线代答案历年考题看完不过打死我线代char2

1、12.5 矩阵的秩引言 矩阵的秩是矩阵的较深刻的理论. 这部分理论（与 向量组的秩理论一起）是线性代数中较为抽象的内容， 是全书的难点所在，也是考研的重点之一.一、定义（k 阶子式） 在矩阵Amn 中，任取 k 行与 k 列(km, kn),位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改变它们在A 中的位置次序而得的 k 阶行列式, 称为矩阵A的k 阶子式.例 三阶方阵A有 个1阶子式，有 个2 阶子式， 有 个3 阶子式.9912例 计算矩阵 A的各阶子式解 1 阶子式有（共6个）：2 阶子式有（共3个）：注 1. 矩阵Amn 共有 个 k 阶子式. 2. 矩阵的子式是行列式，而非矩阵.3 设在矩

2、阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵A的秩，记为 R(A). 规定：零矩阵的秩等于零.问：若矩阵的所有r +1阶子式全为零，r +2 阶子式的值 如何？定义（矩阵的秩）（皆等于0.）4几个明显的结论:5问 下列矩阵的秩是多少？设 A 为 n 阶方阵，若 R(A)=n, 则称A为满秩矩阵.易知有： 定理66例1 求矩阵 的秩.解 易见，A 的二阶子式而 A 所有三阶子式共有四个，都等于0，即所以 R(A)=2.7二、矩阵秩的求法定理7 矩阵经初等变换后, 其秩不变.证明思路：因此8例 求

3、A的秩.解 现对A仅作行变换.称此形式的矩阵为A的行阶梯形.9行阶梯形矩阵的特点是：每个阶梯只有一行.称此形式的矩阵为A的行最简形.由行阶梯形立即可知R(B)=3,从而R(A)=3.若对行阶梯形继续作行变换，则可得A的行最简形. 行最简形的特点是：每个非零行的第一个非零元素为1,且这些1所在列的其他元素皆为零.行最简形矩阵在解线性方程组时有着重要的应用.1011例解分析：121314例6解：A1516关于矩阵秩的一些最基本关系，归纳如下:17思考:评注： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.18事实上补充：1920分析: 因为(?)21222.5.2

4、线性方程组与系数矩阵的秩引例 求解线性方程组 下面我们将解方程组时所作的同解变换与系数矩阵相应的变换对照给出 利用矩阵的秩的概念，可以给出齐次线性方程组有非零解的一个充分必要条件23得与原方程组同解的方程组如下:一般解为:24-25-用“回代”的方法求出解：26于是解得27总结：1上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍（与互换: ）（以替换）（以替换）283上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换29因

5、为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（*）的增广矩阵）的变换3031特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶 只有一行，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，台阶数即是非零行的行数.32证必要性.则在A中应有一个 n 阶非零子式 Dn ,若 R(A)=n,根据克莱姆法则,Dn所对应的 n 个方程只有零解,从而这与原方程组有非零解相矛盾. 下面用矩阵的秩给出齐次线性方程组有非零解的判定条件.即R(A) n.33充分性.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为 1，其余自由未知量

6、为 0，即可得方程组的一个非零解.设R(A)=r n.注：定理8可视为齐次线性方程组情形的克莱姆法则的 推广. 即我们有：34一、主要内容 第二章 小 结 一些特殊矩阵：零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、 对角矩阵、分块对角阵、上（下）三角阵、 同型矩阵、对称阵、反对称阵、伴随矩阵、 可逆矩阵、等价矩阵、初等矩阵、满秩方阵.矩阵的运算：加（减）、数乘、矩阵乘以矩阵、转置、 方阵的行列式、求逆，矩阵的初等变换35二、本章重点注：用矩阵的初等变换可解决： 判别矩阵是否可逆并求可逆矩阵的逆矩阵； 解矩阵方程； 求矩阵的秩； 求矩阵的标准形（矩阵的初等变换还有许多用处，见以后各章） 矩阵可逆的判别、矩阵的秩的概念、 矩阵的初等变换。36附：如何判别矩阵可逆(A,B皆为方阵)371. n 阶方阵A可逆的充要条件A可逆三、一些结论382. 关于矩阵秩的关系式39证法二 由证毕. (1) 证明 如果A2=A, 但 A不是单位矩阵, 则 A 必为奇 异矩阵 (