)被圆229xy截得的弦长为（）A125B1255C955D95102x4t4若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则PF等于（）y4tA2B3C4D55极坐标方程cos20表示的曲线为（）A极点B极轴C

11、一条直线D两条相交直线6在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（）Acos2Bsin2C4sin()3D4sin()3二、填空题1已知曲线2x2pty2pt(t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t和t，12,且t1t20，那么MN=_。x22t为参数上与点A(2,3)的距离等于2的点的坐标是_。(t)2直线y32t3圆的参数方程为xy3sin4cos4sin3cos(为参数)，则此圆的半径为_。4极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_。5直线xtytcossin与圆xy42cos2sin相切，则_。三、解答题1分别在下列两种情况下，把参数方程1ttx(ee)

12、cos21tty(ee)sin2化为普通方程：（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数；2过点10P(,0)作倾斜角为的直线与曲线221221xy交于点M,N，求PMPN的值及相应的的值。新课程高中数学训练题组参考答案数学选修4-4坐标系与参数方程基础训练A组一、选择题1Dky23t3x12t22B转化为普通方程：21yx，当3x时，4y123C转化为普通方程：yx2，但是x2,3,y0,14C22(cos1)0,xy0,或cosx15C2(2,2k),(kZ)都是极坐标36C2cos4sincos,cos0,或4sin,即4sin则k,或2224xyy二、填空题154ky45t5x34

13、t4222xy4161,(x2)ttxeey2tteeytx2e2yx2e2tyy(x)(x)422352将x13ty24t代入2x4y5得1t，则25B(,0)，而A(1,2)，得2AB52414直线为xy10，圆心到直线的距离12d，弦长的一半为22222142()22，得弦长为145coscossinsin0,cos()0，取22三、解答题1解：（1）设圆的参数方程为xycos1sin，2xy2cossin15sin()1512xy51（2）xyacossin1a0a(cossin)12sin()14a212解：将x1ty53t代入xy230得t23，得P(123,1)，而Q(1,5)，

14、得PQ22(23)6433解：设椭圆的参数方程为xy4cos23sin，d4cos43sin1254545cos3sin32cos()3553当cos()1345d，此时所求点为(2,3)。时，min5新课程高中数学训练题组参考答案一、选择题1C距离为22t1t12t12Dy2表示一条平行于x轴的直线，而x2,或x2，所以表示两条射线3D1322(1t)(33t)16，得22tt2880tt，12t1t28,42中点为xy1142x33y333424A圆心为553(,)225D22yy2,112,21,0,011,02xttxx而tt得y446C2x22tx2t2y1t2y12t2，把直线x2

15、ty1t代入22(x3)(y1)25得222(5t)(2t)25,t7t202t1t2(t1t2)4t1t241，弦长为2tt8212二、填空题x(x2)12y(x1)(x1)111x,t,t1x而2y1t，即1x(x2)2y1()(x1)21x(x1)2(3,1)y14x3a，(y1)a4x120对于任何a都成立，则x3,且y1322椭圆为22xy641，设P(6cos,2sin)，x2y6cos4sin22sin()2242xy1sin222tan,cossin,cossin,2coscos即2xy5xy4t1t4t122t22()240 xtxtx，当x0时，y0；当x0时，x14tt2

16、；而ytx，即y14t22t，得xy4t1t4t1222t三、解答题y1解：显然tanx，则2y1121,cos222xcosy2x1x222112tancossincossin2coscos2221tan即yy21211yyxxx,x(1)122222yyyxx111222xxx得x2yyxx1，即220 xyxy2解：设P(4cos,3sin)，则d12cos12sin245即122cos()244d，5当cos()1412时，maxd(22)；5当cos()1412时，mind(22)。53解：（1）直线的参数方程为x1tcosy1tsin66，即3x1t21y1t2（2）把直线3x1t

17、21y1t2代入x2y24得31222(1t)(1t)4,t(31)t2022t1t22，则点P到A,B两点的距离之积为2坐标系与参数方程提高训练C组一、选择题1Dxy1，x取非零实数，而A，B，C中的x的X围有各自的限制2B当x0时，2t，而y12t，即51y，得与y轴的交点为51(0,)5；当y0时，1t，而x25t，即21x，得与x轴的交点为21(,0)23B2x15tx12t5y2t1y15t5，把直线x12ty2t代入229xy得222(12t)(2t)9,5t8t408161222tt(tt)4tt()，弦长为121212555125tt51254C抛物线为24yx，准线为x1，P

18、F为P(3,m)到准线x1的距离，即为45Dcos20,cos20,k，为两条相交直线46A4sin的普通方程为2(2)24xy，cos2的普通方程为x2圆2(2)24xy与直线x2显然相切二、填空题14pt1显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，MN2pt1t22p2t12(3,4),或(1,2)222212(2t)(2t)(2),t,t2235由xy3sin4cos4sin3cos得2225xy422圆心分别为1(,0)2和1(0,)256，或56直线为，圆为yxtan5易知倾斜角为，或6622(x4)y4，作出图形，相切时，三、解答题1解：（1）当t0时，y0,xcos，即x1,且y0；xy当t0时，cos,sin11tttt(ee)(ee)22而22