师范生数感意识与数感教学水平调查研究

1、硕士学位论文师范生数感意识与数感教学水平调查研究摘要本研究旨在对数学专业师范生（以下简称师范生）数感意识和数感教学水平 调查的基础上，查明师范生在数感意识和数感教学方面存在的不足，并在系统分 析其原因的基础上提出解决问题的策略。本次研究主要采取问卷调查法、访谈法、综合分析法。随机抽取的6所高等 师范院校的120名数学专业大四学生作为样本接受了调查。综合调查结果显示：1、师范生在数感意识方面存在的主要不足是：对数感及数感的教学意义认 知水平很低，对数感的认知主要停留在主观感受阶段，对数感教学意义的认知明 显不足；数感水平与适应数感教学上存在较大差距，主要体现在：运用数感解题 的比例很低；数感体系

2、不完备，在某些方面存在明显不足；运用数感的意识和倾 向差。师范生在数感意识方面存在不足的原因主要是：师范生对数感与数感教学 意义知识的学习不足；师范生在义务教育阶段接受的数学教育在数感培养方面存 在不足；师范生在高中、大学阶段数感水平呈现不增反降的趋势；数感水平本身 在测量上存在的难度对调查结果的影响。2、师范生在数感教学方面存在较大不足，主要表现在：不能结合教学内容 和课程标准要求形成具体的数感培养目标；开发适合学生数感发展的教学资源的 能力不足；缺少对学生数感发展情况进行有效考核的方法。主要原因是：较低的 数感水平对数感教学的限制；一般的教学策略难以适应数感教学的特殊性；国内 数感教学研究

3、水平较低，可供师范生借鉴、参考的资源有限。在对问题原因的分析基础之上，结合师范生自身实际，笔者提出了以下的建 议：第一，师范生应该自觉地增进自身数感，以适应未来的数感教学；第二，师范生应加强对数感教学意义的认识；第三，师范教育中应加强对数感教学方法的研究和教学，从根本上提高师范 生的数感教学水平。最后，笔者根据自己对数感教学的体会，形成了一篇数感教学的教学设计， 供师范生和后来研究者参考。数感数感意识数感教学 师范生AbstractThe goal of this study is to find out the problems in number sense and teaching of

4、 number sense of noemal studengs based on a series of investigations and to propose some strategies to solve these problems.Maily, this study adopted questionnaire method, interviewing method and comprehensive analysis method. 120 normal students majored in mathematics from 6 colledges were investig

5、ated as a sample. The results of investigations showed:The problems on number sense of normal students were: The level of number sense of them could hardly fit the teaching of number sense fbr their low percent of suing number sense, poor system of number sense and poor tendency to use number sense;

6、 The level of normal studengs from Hebei province on knowledges of number sense and teaching significance of number sense was very low.The reasons fbr problems on number sense of them were: They had hardly learned kownledges of number sense and teaching significance of number sense; The number sense

7、 teaching was poor in their stadge of compulsory education; The level of number sense of them dropped a little in their stadges of senior high school and college school; The difficulty of investigetion on the level of number sense had affected the results of the investigetions.The problems on number

8、 sense teaching of normal students were: They couldnt find proper teaching objectives according to content of courses and curriculum standards; They couldnt develop ample teaching materials on number sense to fit number sense teaching;They couldnt examine number sense of their students effectively.T

9、he reasons for problems on number sense teaching of them were: Their low level of number sense couldnt fit the teaching of number sese; Their common teaching strategies couldnt fit the teaching of number sense;There was no ample information on the teaching of number sense inland which could be refer

10、red to by them.Based on the reasons fbr problems they had and their own actual situations, we proposed some suggestions:First, normal students from Hebei province had to improve their level of number sense to fit number sense teaching;Second, they had to learn more knowledges of number sense and tea

11、chingsignificance of number sense；Third, normal college should urgently study number sense teaching and make sure their studengts have a high level of teaching of number sense.At last, we created a teaching design based on our understanding of number sense teaching and we hoped that this design was

12、helpful to noemal students and further research.number senseknowledge of number sensenumber sense teachingnormal students TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document h 摘要IIIAbstractIV引言1 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document h 第一章 文南犬综述2 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document h 数感

13、的概念2 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document h 数感的外在表现3 HYPERLINK l bookmark83 o Current Document h 1.3数感与其他数学能力的相关性4 HYPERLINK l bookmark89 o Current Document h 学生数感水平调查5 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document h 1.5在职教师数感现状与数感教学现状调查6 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document h 数感教学方法的研究6 HYPE

14、RLINK l bookmark111 o Current Document h 其他零散的研究7 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document h 第二章问题提出与研究思路8 HYPERLINK l bookmark119 o Current Document h 2.1发展学生数感的意义8 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document h 2.2国内中小学学生数感现状9 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document h 2.3如何改善国内中小学生数感现状的一些分析10 H

15、YPERLINK l bookmark143 o Current Document h 问题的提出与研究目的11 HYPERLINK l bookmark149 o Current Document h 研究方法与研究思路11 HYPERLINK l bookmark155 o Current Document h 第三章 数感及数感的相关概念的界定12 HYPERLINK l bookmark158 o Current Document h 数感12 HYPERLINK l bookmark171 o Current Document h 数感的主要表现方面14 HYPERLINK l bo

16、okmark179 o Current Document h 第四章师范生数感意识调查16 HYPERLINK l bookmark182 o Current Document h 调查对象16 HYPERLINK l bookmark185 o Current Document h 调查问卷的设计16 HYPERLINK l bookmark188 o Current Document h 数感水平调查结果164.3.1数感运用的比例17数感体系的完整性18数感水平分布214.3.4访谈结果与数感水平调查结果的修正22 HYPERLINK l bookmark203 o Current Do

17、cument h 4.4数感及数感教学意义认知水平调查结果23数感认知水平调查结果234.4.2数感教学意义认知水平调查结果24 HYPERLINK l bookmark208 o Current Document h 第五章师范生数感教学水平调查28 HYPERLINK l bookmark211 o Current Document h 调查方法和过程28 HYPERLINK l bookmark217 o Current Document h 5.2教学设计的评价标准28 HYPERLINK l bookmark224 o Current Document h 调查结果29调查对象的教学

18、设计295.3.2师范生数感教学水平分析34 HYPERLINK l bookmark262 o Current Document h 第六章问题原因分析37 HYPERLINK l bookmark265 o Current Document h 6.1对师范生在数感意识方面存在问题的分析37 HYPERLINK l bookmark268 o Current Document h 6.2对师范生在数感教学方面存在问题的分析38 HYPERLINK l bookmark273 o Current Document h 第七章一些建议40 HYPERLINK l bookmark320 o C

19、urrent Document h 总结48 HYPERLINK l bookmark323 o Current Document h 致谢49 HYPERLINK l bookmark326 o Current Document h 参考文献50附 录52国外曾有过这样一个调查：当一个六年级学生被问到“115.4 x 0.315 =36351 正确的小数点位置时，几乎所有学生都会回答3.6351。为什么呢？他们说：被乘 数的小数位数是1,乘数的小数位数是3,所以积的小数位数应该是4,因此结 果就是3.6351。很明显结果是错误的，因为115.4100,100 x0.315=31.5,所以结果

20、一定比31.5 要大，不可能是3.6351。调查中的学生，能够准确无误地回忆起小数乘法的运算 规则，因此不假思索地给出了一个“正确答案。还有这样的一个例子：当学生被问到旦与叫哪个大时，大多数学生都会选1218择通分，然后作出比较；或者把这两个分数化为小数，然后再比较。但也有少数 学生会给出如下的比较方法:因为两个分数都接近L 1- 而U所以12工1218 1818 1218 12像这样的例子还有很多，所有的这些例子，都与数学教学中的数感有密切关 系。上面的几个例子告诉我们，数感对于数学学习是极为重要，调查也显示了当 前数学教学中存在的一个突出问题，那就是学生的数感亟待提高。这样的问题引起了国内

21、外研究者的极大关注。“数感这一概念在40多年前 应运而生。培养学生的数感也成为了很多国家新一轮课程改革的一个基本日标。这也是本论文研究的出发点。第一章文献综述“数感”一词首次出现在上世纪70年代。40年来，数感和数感教学引起了国 内外数学教育者越来越浓的兴趣，数感方面的研究成果也越来越多。为了更好地 吸收前人的研究成果并便于笔者选取自己的研究方向，笔者首先对这些研究成果 作了梳理。综观这些研究成果，主要集中在以下几个方面：1.1数感的概念对于数感概念的定义，国内外很多专家和学者给出了自己的看法。有的观点 是相近的，但有的观点则有很大不同。现在主要的观点整理如下：国外的学者有以下几种观点：数感是

22、关于数量的直觉。1数感是一个数字与运算的组织化良好的概念网。这个概念网有助于辨别 数字相对和绝对大小、对运算作质和量的判断、判断计算结果是否合理、以及进 行心算。2数感是一种数字的直觉，它从数字意义的不同表述中得以体现。3数感是一种对数字和数字关系的良好直觉。4数感是指一个人对数字和运算的理解以及运用这种理解灵活地作出数学 判断、形成有效解题策略的能力和倾向。5国内的学者有以下几种观点：数感是一个人主动地、自觉地或自动化地理解数字和运用数字的态度与 意识。6数感是人们对数字和运算的一种理解，以及处理现实生活中数字情境的 能力。7与“语感* “美感等相似，数感是一种“直感。是一个人对数字、数量关

23、 系等的敏感。8数感是人们对数的感悟，既有感知的成分又有思维的成分。9数感是人们对数字关系和数字模式的意识，以及运用这种意识灵活地解 决数字问题的能力。10数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。11 综上，由于不同研究者对数感认知的角度和深度不同，在数感的具体定义上千差万别。但是，综合来看，所有这些定义都关注了两点：其一，数感的基础。 数感是在对数的意义、数字关系、运算意义、运算律等理解的基础之上发展起来 的。脱离这个基础，数感无从谈起。因此数感不是先天而得；其二，数感的外在 表现。数感的外在表现，研究者不约而同地认为具有良好数感的人能够灵活地解 决数学问题。数感的概念是

24、数感方面的研究的起点和基础。由于在这个问题上，国内外学 者存在较大分歧，因此各自的研究侧重点有所不同。尽管如此，对数感的进一步 的研究并没有停止，而且产生了很多认可度很高的成果。1.2数感的外在表现对于数感的外在表现，不同研究者也给出了不同的看法。国内外比较有代表 性的有：Sowder认为数感主要表现在以下方面：a、能充分理解数的含义；b、能发展数与数之间的多种关系；c、能明白数的相对大小和绝对大小；d、能理解运算对数的影响。12Yang D C, Reys等认为数感主要表现在以下方面：a、能用多种方法表示数；b、能认识数的相对大小和绝对大小；c、能精选并使用基准量和基准尺度；d、能分解与重组

25、数字；e能理解运算对数字的相对影响；f、能灵活恰当地进行估算和心算。13McIntosh等人认为数感主要表现在以下几个方面：a、理解数的意义与大小；b、理解并能运用数的等价表示；c、理解运算的意义和作用；d、理解并能运用等价表达式；e灵活地选择计算和计数策略进行心算、笔算和计算器运算；f、熟练运用基准量和基准尺度。14我国在2011年修订的义务教育阶段数学课程标准中没有明确说明数 感表现在哪些方面。但是，其对数感的表现范围的界定似乎更加广阔，与国外的 界定有较大不同。例如，在北京自然博物馆有一块展板：“1983年初在东北地区进行的航行调 查表明，在7000平方米的山林中仅发现两只老虎，因此东北

26、虎被列为一级保护 动物。具有良好数感的人应该能发现，7000平方米只相当于个标准的操场， 这肯定是一个错误，正确的应该是7000平方千米。15类似的例子还有很多，表明我国对数感表现的界定更偏向于解决现实问题， 因此在义务教育阶段数学课程标准(2011)中，有这样的一句话：“建立数感有 助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。即切1.3数感与其他数学能力的相关性数感早期的研究主要是集中在培养学生数感的意义上。研究表明培养学生数 感具有重要的意义，具体表现在：数感与数学成绩的相关性培养学生数感能否促进学生的数学成绩，数学成绩好的学生数感是不是一定 好等，前人通过调查和研究，

27、使这些问题的答案逐步明朗。研究表明，数感与数学成绩，尤其在小学和初中阶段，具有显著的相关性。 培养学生数感能够明显促进学生的数学成绩。数感和数学成绩的相关性显著的原 因主要是数感与数学思维水平、估算能力、计算能力等密切相关。17数感与数学效能感效能感是心理学上的专有名词，是指人们对其行为能力的自我信念。简单地 说，就是指自信心。数学效能感指的就是学好数学的信心。学好数学的信心对一 个学生来说是至关重要的，那么数感和数学效能感之间有怎么样的关系呢？乔福强等人的研究表明：数感与数学效能感之间存在显著相关性。数感一方 面可以直接促进数学成绩，另一方面，数感可以通过促进数学效能感，间接促进 数学成绩。

28、这就是说，培养学生数感，有利于激发学生的数学学习兴趣，增 强学生学习数学的信心。数感与符号意识符号意识主要是指能够理解并且运用符号来表示数、数量关系和变化规律， 知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。既然数感包括对数、数量关系的感悟，那么数感和符号意识之间是否存在关 系呢？马云鹏等人的研究表明，在解决数字推理问题时，如果学生能够意识到数 字运算的代数性质，并且试图表达出这种代数性质，他们就由此迈出了数感向符 号意识发展的步伐。因此培养学生的数感有助于符号意识的发展。191.4学生数感水平调查既然培养学生数感具有重要意义，那么当前的学生的数感水平如何呢？当前 的数学教育是否能够有

29、效地发展学生数感呢？上世纪八九十年代，国内外进行了 很多关于学生数感水平的调查。如Mohini Mohamed, Jacinta Johnny的学生数 感调查，Sare Sengula , Hande Gulbagcia的土耳其五年级学生在十进制数方面 的数感调查，谢茜对我国5、6、7年级学生数感现状的调查研究。调查结果显示：学生的数感水平很低。例如，有调查显示，学生在十进制数方面的数感 非常差。主要原因是对标准算法的大量使用和对数的意义理解不深，甚至存在很 多错误的认识。20在数感的诸多方面中，学生在判断运算结果合理性方面表现最差，在比 较数的相对大小方面表现最好。Yang D C在五年级学

30、生数感水平测试以及数 感与数学成绩相关性调查中的调查发现：第一，学生在比较数的相对大小方面 表现最好，而在判段运算结果合理性方面表现最差；第二，女生在比较数的相对 大小方面比男生要好一些，尽管这样的差别并不明显；第三，学生的数学成绩与 数感水平显著相关。阳1谢茜、张开敏等人的调查结果也表明了这一点。数感与年龄、性别的关系学生的数感水平会随着年龄的增长不断增强。谢茜在对我国5、6、7年级 学生数感现状的调查研究中的研究表明：随着年级的升高，从整体上来看，学 生的数感逐步上升。在数感的各个方面，7年级的学生与其他两个年级都有着显 著性的差异；对于5年级和6年级的学生来说，除了基准量的运用之外，在数

31、感 的其他四个方面都存在着显著的差异。学生的数感与性别之间，不存在明显的相关。张开敏在关于成都市中小学 生数感的理论与调查研究中写道：“从数感整体来讲，两个年级的男女生之间 不存在显著的性别差异。Yang DC等人的调查也表明了这一点。22数感水平的地区差异除了关注本地区学生的数感现状之外，各地区学生数感的差异性研究也有很 多，如Piijo Aunio, Jessie Ee, Swee Eng Audrey等人的香港、芬兰、新加坡 儿童数感调查及比较研究，Pirjo Aunio ? MarkkuNiemivirta等人的中国与芬 兰儿童数感水平调查与比较研究。研究表明，各地区儿童的数感会在某些

32、方面存在差异，但整体差异不大。研 究进一步表明，这些差异的产生与语言、文化相关性较小，主要原因是教学方法 的差异。23综合以上的研究成果，我们可以看出：各国学生的数感水平都较低，与培养目标相去甚远。学生数感水平与性别、语言、文化等没有明显相关。数感较低的主要原因是：由于对数感的研究起步较晚，从理论到实践都 不够成熟。长期以来，从数学教育目标到数学教学实践，数感的培养都没有得到 重视。归根结底，要从根本上改善这种状况，还是要从改革教学方式和学生学习 方式上入手。不断提高在职教师对数感的重视，不断改善教学方式和学生学习方 式，是提高学生数感的必由之路。1.5在职教师数感现状与数感教学现状调查由于教

33、师在教学中的扮演着重要角色，因此在职教师的数感现状、数感教学 现状也成为了研究者关注的对象，如的TsaoYL台湾小学数学教师对数感相关 知识的理解。研究表明：在职教师对数感的涵义及重要性认识不够。TsaoYL在台湾小学数学教 师对数感相关知识的理解中的调查研究表明：台湾的小学教师很少有听说过“数 感这个词。参与调查的9名教师中，有6名从来没有听说过，有2名听说过一 次，仅仅有1名教师对数感作过深入的研究。参与调查的教师都认为数感就是对 数字的良好的直觉和敏感性，数感良好的学生能够很好地理解数字的意义和数字 关系，并能够运用多种策略解题。24在职教师在组织教学时，注重培养学生的运算能力，忽视学生

34、数感的发 展。LinYC在数感和数感教学中的研究表明：在四则运算的教学中，在职 教师更倾向于让学生重复使用和记忆四则运算的法则。这种教学方式关注工具性 知识的学习，对发展学生数感却没有帮助。251.6数感教学方法的研究目前的研究主要集中在这一方面，也涌现出了很多研究成果。例如：Burns等人的研究表明，在传统的算术教学中，教学重心是四则运算法则 和学生计算能力。这种教学会严重阻碍学生数学思维的发展，不利于学生数感的 培养。26HsuCJ等人的研究表明，学生的数感可以通过精心设计的教学活动、有 效的讲授以及营造良好的学习环境得到发展。例如相比于传统的教授方式，分组 教学更有助于学生数感的发展，因

35、为分组教学中，学生有更多的探索、交流和思 考的机会。27研究表明，与单纯借助教科书教学相比，融合更多的现实活动的教学更 加有助于学生数感的发展。Yang D C在数感的学习：将现实活动整合到三年 级课堂中写道，调查结果显示，实验组(在教学中设计培养数感的现实活动)在 数感测试中的表现要明显优于控制组(按照教科书进行教学)的表现。28与传统的教学方式相比，借助现代科技手段的教学更加有助于学生数感 的形成。YangDC在通过科技化的教学促进6年级学生的数感中写道：“实 验组在数感方面的表现明显优于控制组。T检验进一步表明，实验前后，实验组 的学生在数感方面有了明显的提升，而控制组的学生在数感方面并

36、没有明显变 化。另外，实验组学生的学习态度也得到了明显的改善。阳刃我国大陆也有很多学者进行了这方面的研究，如史宁中、吕世虎的数感与 数感教学，马云鹏、史炳星的认识数感与发展数感，徐文彬、喻平的数感 及其形成与发展，等等。以上是到目前为止，关于数感的主要研究领域和研究成果。1.7其他零散的研究师范生数感水平调查国外和我国台湾地区少量研究表明：师范生的数感水平较低，为了提高学生 的数感水平，必须首先提高师范生的数感水平。30高等数学教育对数感的影响Julie Castronovo, Silke M. Gobel的研究表明，高等数学教育对数感的促进作 用很小。31关于数感的其他领域的研究较为零散，而

37、且不够系统，在此不一一列举。第二章问题提出与研究思路本次研究的问题是在深刻认识发展学生数感的必要性、清楚了解当前国内中 小学生数感现状并深入分析其原因之后，结合笔者自身的研究条件慎重提出的。 具体如下：2.1发展学生数感的意义发展学生数感，尤其是小学生数感成为了当前数学教育的一个重点。最新修 订的义务教育阶段数学课程标准中明确提出：“在数学课程中，应当注重发 展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推 理能力和模型思想。对于发展学生数感的意义，课程标准中强调：“建立数感， 有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。那2 总结国内外的研究并深入

38、分析之后，笔者认为发展学生数感的意义主要包括以下 三个方面：发展学生数感对于数学学习本身来说具有重要意义，主要体现在：a、早期数感的建立，对后续数学的学习有着基础性的重要作用；研究表明，数感是学生在学习早期应该发展的最具有基础性的数学概念之 -O在早期的学习中发展学生数感，能够为后续的更复杂的数学概念学习(包括 数位的学习，四则运算的学习，等等)做好准备。总之，早期学习中数感的建立 对学生整个数学学习生涯有着决定性的作用。33b、发展学生数感能够提高学生问题解决的能力。在美国第三次国家教育进展评估之数学学科进展评估中已经明确指出了 当时美国数学教育的不足之一就是学生的问题解决能力低下。数感的概

39、念也是在 此基础上提出的。学生解决问题的能力低下，究其原因是在对问题的理解、对解题方法的理解 以及方法的选择上存在问题。而发展学生数感,其实质就是要加强学生深入思考, 加深对数学概念、数学方法的理解。因此，发展学生数感能够提高学生问题解决 的能力。很多调查研究，也表明了这一点。例如Jeemy Louange和Jack bana在 七年级学生数感与问题解决能力的关系中写道：调查结果显示，数感和问题 解决能力之间有着显著的联系。这对于教师来说，无疑具有重要的启示意义。34发展学生数感对于学生的非智力因素培养具有重要意义，具体体现在， 发展学生数感能够培养学生的探索精神和创新精神。培养学生的探索精神

40、和创新精神是数学学科本身的价值之一。但是，在数学 教学和学习中，单纯地记忆数学知识和技能显然不利于培养学生的探索精神和创 新精神。发展学生数感，其中一个重要的要求就是要对所学知识、技能等进行深 入思考，形成感悟，在此基础上发展灵活多样的解题策略。在这样的过程中，学 生的探索精神和创新精神必然能得到更好培养。发展学生数感能够更好地满足社会对人才的需求。进入21世纪，科学技术的进步日新月异。尤其是电子计算机的逐步普及， 更加削弱了传统的数学教育的地位。社会发展需要数学教育培养出更多能够解决 更难数学问题的人才。在这样的社会需求面前，发展学生数感，进一步提升学生 的数学素养成为了数学教育不可推卸的责

41、任。发展学生数感，伴随着学生数学思 维能力的提高和解决问题能力的提高，我们的学生将更加适应社会的发展需求。2.2国内中小学学生数感现状发展学生数感已经成为当前数学教育的一个重要方面，这一观点已经得到了 国内外的一致认可。但与课程标准对发展学生数感的重视和要求相比，国内中小 学生数感现状却不尽如人意：与其他国家或地区的情况类似，我国中小学生的数 感水平很低。综合国内学者的调查研究，我国中小学生数感现状的主要特点是：数感的整体水平较低大量的调查研究表明我国中小学生数感水平整体较低，主要体现在运用数感 解决问题的意识单薄，利用数感解决问题的能力低，解题方面创新性差。张开敏、Yang DC、谢茜等人的

42、调查研究证实了这一点。数感发展不均衡，城乡差异明显受我国城乡二元经济结构影响，城乡教学条件、教学水平、教育受重视程度 等差异明显。受以上诸多因素的影响，城乡学生数感水平差异明显。广大农村学 生的数感水平明显低于同等学力的城方学生。数感发展缓慢从2001至2011年十年以来，先后多次的调查研究表明，国内中小学生数感 水平的整体提升不明显，发展缓慢。总之，在发展学生数感方面，我国面临的任务复杂而艰巨。2.3如何改善国内中小学生数感现状的一些分析造成我国中小学学生数感水平较低、城乡差异明显、发展缓慢的原因是多方 面的。概括地说，我们可以有以下几方面的考虑：我国数感研究起步较晚，数感与数感教学方面的理

43、论体系不完善；城乡在经济条件、办学条件、师资配备等方面的差异；教师自身、教材编写等方面存在的不足。在以上3个方面中，本研究重点关注教师自身方面存在的不足。那么为了适 应数感教学，教师应该做好哪些准备呢？为了发展学生数感，教师必须做好多方面的准备。在诸多准备之中，完备的 数感专业知识和较高的数感教学水平是最重要的，具体表现在：1、发展学生数感，要求数学教师具备完备的数感专业知识相关研究表明，数学专业知识对数学教师来说是极其重要的，因为专业知识 会对教师如何教和教什么产生重要的影响。35例如,Alajmi的研究表明，如果教师要教授学生如何判断运算结果的合理性, 那么教师本身必须能够认识到判断运算结

44、果合理性的重要性和价值。Schifter的 研究进一步表明，数学教师必须掌握数学的一些基本思想，并认识到数学的学习 是一个长期的细致的工程。进一步讲，有效的数学教学需要教师对数学的深入理 解。总之，一系列的研究都表明了数学专业知识对数学教师的重要性。362007年，Alajmi和Reys在科威特进行了数感方面的研究表明，八年级学生 对运算结果合理性判断方面存在明显不足。同时，研究表明，相比于对运算结果 合理性的判断，当地教师更看重如何得到精确的运算结果，这也成为了学生在判 断运算结果合理性方面存在明显不足的一个重要原因。37在数感教学中，数学教师应该具备的数感专业知识主要包括两方面：对数感及数

45、感教学意义的准确理解；良好的数感水平。为了便于表达，对数感及数感教学意义的理解和数感水平，统称为数感意识。2、发展学生数感，要求数学教师具备较高的数感教学水平教学水平是对教师的教学的整体评价，主要包括教学目标的确定是否恰当、 教学资源是否充足、教学策略的运用是否有效、教学效果评价是否合适等。教师 的数感教学水平体现在数感教学的全过程，直接影响着数感教学效果。数感教学水平较高的教师能够在具体教学中，结合教学实际，恰当选取数感 培养目标并开发出足够的数感教学资源，采取有效教学策略，最终数感培养目标。 相反，数感教学水平较低的教师可能会在数感目标制定、数感教学策略等方面出 现问题，影响数感目标的实现

46、。因此，具备较高的数感教学水平是数学教师在发展学生数感时必备的另一个 重要条件。2.4问题的提出与研究目的经过上述分析，笔者作出了当前中小学数学教师数感意识和数感教学水平较 低的推断。在这一方面，国外和我国台湾地区已有一些研究。尽管这些研究成果 具有较高的参考价值，但考虑到之前研究的时效性和地域性的局限，对我国中小 学教师数感专业知识和教学水平展开系统的调查研究仍有必要。但受笔者自身研究条件所限，本次研究的对象定为数学专业师范生（主要包 括高等院校本科学生和专科学生，以下简称师范生）。此外，师范生是未来的数 学教师，改善师范生的数感教学水平，对于改善整个教师队伍的数感教学水平具 有重要的意义。

47、综合以上的考虑，本次研究的目的是：（1）通过调查，查明师范生数感意识水平；（2）通过调查，查明师范生数感教学水平；（3）深入分析调查结果，提出解决问题的策略。2.5研究方法与研究思路本次研究的调查部分主要采取问卷调查和访谈，结果处理主要参考文献并结 合自身工作经验。结合本次研究的问题和研究目的，研究主要包括以下三部分：1、调查前的准备工作准备工作主要有：相关概念的界定（第三章）。2、实施调查与调查结果统计这一部分包括：师范生数感意识调查（第四章）；师范生数感教学水平调查 （第五章）。3、分析问题原因，提出改进建议这一部分包括：问题原因分析（第六章）；提出改进建议（第七章）。第三章数感及数感的相

48、关概念的界定数感及数感的相关概念是本次研究的基础。但由于之前的研究存在分歧，因 此有必要首先对数感的概念重新界定，3.1数感关于数感概念的定义，当下认可程度较高的主要有以下几个：数感是指一个人对数字和运算的一般理解以及运用这种理解灵活地作出 数学判断、形成有效解题策略的能力和倾向。数感，是一种对数字和数字关系的良好的直觉。数感是一个数字与运算的组织化良好的概念网。这个概念网有助于辨别 数字相对和绝对大小、对运算作质和量的判断、判断计算结果是否合理、以及进 行心算。数感主要是关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建 立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关

49、 系。在数感概念的定义上，存在诸多争论，其主要原因是其中掺杂了太多的个人 看法，而忽略了这个概念产生的背景以及这个概念的发展性。孤立地去看这个概 念或只凭借个人对其的理解来定义，必然产生混乱而无法达成一致。笔者认为应 该首先研究概念产生的背景，进而用发展的眼光，来给出一个相对客观的定义。1、从数感产生的背景来看数感数感最早是在上世纪七八十年代由美国学者Carpenter等人提出。Carpenter 曾多次参加美国国家教育进展评估(NAEP),主要负责数学教育进展评估。而数 感也是其在分析NAEP的数据时首次提出的。换句话说，数感这个概念是在美 国当时的数学教育状况的基础上提出的。因此要了解数感

50、产生的背景，我们需要 必须了解上世纪七八十年美国数学教育的状况。我们以第三次国家教育进展评估之数学学科进展评估(第二学段)一文问 参考，来看看当时美国的数学教育状况。其主要调查结果和建议如下：a、1978-1982年间，13岁儿童在数学上取得了明显进步(5%),但是其中大 部分是在较低层次的数学技能上取得的这些较低层次的数学技能包括辨认图形形状，利用直尺测量线段长度，阅读 简单图象或图表，进行简单的四则运算等。b、学生对基础概念的理解水平很低文中举了这样的例子：在3.04x5.3结果估算测试中，13岁儿童中只有20.7% 能够选择出正确估算结果16,其余大部分学生选择了 1.6,160,或者1

51、600o 17 岁学生在这方面的表现并不比13岁学生强太多，他们中只有36.6%能够选择出 正确估计结果。c、教师需要在培养学生解决问题的能力上投入更多的时间和精力，尤其是 在培养学生对数学问题的理解上调查结果显示，学生问题解决能力低下，除非是在课本上出现过的例题。这 种状态的主要原因是，很多问题学生能够解决却不知道为什么要这么做，也不理 解题目中的已知条件和问题的关系。d、学生对问题解决的认识和对数学的认识大多数学生认为解决问题的方法比解决问题本身更重要，而知道为什么能使 用这种方法来解决，比会用这种方法解题更重要。但对于数学的认识，大多数学生认为数学是由很多孤立的、一成不变的结论 组成的，

52、而且数学的学习主要是靠记忆。38还有其他方面的一些结论，由于和本次研究无关，不再列举。我们可以把当时美国数学教育存在的问题做一下归纳，从学生回答问题的情 况和对数学的认识上，我们很容易发现，当时数学教育的重心是数学知识和技能 的学习和运用，而忽视了学生对数学知识和技能的理解。因此才会有学生只会解 题而不会思考，并且认为数学的学习主要是靠记忆。究其根本，是数学的功能在 随着时代的进步在发生变化，进入21世纪，科技日新月异，尤其是电子计算机 的广泛使用，单纯依靠数学知识和技能就能解决现实所有问题的时代已经过去， 对数学学习我们应该提出更高的要求。具体而言，数学教学的重心应该由原先的 注重知识与技能

53、掌握转变为注重理解和创新。因此，从数感这个概念本质上看，数感是对数学知识和技能的理解和感悟。 具体而言，既然是“数感，那么这种理解和感悟应该是关于数和数的运算等方面 的理解与感悟。2、用发展的眼光来重新审视数感在了解了数感概念提出的背景和其本质之后，很多学者又对数感作了进一步 地研究，包括从心理学、神经学、教育学等诸多方面。这样的研究让我们对数感 的认识更加全面更加立体化。因此，从这个角度来说，诸多定义形式也是必然会 出现的，但这并不会对我们的认识造成混乱。综合以上两个方面的分析，从数学教育研究需要出发，本次研究决定采用以 下的两种定义：数感是指一个人对数字和运算的一般理解以及运用这种理解灵活

54、地作出 数学判断、形成有效解题策略的能力和倾向。数感主要是关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。“理解和“感悟从本质上说是相近的，因此，这两种定义实质是相近的，前 者更具体，后者则更概括。3.2数感的主要表现方面如果用发展的眼光来看数感的表现，随着算术方面的知识扩充和深化，数感 的表现也会不断扩展。同样，小学阶段的数感表现与初中阶段的数感表现也会不 同。因此，数感的表现只能作出相对固定的界定。本次研究只针对我国当前义务 教育阶段的学习内容，对数感的表现作出主要的列举，以方便后面的研究。数感的主要表现在：1、对数字的意义和大小的理解对数字意义和大小的理解表现为能够理解实数的意义及多种

55、表示，并能对数 字的相对大小关系作出准确的判断。例如，2/5比1/2小，-0.6小于0.3。2、对运算的意义及影响的理解义务教育阶段的运算主要包括：四则运算、乘方运算、开方运算。对运算的意义及影响的理解表现为能够准确判断运算的结果如何随着运算 以及数字的变化而变化，以及对运算律的理解。例如，能够知道13x0.8结果比 13小，13+0.8结果比13大，而接近于4,等等。3、理解并运用等值变化理解等值变化指的是能够知道一个数字或代数式可以有多种变现形式，例如。号=25%。在必要的时候运用等值变化，能够简化运算。例如15+0.25=15+1/4=15x4。4、拥有灵活的心算策略和估算策略对于某些问

56、题，能够在不借助笔算的情况下，利用对运算性质的理解或通过 恰当地估算，对运算结果作出估计或借助心算解决问题。5、灵活地借助基准量解决问题基准量指的是解决问题的过程自主选取的中间量。基准量的选取由具体问题 而定。例如：比较7/13和3/7的大小时，可以选取1/2作为基准量。数感还有其他方面的表现，在此不一一列举。第四章 师范生数感意识调查本章重点说明本次研究的样本的选取、相关调查问卷的制定和调查结果的评 价标准。4.1调查对象根据研究的目的，随机选取了河北师范大学、邯郸学院、廊坊学院、保定学 院、沧州师范学院和石家庄学院等6所高校的120名数学专业学生作为本次研究 的样本。为使样本具有较高的代表

57、性，根据本科生和专科生比例以及性别比例， 120名被试中本科生40名，专科生80名，男女比例1:2。4.2调查问卷的设计为了保证此次调查的有效性和真实性，问卷的设计参考了很多前人的研究成 果，并在此基础上加以完善形成了新的调查问卷。对于数感专业知识水平的调查主要包括两个方面：数感水平和数感教学意义 认识水平。为了师范生数感水平，笔者设计了数感水平调查问卷（详见附件1）。 与之前调查问卷不同，此次设计调查问卷时，根据调查对象的受教育程度，适当 调整了难度。对于较为简单内容，不再作为此次考查的内容。为了调查师范生对 数感教学重视程度，我设计了数感教学意义认知水平调查问卷（详见附件2）。 为了弥补调

58、查问卷可能存在的不足，并通过访谈进一步核实调查结果的真实性， 访谈内容会在问卷结果基础上作出设计。4.3数感水平调查结果本调查分别在6所学校单独进行。调查场所相对封闭，答题时间严格控制， 调查过程中秩序井然。对于120份调查问卷，笔者做了统一地处理，不再区分学 校、学历层次、性别。对于答卷的处理方法是：首先排除无效答卷。答题数量少于1/3的问卷视为 无效问卷，不予统计。其次，对每道题的答题情况分别作出分类并统计；再次对 每名参与者的整体数感水平作出评估；最后在前面的基础上作出定性分析和定量 分析。答卷统计工作由两个人单独进行，以确保统计结果客观公正。以下是数感水平、数感与数感教学意义认知水平的

59、调查结果。数感水平测试问卷，共12道小题。其中第7、8、9、12题为初中部分，其 余为小学部分。所有题目均与数感密切相关且有多种解法。所有题目均是主观题, 要求答题者在尽量不借助笔算的情况下，写出问题答案并简要写出步骤或方法。 答题时间严格控制在30分钟，不可以提前离场。对于问卷调查结果，笔者从以下三个维度来进行统计：数感运用的比例按照解题过程中是否运用数感分类进行统计，用运用数感解答问题的比例大 小来衡量数感整体水平的高低。数感体系的完整性结合具体问题的答题情况，对调查对象的数感体系的完整性作出推测。数感水平分布通过统计个体数感运用比例的分布情况，对调查群体的数感分布上的特点作 出分析。4.

60、3.1数感运用的比例笔者首先对各题的答案按照是否运用数感进行了严格的分类，在此基础上计 算出了各题的数感运用比例。最后计算出各题运用数感的百分比的平均值。具体 统计结果见表4.1 o从表中可以看出，在此次问卷调查中，参与调查的120名被试的数感在各题 解答过程中运用数感的平均比例是28.42%O据此，笔者推断师范生的数感平均 水平较低。表4.1数感运用比例统计表题号运用数感人数没有运用数感人数运用数感百分比1368130.8%2427535.9%3219618.0%4308725.6%5279023.1%6219618.0%7427535.9%8338428.2%9219618.0%10546