（226）数列高三一轮复习讲义（五）

1、高三一轮复习：数列- STYLEREF 标题 1 * MERGEFORMAT 参考答案或提示第 PAGE 23页 共 NUMPAGES 23页数列 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc265303557 基础知识 PAGEREF _Toc265303557 h 1 HYPERLINK l _Toc265303558 数列 PAGEREF _Toc265303558 h 5 HYPERLINK l _Toc265303559 等差数列 PAGEREF _Toc265303559 h 7 HYPERLINK l _Toc265303560 等比数列 PAGEREF _T

2、oc265303560 h 9 HYPERLINK l _Toc265303561 数列通项与求和 PAGEREF _Toc265303561 h 11 HYPERLINK l _Toc265303562 数列练习题A组 PAGEREF _Toc265303562 h 18 HYPERLINK l _Toc265303563 数列练习题B组 PAGEREF _Toc265303563 h 19 HYPERLINK l _Toc265303564 参考答案或提示 PAGEREF _Toc265303564 h 20基础知识一、等差数列与等比数列等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项

3、起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义分类递增数列：递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：通项其中（）前n项和其中中项主要性质等和性：等差数列若则推论：若则即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列若则推论：若则即：首尾颠倒相乘，则积相等其它性质1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：等差，公差为则有2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）3

4、、等差，则，也等差。4、等差数列的通项公式是的一次函数，即：() 等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，即：()5、项数为奇数的等差数列有：项数为偶数的等差数列有：，6、则则则1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为。 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）3、等比，则，也等比。其中4、等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：2、中项法：证明一个数列为等比

5、数列的方法：1、定义法：2、中项法：设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。二、数列的项与前项和的关系：课本题1等差数列前n项之和为，若，则的值为 。952已知数列中，那么的值为 。7653等差数列中，且，则中最大项为 。204已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此数列共有 项。125设等比数列中，每项均是正数，且，则 206设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：的值为 13 7

6、已知数列的通项，前n项和为，则= ( 2n-1)2+13 。8数列中，则其通项公式为 。P32习题5（2）; P37练习5; P39习题7，12; P41练习4; P45习题2（1），7，12，13; P48练习2（2）;P51例4，练习2；P5习题10；P55练习4；P58习题4，6，7；P62复习题4，7，8高考题1.已知等差数列满足，则它的前10项的和 952.已知数列对任意的满足，且，那么等于 -303.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 4.若等差数列的前5项和，且，则 135.在数列中， ，则 6.已知是等差数列，则该数列前10项和等于 1007.记等差数列的前项和为，若，

7、则 488.已知是等比数列，则= （）9.设等比数列的公比，前n项和为，则 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 11.已知函数,等差数列的公差为.若,则 . 612.设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .-7213.设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围 （）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是数列知识清单1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的

8、每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，简记作 。（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是= （7，），数列的通项公式是= （）。说明：表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面

9、每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。数列的前项和与通项的关系：课前预习1根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，

10、7；（2），；（3），。2数列中，已知，（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？3如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。4（1）已知数列适合：，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。5（05广东，14）设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点

11、若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， （用表示）。6（2003京春理14，文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_）内。等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。2、等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中 ，成等差数列。4、等

12、差数列的前和的求和公式：。5、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是， 如：，；，；（3）在等差数列中，对任意，；（4）在等差数列中，若，且，则；说明：设数列是等差数列，且公差为，（）若项数为偶数，设共有项，则奇偶； ；（）若项数为奇数，设共有项，则偶奇；。6、数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：若已知，可用二次函数最值的求法（）；若已知，则最值时的值（）可如下确定或。课前预习1（01天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B

13、.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）A B C D3（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项4（01全国理）设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.65（06全国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则A B C D6（00全国）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求

14、Tn。7（98全国）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列bn的通项bn；（）设数列an的通项an=lg（1+），记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与lgbn+1的大小，并证明你的结论。8（02上海）设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值9（94全国）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260等比数列知识清单1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与

15、它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。3等比中项如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。说

16、明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；对于等比数列，若，则，也就是：，如图所示：。若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：课前预习1在等比数列中,则 2和的等比中项为( ) . 3 在等比数列中，求，4在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 5. 在等比数列，已知，求.6（2006年辽宁卷）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列，则等于（ ）A B C D7（2006年北京卷）设，则

17、等于（ ）AB C D8（1996全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q；9（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）18910（2000上海，12）在等差数列an中，若a100，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式 成立。数列通项与求和知识清单1数列求通项与和（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠

18、加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；归纳、猜想法。（3）数列前n项和重要公式：1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2；等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=、nn！=(n+1)!n!、Cn1r1=CnrCn1r、=等。错项相消法对

19、一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法：2递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k1,an+k2,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新

20、数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。课前预习1已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。2求。3设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和。4已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。5求。6设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：7求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前n项和。 典型例题一、有关通项问题1、利用求通项EG：数列的前项和（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？变式题1、（2005湖北卷）设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；变式题2、（2

21、005北京卷）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列an的通项公式 变式题3、（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列2、解方程求通项：EG：在等差数列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知.变式题1、是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）6703、待定系数求通项：EG：写出下列数列的前5项：（1）变式题1、（2006年福建卷）已知数列满足求数列的通项公式；4、由前几项猜想通项：EG：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（1）（

22、4）（7）（ ）（ ）变式题1、（2007年深圳理科一模）如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则 ； . 变式题2、观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 .2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点A40个 B45个 C50个 D55个二、有关等差、等比数列性质问题EG：一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）A83 B108 C75 D63变式1、一个等差数列前项的和

23、为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。变式2、（江苏版第76页习题1）等比数列的各项为正数，且（ ） A12 B10 C8 D2+EG：设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A1 B.2 C.4 D.8变式题1、在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则A 33 B 72 C 84 D 189三、数列求和问题EG：已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式，并作出它的图像；（2）数列从哪一项开始小于0？（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值变式题1、已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值变式题2、

24、在等差数列中，求的最大值EG：求和：变式题1、已知数列和，设，求数列的前项和变式题2、（2007全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和变式题2设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .3、利用等比数列的前项和公式证明EG：变式题、（05天津）已知.当时，求数列的前n项和EG：（1）已知数列的通项公式为，求前项的和；（2）已知数列的通项公式为，求前项的和变式题1、已知数列的通项公式为，设，求变式题2、数列an中，a18，a42，且满足：an+22an+1an0（nN*），（）求数列an的通

25、项公式；（）设，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由实战训练A1（07重庆文）在等比数列an中，a28，a164，则公比q为（A）2（B）3（C）4（D）82（07重庆理）若等差数列的前三项和且，则等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 63设为公比q1的等比数列，若和是方程的两根，则_.4（07天津理）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（）24685设等差数列的公差是2，前项的和为，则6等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=(A)9(B)10(C)11(D)125.等差数列an的前n项和为Sn，若（A

26、）12（B）18（C）24（D）426（全国2文）已知数列的通项，则其前项和 7（07全国1理）等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为 8已知是等差数列，其前10项和，则其公差（）9已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）32110已知是等差数列，其前5项和，则其公差11（07辽宁理）设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45C36D2712（07江西理）已知数列对于任意，有，若，则 实战训练B1（07江西文）已知等差数列的前项和为，若，则2（07湖南文）在等比数列（）中，若，则该数列的前10项和为（ ）ABCD3（07湖北理）已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为

27、整数的正整数的个数是（ ）A2B3C4D54（07广东理）已知数列的前项和，第项满足，则 A B C. D5（07广东文）已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 6数列的前项和为，若，则等于（ ）A1BCD7等比数列中，则等于（）8若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项9若数列的前项和，则此数列的通项公式为10（07安徽文）等差数列的前项和为若（A）12（B）10（C）8（D）611（07辽宁文）设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45C36D2712数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（ = 1 * ROMAN I）求的值；（ = 2 * RO

28、MAN II）求的通项公式数列练习题A组（1）设数列是单调递增的等差数列,前三项的和是12, 前三项的积是48,则它的首项是(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（2）一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比( ) (A) (B) (C) (D)（3）一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴; 第2天, 6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂.(A)55986 (B)46656 (C)216 (D)36（4）一个等比数列前项的和为48, 前2项的和为60, 则前3项的和为

29、( )(A) 83 (B)108 (C)75 (D)63（5）已知等差数列的前项和为,则使得最大的序号的值为 .（6）集合的元素个数是 ,这些元素的和为 .（7）在小于100的正整数中，被7除余2的数的个数有 个；这些数的和是 （8）等差数列的首项为公差为;等差数列的首项为公差为,如果,且 则数列的通项公式为 .（9）已知数列是等差数列,是其前项和. 求证:也成等差数列.（10）如图,作边长为的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前个内切圆的面积和.数列练习题B组（11） 等比数列中, 首项为,公比为, 则下列条件中, 使一定为递减数列的条件是() (A) (B) (C)或 (D)（12） 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如 (1101)表示二进制的数, 将它转换成十进制的形