2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版第四章指数函数与对数函数讲义

1、41指数41.1n次方根与分数指数幂学习目标1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化知识点一n次方根、n次根式1a的n次方根的定义一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.2a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数eq r(n,a)aRn为偶数eq r(n,a)0，)3.根式式子eq r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数知识点二根式的性质1.eq r(n,0)0(nN*，且n1)2(eq r(n,a)na(a0，nN*，且n1)3.eq r(n,an)a(

2、n为大于1的奇数)4.eq r(n,an)|a|eq blcrc (avs4alco1(a，a0，,a，a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂规定：eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，且n1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义知识点四有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)1当nN*时，(eq r(n,3)n都有意义()2()3a2a.()4分数指数幂可以理解为eq f(m,n)个a相乘()一、n次方

3、根的概念例1(1)若81的平方根为a，8的立方根为b，则ab_.答案7或11解析81的平方根为9或9，即a9或9，8的立方根为2，即b2，ab11或7.(2)若eq r(4,x2)有意义，求实数x的取值范围解eq r(4,x2)有意义，x20，x2，即x的取值范围是2，)反思感悟(1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个(2)符号：根式eq r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定当n为偶数，且a0时，eq r(n,a)为非负实数；当n为奇数时，eq r(n,a)的符号与a的符号一致跟踪训练1(1)已知x78，则x等于()A2eq r(2

4、) B.eq r(7,8) Ceq r(7,8) Deq r(7,8)答案B解析因为7为奇数，8的7次方根只有一个eq r(7,8).(2)若eq r(4,2x5)有意义，则x的取值范围是_；若eq r(5,2x5)有意义，则x的取值范围是_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(5,2)，)R二、利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)eq r(4,34)；(2)eq r(ab2)(ab)；(3)(eq r(a1)2eq r(1a2)eq r(3,1a3).考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简解(1)eq r(4,34)|3|3.(2)ab，eq r(ab2)|ab|ab.(3)

5、由题意知a10，即a1.原式a1|1a|1aa1a11aa1.反思感悟(1)n为奇数时eq blc(rc)(avs4alco1(r(n,a)neq r(n,an)a，a为任意实数(2)n为偶数时，a0，eq blc(rc)(avs4alco1(r(n,a)n才有意义，且eq blc(rc)(avs4alco1(r(n,a)na；而a为任意实数时eq r(n,an)均有意义，且eq r(n,an)|a|.跟踪训练2化简：(1)eq r(7,27)；(2)eq r(4,3a34)(a1)；(3)eq r(3,a3)eq r(4,1a4).考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简解(1)eq r(7

6、,27)2.(2)a1，eq r(4,3a34)|3a3|3|a1|33a.(3)eq r(3,a3)eq r(4,1a4)a|1a|eq blcrc (avs4alco1(1，a1，,2a1，a1.)三、根式与分数指数幂的互化例3(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是()Aeq r(x)(x0)B.eq r(6,y2)(y0)Deq r(3,x)(x0)答案C解析eq r(x)(x0)；eq r(6,y2)(y0)；eq r(3,f(1,x)(x0)(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a0，b0)eq r(3,a)eq r(4,a)； eq r(ar(ar(a)；(eq r(3,a)

7、2eq r(ab3).解eq r(3,a)eq r(4,a) 原式 原式 反思感悟根式与分数指数幂的互化(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题跟踪训练3把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式：(1)(ab)；(2)eq r(3,x15)；(3)eq f(1,r(3,a2)；(4)解(1)eq f(1,r(4,ab3)；(2)eq r(3,x15) (3)eq f(1,r(3,a2) (4)eq r(7,ab3).1已知eq r(ab2)

8、ab，则()Aab BabCa0.eq r(1a2)eq r(4,blc(rc)(avs4alco1(f(1,a1)3)|1a|(a1)eq r(4,a1).1知识清单：(1)n次方根的概念、表示及性质(2)根式的性质(3)根式与分数指数幂的互化2常见误区：(1)根式中根指数要求n1且nN*.(2)对于eq r(n,a)，当n为偶数时，a0.1已知m102，则m等于()A.eq r(10,2) Beq r(10,2) C.eq r(210) Deq r(10,2)考点n次方根及根式概念题点n次方根及根式概念答案D解析m102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数m

9、eq r(10,2).故选D.2若2a3，化简eq r(2a2)eq r(4,3a4)的结果是()A52a B2a5 C1 D1考点根式的化简题点条件根式的化简答案C解析2a0，a30，将eq f(a2,r(ar(3,a2)表示成分数指数幂的形式，其结果是()A B C D 答案C解析eq f(a2,r(ar(3,a2)a2.6若x0，则|x|eq r(x2)eq f(r(x2),|x|)_.答案1解析x0，原式|x|x|eq f(|x|,|x|)1.7若eq r(x22x1)eq r(y26y9)0，则(x2 019)y_.答案1解析因为eq r(x22x1)eq r(y26y9)0，所以e

10、q r(x12)eq r(y32)|x1|y3|0，所以x1，y3.所以(x2 019)y(1)2 0193(1)31.8.eq r(6f(1,4)eq r(3,3f(3,8)eq r(3,0.125)的值为_答案eq f(3,2)解析原式eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2)eq r(3,blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)3)eq r(3,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)3)eq f(5,2)eq f(3,2)eq f(1,2)eq f(3,2).9计算下列各式的值(1)；(2)；(3)；(4).解(1)11(2)eq f(7,8)(3)

11、eq f(1,1 000)(4)eq f(9,25)10计算：(1)eq r(4,81r(9)；(2)2eq r(3)eq r(3,3)eq r(6,3)；(3)eq r(5f(4,9)eq r(3,2f(10,27)eq r(3,0.1251)；(4)eq r(3,83)eq r(4,r(3)24)eq r(3,2r(3)3).考点根式的化简题点根据根式的意义进行化简解(1)原式eq r(4,343)eq r(4,3)eq r(4,3).(2)原式226.(3)原式eq r(f(49,9)eq r(3,f(64,27)eq r(3,blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)1)eq f

12、(7,3)eq f(4,3)23.(4)原式8|eq r(3)2|(2eq r(3)82eq r(3)2eq r(3)8.11.已知二次函数f(x)ax2bx0.1的图象如图所示，则eq r(4,ab4)的值为()Aab B(ab)Cab Dba答案D解析由题图知f(1)ab0.10，ab0.eq r(4,ab4)|ab|(ab)ba.12若代数式eq r(2x1)eq r(2x)有意义，则eq r(4x24x1)2eq r(4,x24)_.答案3解析eq r(2x1)eq r(2x)有意义，eq blcrc (avs4alco1(2x10，,2x0，)即eq blcrc (avs4alco1

13、(xf(1,2)，,x2，)eq f(1,2)x2.eq r(4x24x1)2eq r(4,x24)eq r(2x12)2eq r(4,x24)|2x1|2|x2|2x12(2x)3.13计算：eq r(3,blc(rc)(avs4alco1(r(f(1,9)r(f(2,9)3)(3eq r(2)3)eq f(r(3)4r(2)4,r(3)r(2)0)_.答案4解析原式eq f(1r(2),3)(3eq r(2)3)eq f(94,1)(1eq r(2)(1eq r(2)54.14若eq r(x1)4eq r(xy)0，则x_，x2 019y2 020_.答案12解析依题意有eq blcrc

14、(avs4alco1(x10，,xy0，)得x1，y1，x2 019y2 0202.15设f(x)eq r(x24)，若0a1，则f eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)_.考点根式的化简题点条件根式的化简答案eq f(1,a)a解析f eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)eq r(blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)24)eq r(a2f(1,a2)2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(af(1,a)2)eq blc|rc|(avs4alco1(af(1,a)，因为0b0，求eq f(r(a)r(b),r(a)r(b)的值解因

15、为a，b是方程x26x40的两根，所以eq blcrc (avs4alco1(ab6，,ab4，)因为eq r(a)eq r(b)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(a)r(b),r(a)r(b)2eq f(ab2r(ab),ab2r(ab)eq f(62r(4),62r(4)eq f(2,10)eq f(1,5)，所以eq f(r(a)r(b),r(a)r(b)eq r(f(1,5)eq f(r(5),5).41.2无理数指数幂及其运算性质学习目标1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义知识点一无理数指数幂一般地，无理数指数幂a(a0，为无理数)是

16、一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂知识点二实数指数幂的运算性质1arasars(a0，r，sR)2(ar)sars(a0，r，sR)3(ab)rarbr(a0，b0，rR)预习小测自我检验1计算_.答案eq r(2)2下列等式一定成立的是_(填序号)a; 0；(a3)2a9; 答案3若100 x25，则10 x_.答案eq f(1,5)解析100 x25，(10 x)252，10 x5,10 x(10 x)151eq f(1,5).4计算：022_.答案eq f(11,8)一、运用指数幂运算公式化简求值例1计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)(2) (3) 解(1)

17、(eq r(3,0.027)2eq r(3,f(125,27)eq r(f(25,9)0.09eq f(5,3)eq f(5,3)0.09.(2)原式(3)原式1112.反思感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母都是正数)：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)080.25eq r(4,2)(eq r(3,2)eq r(3)6；(2)2eq r(3,a2)(4eq r(6,ab)3eq r(b3).解(1)原式223

18、3112.(2)原式 二、分数指数幂运算的综合应用例2(1)已知am4，an3，求eq r(am2n)的值；(2)已知3，求下列各式的值aa1；a2a2； 解(1)eq r(am2n)eq f(2,3).(2) 即a2a19，aa17.aa17，(aa1)249，即a22a249.a2a247.3(71)18.延伸探究在本例(2)的条件下，求a2a2的值解设ya2a2，两边平方，得y2a4a42(a2a2)2447242 205.所以y21eq r(5)，即a2a221eq r(5).反思感悟条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等

19、)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式跟踪训练2已知xy12，xy9且xy，求的值解 xy12，xy9，(xy)2(xy)24xy12249108.又x0)_.答案1解析原式m01.1知识清单：(1)有理数指数幂的性质(2)无理数指数幂的性质2方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式3常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数1下列等式能够成立的是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,m)7m7(mn

20、，m0)B.eq r(12,34)C.eq r(4,x3y3)(x0，y0)D.eq r(3,r(9)答案D解析因为eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,m)7eq f(n7,m7)n7m7，所以A错；因为eq r(12,34)eq r(12,34)，所以B错；因为eq r(4,x3y3)(x3y3)(xy)，所以C错；因为eq r(3,r(9)eq r(6,9)，所以D正确2计算eq f(2n12blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2n1,4n82)(nN*)的结果为()A.eq f(1,64) B22n5C D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)

21、2n7答案D解析原式eq f(22n222n1,22n232)eq f(21,22n6)272neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2n7.3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2等于()A3 B6 C.eq f(1,4) D15答案A解析原式(21)2eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)3) 9414eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)29eq f(1,4)4eq f(9,4)963.4若a0，且ax3，ay5，则等于()A9eq r(5) B.eq f(45,2) C9eq r(5) D

22、6eq r(5)答案C解析(ax)2(ay)3259eq r(5).5设m，则eq f(a21,a)等于()Am22 B2m2Cm22 Dm2考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案C解析将m两边平方，得m2，即a2a1m2，所以aa1m22，即aeq f(1,a)m22，所以eq f(a21,a)m22.6设，为方程2x23x10的两个根，则eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)_.答案8解析由根与系数的关系得eq f(3,2)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)(22)238.7化简_

23、.答案1解析原式1.8设a2b4m(a0，b0)，且ab6，则m_.答案16解析因为a2b4m(a0，b0)，所以ab2.由ab6得b2b60，解得b2或b3(舍去)所以m2416.9化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)；(2)(3)(4)(2)；(3)()()(eq r(x)eq r(y)解(1)()8()8m2n3eq f(m2,n3).(2)原式34(2)6a0b06.(3)原式()2()2(eq r(x)eq r(y)()(eq r(x)eq r(y)(eq r(x)eq r(y)(eq r(x)eq r(y)(eq r(x)2(eq r(y)2xy.10计算：(1)7eq r(3

24、,3)3eq r(3,24)6eq r(3,f(1,9)eq r(4,3r(3,3)；(2)0.008 1eq blcrc(avs4alco1(3blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)0)1eq blcrc(avs4alco1(810.25blc(rc)(avs4alco1(3f(3,8)100.027.考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算解(1)原式7326(3)6223 220.(2)原式eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(3,10)4)(31)1eq blcrc(avs4alco1(31blc(rc)(avs4a

25、lco1(f(3,2)1)10(0.33)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,10)1eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)f(2,3)100.3eq f(10,3)eq f(1,3)30.11若100a5,10b2，则2ab等于()A50 B12 C20 D1答案D解析100a5，102a5，102ab102a10b5210，2ab1，故选D.12若a1，b0，abab2eq r(2)，则abab等于()A.eq r(6) B2或2C2 D2答案D解析a1，b0，ab1，abeq f(1,ab)，ab(0,1)，abab0，abab2eq r(

26、2)，a2ba2b6，(abab)2a2ba2b24，abab2.故选D.13若2x8y1，9y3x9，则xy_.答案27解析2x8y1(23)y123y3，x3y3，又9y3x9(32)y32y，x92y，由得eq blcrc (avs4alco1(x21，,y6，)xy27.14化简eq f(ar(b),ar(3,b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a1r(b1),br(a) (a0，b0)的值为_考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算答案解析原式 (ab) .15设aeq r(4,24)，beq r(3,12)，ceq r(6)，则a，b，c的大小关系是(

27、)Aabc BbcaCbac Dabc答案D解析eq f(a,b)eq f(r(4,24),r(3,12)eq f(233,223)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) 0，b0，ab，eq f(b,c)eq f(r(3,12),r(6)eq f(223,23)0，c0，bc，综上有ab0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考为什么底数应满足a0且a1?答案当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1 (xR)，无研究价值因此规定yax中a0，且a1.知识点二两类指数模型1ykax(k0)，当a1时为指数增长型函数模型2yka

28、x(k0)，当0a0)是指数函数()2yax2(a0且a1)是指数函数()3yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x是指数衰减型函数模型()4若f(x)ax为指数函数，则a1.()一、指数函数的概念例1(1)下列函数中是指数函数的是_(填序号)y2(eq r(2)x；y2x1；yeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)x；(2)若函数y(a23a3)ax是指数函数，则实数a_.答案(1)(2)2解析(1)中指数式(eq r(2)x的系数不为1，故不是指数函数；中y2x1，指数位置不是x，故不是指数函数；中指数不是x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的

29、值，故不是指数函数，故填.(2)由y(a23a3)ax是指数函数，可得eq blcrc (avs4alco1(a23a31，,a0且a1，)解得a2.反思感悟判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求；(2)ax前的系数是否为1；(3)指数是否符合要求跟踪训练1(1)若函数ya2(2a)x是指数函数，则()Aa1或1 Ba1Ca1 Da0且a1答案C解析因为函数ya2(2a)x是指数函数，所以eq blcrc (avs4alco1(a21，,2a0，,2a1，)解得a1.(2)若函数y(2a3)x是指数函数，则实数a的取值范围是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f

30、(3,2)，2)(2，)解析由题意知eq blcrc (avs4alco1(2a30，,2a31，)解得aeq f(3,2)且a2.二、求指数函数的解析式、函数值例2(1)已知函数f(x)是指数函数，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(r(5),25)，则f(3)_.答案125解析设f(x)ax(a0，且a1)，由f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(r(5),25)得 所以a5，即f(x)5x，所以f(3)53125.(2)已知函数yf(x)，xR，且f(0)3，eq f(f1,f0)eq f(1,2)，eq f(f2,f1)e

31、q f(1,2)，eq f(fn,fn1)eq f(1,2)，nN*，求函数yf(x)的一个解析式解当x增加1时函数值都以eq f(1,2)的衰减率衰减，函数f(x)为指数衰减型，令f(x)keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x(k0)，又f(0)3，k3，f(x)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x.反思感悟解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解跟踪训练2已知函数f(x)axb(a0，且a1)经过点(1,5)，(0,4)，则f(2)的值为_答案7解析由已知得eq blcrc (av

32、s4alco1(a1b5，,a0b4，)解得eq blcrc (avs4alco1(af(1,2)，,b3，)所以f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x3，所以f(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)23437.三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用例3甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长情况作出分析参考数

33、据：(11.2%)101.127，(11.2%)201.269，(11.2%)301.430.解(1)1年后甲城市人口总数为y甲1001001.2%100(11.2%)；2年后甲城市人口总数为y甲100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2；3年后甲城市人口总数为y甲100(11.2%)3；x年后甲城市人口总数为y甲100(11.2%)x.x年后乙城市人口总数为y乙1001.3x.(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.10年后20年后30年后甲112.7126.9143.0乙113126139(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲

34、城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异反思感悟解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前34个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为yN(1p)x(其中N为基础数，p为

35、增长率，x为时间)的形式跟踪训练3中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：(1p%)102；(1p%)102；10(1

36、p%)2；110p%2.其中正确的是()A B C D答案B解析已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1p%)102；正确的关系式为.1下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3.其中，指数函数的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，y3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3中底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数所以只有是指数函数故选B.2若函数y(m2m1)mx是指数

37、函数，则m等于()A1或2 B1C2 D.eq f(1,2)答案C解析依题意，有eq blcrc (avs4alco1(m2m11，,m0且m1，)解得m2(舍m1)，故选C.3如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为()x210123yeq f(1,16)eq f(1,4)141664A.一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D幂函数模型答案C解析观察数据可得y4x.4某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是()Ay2x By2x1Cy2x Dy2x1答案D解析分裂一次后由2个变成

38、2222(个)，分裂两次后变成4223(个)，分裂x次后变成y2x1(个)5f(x)为指数函数，若f(x)过点(2,4)，则f(f(1)_.答案eq f(1,4)解析设f(x)ax(a0且a1)，所以f(2)4，a24，解得aeq f(1,2)，所以f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，所以f(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)12，所以f(f(1)f(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq f(1,4).1知识清单：(1)指数函数的定义(2)指数增长型和指数衰减型函数模型2方法归纳：待定系数法3常见误区：易忽视底数

39、a的限制条件：a0且a1.1下列函数中，指数函数的个数为()yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x1；yax(a0，且a1)；y1x；yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2x1.A0 B1 C3 D4答案B解析由指数函数的定义可判定，只有正确2若函数f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)a3)ax是指数函数，则f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)的值为()A2 B2 C2eq r(2) D2eq r(2)答案D解析因为函数f(x)是指数函数，所以eq f(1,2)a31，所以a8，所以f(x)8x，f eq

40、blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2eq r(2).3下列函数关系中，可以看作是指数型函数ykax(kR，a0且a1)的模型的是()A竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系C如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D信件的邮资与其重量间的函数关系答案B解析A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数故选B.4据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率

41、呈指数衰减，按此规律，设2019年的湖水量为m，从2019年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为()AyBy(1)mCymDy(10.150 x)m答案C解析方法一设每年的衰减率为q%，则(q%)500.9，所以q%，所以x年后的湖水量ym.方法二设每年的衰减率为q%，则(1q%)500.9，所以q%1，所以ym1(1)xm.5下列函数图象中，有可能表示指数函数的是()答案C解析A为一次函数；B为反比例函数；D为二次函数；选项C的图象呈指数衰减，是指数衰减型函数模型，故选C.6已知函数f(x)eq f(2,ax1)3(a0且a1)，若f(1)4，则f(1)_.答案0解析由f(1)4得a3，把

42、x1代入f(x)eq f(2,3x1)3得到f(1)0.7若函数f(x)(a22a2)(a1)x是指数函数，则a_.答案1解析由指数函数的定义得eq blcrc (avs4alco1(a22a21，,a10，,a11，)解得a1.8已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%，设质量为1的这种物质，经过x年后剩余质量为y，则x，y之间的关系式是_答案y解析设质量为1的物质1年后剩余质量为a，则a1000.957 6.所以a，所以yax.9已知函数f(x)2x2axb，且f(1)eq f(5,2)，f(2)eq f(17,4).求a，b的值解由题意得eq blcrc (avs4

43、alco1(f(5,2)22ab，,f(17,4)2222ab，)即eq blcrc (avs4alco1(212ab，,2222ab，)所以eq blcrc (avs4alco1(ab1，,2ab2，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b0.)10有一种树栽植5年后可成材在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？解设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10

44、年后的木材产量为y1a(120%)5(110%)5a(1.21.1)54.01a.乙方案在10年后的木材产量为y22a(120%)52a1.254.98a.y1y24.01a4.98a0，,2x，x0，)则f eq blc(rc)(avs4alco1(f blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)等于()A4 B.eq f(1,4) C4 Deq f(1,4)答案B解析f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)132，f eq blc(rc)(avs4alco1(f blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)f

45、(2)22eq f(1,4).12某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为()A赚723元 B赚145元C亏145元 D亏723元答案D解析由题意得10(15%)5(14.9%)5100.992 779.927 7；100 00099 277723，故股民亏723元，故选D.13若函数y(m25m5)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(m,3)x是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m_.答案1解析依题意知eq blcrc (avs4alco1(m25

46、m51，,2f(m,3)1，)解得m1(舍m4)14已知函数f(x)为指数函数且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(r(3),9)，则f(2)_，f(f(1)_.答案eq f(1,9)eq r(3,3)解析设f(x)ax(a0且a1)，eq f(r(3),9)，a3，f(x)3x，f(2)eq f(1,9)，f(f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq r(3,3).15某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知该年9月份两食堂的营业额又

47、相等，则该年5月份()A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相等D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4eq r(mm8a)，因为yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高16某公司拟投资100万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另

48、一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？解本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本利和是100(110%5)150(万元)本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本利和是100(19%)5153.86(万元)由可见，按年利率9%每年复利一次计算的，要比按年利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元42.2指数函数的图象和性质(二)学习目标1.掌握指数型函数的单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式知识点一比较幂的大小一般

49、地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断知识点二解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的单调性求解；(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解；(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解知识点三指数型函数的单调性一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf

50、(x)有相同的定义域(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a0.1b，则ab.()3a，b均大于0且不等于1，若axbx，则x0.()4由于yax(a0且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数()一、比较大小例1(1)比较下列各题中两个值的大小1.72.5,1.73；1.70.3,1.50.3；1.70.3,0.83.1.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)1.71，y1.7x在(，)上是增函数2.53，1.72.51.73.方法一1.70.30,1.50.30，且eq f(1.70.3,1.50.3)eq blc(r

51、c)(avs4alco1(f(1.7,1.5)0.3，又eq f(1.7,1.5)1,0.30，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1.7,1.5)0.31，1.70.31.50.3.方法二幂函数yx0.3在(0，)上单调递增，又1.71.5，1.70.31.50.3.1.70.31.701,0.83.10.83.1.(2)设 则a，b，c的大小关系为_(用“”连接)答案cab解析构造幂函数(x(0，)，由该函数在定义域内单调递增，知ab；构造指数函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，由该函数在定义域内单调递减，知aab.反思感悟比较幂值大小的3种类型及处理

52、方法跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小(1)0.80.1，1.250.2；(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)，1；(3)0.23，(3)0.2.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)00.81，y0.8x在R上是减函数0.20.80.1，即0.80.11.250.2.(2)0eq f(1,)1，函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)x在R上是减函数又eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)01，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)1.(3)0.23eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,10)3eq

53、 blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)353，(3)0.23.(3)0.2.二、简单的指数不等式的解法例2(1)不等式4x423x的解集是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)解析4x423x，x23x，x0，且a1)考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法解当0a1时，a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6反思感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响跟踪训练2已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_考点指数不等式的解法题点指数

54、不等式的解法答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)解析a2a2eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2eq f(7,4)1，(a2a2)x(a2a2)1xx1xxeq f(1,2).xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).三、指数型函数的单调性例3(1)函数的单调递减区间是()A(，) B(，0)C(0，) D(，0)和(0，)答案D解析设ueq f(1,x)，则y3u，因为ueq f(1,x)在(，0)和(0，)上是减函数，且y3u在R上是增函数，所以函数的单调递减区间是(，0)和(0，)(2)判断函数的单调性，并求其值域解令u

55、x22x，易知ux22x(x1)21在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，又0eq f(1,3)1，所以在(，1上单调递增，在1，)上单调递减因为ux22x(x1)211，所以yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)u，u1，)，所以00，且a1)的单调性的处理方法(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a0，且a1)的单调区间解设yau，ux22x3，由ux22x3(x1)24，得u在(，1上为减函数，在1，)上为增函数当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(

56、，1，减区间为1，)1下列大小关系正确的是()A0.4330.40 B0.43030.4C30.40.430 D030.40.43考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答案B解析0.430.4003030.4.2方程42x116的解是()Axeq f(3,2) Bxeq f(3,2) Cx1 Dx2考点指数方程的解法题点指数方程的解法答案B解析42x142，2x12，xeq f(3,2).3函数的单调递增区间为()A(，0 B0，)C(1，) D(，1)考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案A解析，0eq f(1,2)1，f(x)的单调递增区间为u(x)x21的单调递减区间，即(

57、，04已知函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x在2，1上的最小值是m，最大值是n，则mn的值为_答案12解析函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x在定义域内单调递减，所以meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)13，neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)29.所以mn12.5设0a1，则关于x的不等式的解集为_考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案(1，)解析0a1，yax在R上是减函数，又 2x23x21.1知识清单：指数函数的图象与性质的应用：比较大小，解不等式及简单复合函数的单调性2方法归纳：转化与

58、化归，换元法3常见误区：研究yaf(x)型函数，易忽视讨论a1还是0a1.1已知a，b21.5，c，则下列关系中正确的是()Acab Babc Cbac Dbca答案C解析b21.5，yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x是R上的减函数，eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(3,2)，bac.2若eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2a132a，即aeq f(1,2).故a的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).3若函数f(x)(12a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs

59、4alco1(f(1,2)，) B.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)答案B解析由已知，得012a1，解得0a0)，则原方程化为t2t20，t1或t2.t0，t2舍去t1，即2x1，x0.7已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)答案cab解析因为函数y0.8x是R上的单调减函数，所以ab.又因为a0.80.71.201，所以ca.故cab.8函数f(x)的单调递增区间为_答案0，)解析

60、由于底数eq f(1,3)(0,1)，所以yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x是R上的减函数，所以f(x)的单调递增区间就是y2x2的单调递减区间由y2x2的图象(图略)可知：当x0时，y2x2是增函数；当x0时，y2x2是减函数所以函数f(x)的单调递增区间为0，)9已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x1)0且a1)，因为f(3)8，所以a38，即a2，又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，因此由g(2x1)g(3x)，即eq