大学物理02质点运动学二

1、11.2.5 1.2.5 运动学的两类问题运动学的两类问题 运动方程是运动学问题的核心。运动方程是运动学问题的核心。实际的运动学问题中，有两种基本类型：实际的运动学问题中，有两种基本类型：1. 1. 已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度以及加速度度以及加速度22)(dtrddtvdadtrdvtrr2. 2. 已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以及初始条件求质点的运动方程及初始条件求质点的运动方程ttvvdtavd,dtavd00ttrrdtvrd,dtvrd00矢量积分要先投影，后积分！矢量积分要先投影，后

2、积分！21 1） 匀加速直线运动匀加速直线运动20021tatvxx )(20202xxavv dtdxtavv 0 tvvadtdv00dttavdxtxx)(000 dxdvvdtdxdxdva xxvvadxvdv00dtdva 变量置换法变量置换法3推广到二维：推广到二维：ax=0 ay=-g 即抛体运动公式即抛体运动公式 2 2） 抛体运动抛体运动20021sin)cos(tgvytvxgtvvvvyxsincos000vsin,cos, 0, 0000000vvvvyxyx4例题例题 设某一质点以初速度设某一质点以初速度 做直做直线运动，其加速度为线运动，其加速度为 。求：质点。求

3、：质点的速度随时间的变化关系及在停止前运动的路程。的速度随时间的变化关系及在停止前运动的路程。10sm100iv2sm10iavvv10ddtat d10dvvttt10ln,d10d000vvvvvvt100e vvttxtxtdedd,dd100vvv 3 3） 变加速直线运动变加速直线运动5两边积分：两边积分：txttxded01000 v1e101100txv)1 (1010texm10m)01 (10)e1 (100) 11 (10)e1 (10100100 xxm100 xxx61.2.6 1.2.6 平面曲线运动的自然坐标描述平面曲线运动的自然坐标描述 质点质点P沿已知的平面轨道

4、运动。沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点轴线，在其上任意选一点O作为坐作为坐标原点。标原点。质点在轨道上的位置可质点在轨道上的位置可以用从原点以用从原点O算起的弧长度算起的弧长度s来表来表示，示， s称为称为自然坐标自然坐标。运动方程：运动方程：)(tss 在质点上建立在质点上建立自然坐标系自然坐标系：切向坐标切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；te法向坐标法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。ne7根据加速度的定义，有：根据加速度的定义

5、，有：dtvdadtevdt)(dtedvedtdvtt 的大小为质点速率的变化率，其方向指向曲的大小为质点速率的变化率，其方向指向曲线的切线方向。线的切线方向。 tedtdv 切向加速度：切向加速度： ttteaedtdvat?dtedvtdtdva t其值可正可负。其值可正可负。ttedtdsevvte 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不变（恒为变（恒为1）但方向不断变化的矢量。）但方向不断变化的矢量。在自然坐标系中速度可表示为：在自然坐标系中速度可表示为：ABAvBv8 在在 t很小并趋于零时，有：很小并趋于零时，有：t+tt+t时刻，速度单位矢量为

6、时刻，速度单位矢量为tet t时刻，速度单位矢量为：时刻，速度单位矢量为：tete 增量为：增量为：ttteeetetete|lim|0ttteed|ttee在在 t趋于零时，趋于零时， 的方向跟的方向跟 垂直并指向垂直并指向圆心，即指向圆周轨道的法向圆心，即指向圆周轨道的法向 的方向。的方向。 tedtenenteded|lim0tteddtedsddo tepPne9可改写为：可改写为：dtedvtdtedvdtedvnt)(nedtdvtedsddo tepPne 设轨道在设轨道在P点的曲率半径为点的曲率半径为 ，定义：，定义：,ddsntedtdvdtedvnedtdsvdsdnev

7、2法向加速度：法向加速度： nnnneaeva2综上所述：综上所述：ntevedtdv2nntteaeadtedvedtdvatt10可以将加速度分解为切向和法向两个分量。可以将加速度分解为切向和法向两个分量。切向加速度切向加速度反映了速度大小变化的快慢。反映了速度大小变化的快慢。法向加速度法向加速度反映了速度方向的变化。反映了速度方向的变化。22ntaaa加速度的大小：加速度的大小：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：tnaaarctannata a匀速率圆周运动匀速率圆周运动 0ddtvat02van直线运动直线运动 0na222分别对应什么运动

8、？分别对应什么运动？思考思考11a4a2Ova3a1左图中分别是什么情形？左图中分别是什么情形？ a4情形是否存在？情形是否存在？v例例: 行星沿椭圆轨道运动，加速度指向一焦点行星沿椭圆轨道运动，加速度指向一焦点 定性分析由定性分析由M到到N速率的变化速率的变化.a的切向分量与速度反向，的切向分量与速度反向，故速率减小。故速率减小。思考：思考：2 vanata g例：例：抛体运动抛体运动g12例：例：质点质点M M在水平面内运动轨道如图所示：在水平面内运动轨道如图所示：OAOA段为直段为直线线,AB,AB、BCBC段分别为不同半径的两个段分别为不同半径的两个1/41/4圆周。设圆周。设t t=

9、0=0时时M M在在O O点，已知运动方程为点，已知运动方程为S S=30=30t t+5+5t t2 2(SI),(SI),求求t t=2=2秒秒时刻，质点时刻，质点M M的切向加速度和法向加速度。的切向加速度和法向加速度。解：解：t=2s ， S=80m /10222smdtsddtdvat3015质点的瞬时速率：质点的瞬时速率：v=30+10t(m/s)t=2s v=50m/s222/3 .833050 smvan可知此时可知此时M M在大圆上。在大圆上。13例题：例题：已知质点的运动方程已知质点的运动方程j )t2(i t2r2 求求：（：（1）质点的轨道方程质点的轨道方程 (2)第一

10、秒末的切向加速第一秒末的切向加速度；（度；（3）该点轨道的曲率半径。）该点轨道的曲率半径。4x2y2 解解(1) 轨道方程轨道方程j tidtrdv22=)2(224+2=tv224228ttdtdvat 2)1( taj2dtvda taaatn22224+2=2=)3(24 j )t2(i t2r2 141.2.7 1.2.7 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 ABsRxyO 质点所在的矢径与质点所在的矢径与x 轴的夹角。轴的夹角。 角位移角位移 ：角位置角位置 ：质点从质点从A到到B矢径转过的角度矢径转过的角度 。规定：规定： 逆时针转向逆时针转向 为正为正顺时针转向顺时针转向 为负

11、为负 质点的圆周运动，除了用位矢、质点的圆周运动，除了用位矢、位移、速度和加速度等所谓的线量来位移、速度和加速度等所谓的线量来描述外，也常用角量来描述。描述外，也常用角量来描述。 运动方程：运动方程：)(t在国际单位制中，角位置和角位移的单位为在国际单位制中，角位置和角位移的单位为rad。 15ABsRxyO角速度角速度：dtdtt0lim角加速度：角加速度：dtdtt0lim22dtd角速度可规定为矢量。其角速度可规定为矢量。其方向满足右手定方向满足右手定则：沿质点转动方向右旋大拇指指向。则：沿质点转动方向右旋大拇指指向。单位：单位：rad/s, 单位：单位：rad/s2, 平均角速度：平均

12、角速度：t平均角加速度：平均角加速度：t 16匀变速圆周运动的基本公式匀变速圆周运动的基本公式与匀变速直线运动计与匀变速直线运动计算公式有对应关系：算公式有对应关系：atvv020021attvxx)(20202xxavvt020021tt)(20202路程与角位移之间的关系：路程与角位移之间的关系：Rs线速度与角速度的关系：线速度与角速度的关系：Rv加速度与角量的关系：加速度与角量的关系：dtdvatRvan2,RdtdR,2RORP圆周运动线量和角量的关系：圆周运动线量和角量的关系：17例：例：某质点作半径为某质点作半径为R=0.10m的圆周运动，其角位置的圆周运动，其角位置 随时随时t的

13、变化规律为的变化规律为 =2+4t3(SI) 。求该质点在。求该质点在 t=1s时刻时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度；当切向加速度的切向加速度、法向加速度和总加速度；当切向加速度的大小恰好为总加速度大小的一半时，的大小恰好为总加速度大小的一半时， 又为多少？又为多少？,122tdtd,2 . 12tRv,4 . 2 tdtdvat424 .14 tRvan)(4 .14),(4 . 2122smasmastnt时,63:,362133ttaaaatnt得时解：解：rad15. 3)63(42)(6 .14222smaaant181.3 1.3 相对运动相对运动引言：引言：运动是绝对的，而

14、描述运动具有相对性运动是绝对的，而描述运动具有相对性 位移、速度、加速度等都要加上位移、速度、加速度等都要加上相对相对二字二字-相相对位移、相对速度、相对加速度。为明确表示一物体对位移、相对速度、相对加速度。为明确表示一物体的速度是相对什么物体而言，通常用双脚标表示。的速度是相对什么物体而言，通常用双脚标表示。甲甲乙乙v.甲对乙的速度甲对乙的速度,甲是运动物体甲是运动物体,乙是参照系乙是参照系.ABa.A相对相对B的加速度的加速度,A为运动物体为运动物体,B是参照系是参照系.研究的问题研究的问题: : 在两个有相互平动的参照系中考察同一物在两个有相互平动的参照系中考察同一物理事件，理事件，对同

15、一事件的描述存在怎样的变换关系？对同一事件的描述存在怎样的变换关系？ 下面研究同一质点在有相对平动的两个参考系中的下面研究同一质点在有相对平动的两个参考系中的位矢、位移、速度和加速度之间的变换关系。位矢、位移、速度和加速度之间的变换关系。19OOPOPOrrr位矢的相对性位矢的相对性OOPOPOaaaOOPOPOvvv速度的相对性速度的相对性对时间求导，得：对时间求导，得：再对时间求导，得：再对时间求导，得：加速度的相对性加速度的相对性强调：强调：相对运动公式的获得必须满足长度的测相对运动公式的获得必须满足长度的测量和时间的测量与参照系选择无关的条件。量和时间的测量与参照系选择无关的条件。注意

16、：注意：矢量合成与矢量变换是两个不同概念！矢量合成与矢量变换是两个不同概念！20变换的一般规律变换的一般规律 如地球上各地自转方向是自西向东，在赤道附近速如地球上各地自转方向是自西向东，在赤道附近速度可达到度可达到465m/s，若卫星在赤道附近顺着地球自转方，若卫星在赤道附近顺着地球自转方向发射，卫星将得到这一速度。向发射，卫星将得到这一速度。 又如升降机以匀加速又如升降机以匀加速g下降，如果其中有一物体下降，如果其中有一物体自由下落自由下落 ,对升降机中的观察者来说，物体好象没有对升降机中的观察者来说，物体好象没有加速度一样，称失加速度一样，称失 重状态。重状态。CDBCABPApDvvvvv 交交换换下下标标速速度度改改变变符符号号BAABvv 21例题例题. .轮船驾驶舱中的罗盘指示船头指向正北，船轮船驾驶舱中的罗盘指示船头指向正北，船速计指出船速为速计指出船速为20km/h20km/h。若水流向正东、流速为。若水流向正东、流速为5 5 km/hkm/h，问船对地的速度大小、方向是多少？若码头，问船对地的速度大小、方向是多少？若码头在在2km2km外正北方向，驾驶员需将船头指向何方经多外正北方向，驾驶员需将船头指向何方经多长时间才能使船到对岸（船速不变）？长时间才能使船到对岸（船速