第一章 第2节 复数几何表示

1、 2 2 复数的几何表示复数的几何表示 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数下载地址下载地址:Pin:mathematicsPin:mathematics一、复平面与复球面一、复平面与复球面1.复平面复平面111222,zxiy zxiy例例1 将通过两点将通过两点的直线用复数形式的方程表示。的直线用复数形式的方程表示。分析：分析：设直线上的点设直线上的点M表示复数表示复数z=x+iy如图所示如图所示1()A z2()B z( )M zoAM t AB 即即121121(),()()zzt zzzzt zztR注：注：若是过两点线段若是过两点线段121()(0,1)zzt zzt若若z为

2、中点为中点122zzz (1)|2;(2)|2 | |2|;(3)Im()4ziziziz例例2 求方程表示的曲线求方程表示的曲线分析：分析：（1）以）以-i为圆心，为圆心，2为半径的圆，为半径的圆，如图所示如图所示（2）2i,-2的垂直平分线，的垂直平分线，如图所示如图所示yx (3)Im()4iz例例2 求方程表示的曲线求方程表示的曲线分析：分析：（3）设）设z=x+iy,则则如图所示如图所示Im()14ixiyy 3y xyO2.复球面复球面1）. 南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , NS点点直线与球面相交于另一直线

3、与球面相交于另一作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过N( )SPP南南极极北北极极 xyON( )SPP思考：与思考：与N对应的数？对应的数？S球球面面C复复平平面面一一对应一一对应除除N外外N 规定规定包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面平面, , 或简称复平面或简称复平面. .AA注：注：为复数，为复数，| |=+ ，辐角无意义辐角无意义若无特别说明，均认为复数集不含若无特别说明，均认为复数集不含， : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1(

4、加法加法)(, : )2( 减法减法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法0,00 ，无意义无意义二、区域二、区域1.区域的概念区域的概念集合中的各类点集合中的各类点1）集合的各类点（集）集合的各类点（集）. : )( , 000的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以zzzz 一维空间：邻域（开区间）一维空间：邻域（开区间）0 x（ ）0 x 0 x 二维空间：邻域二维空间：邻域（开圆）（开圆）0zR邻域邻域:. : )( , 000的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合

5、称为的圆的圆为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以zzzz 说明说明z0所对应的点所对应的点P的邻域和去心邻域也可的邻域和去心邻域也可分别记作分别记作U(P, , ) ),(P,)U 说明说明. , 0 , 点的邻域点的邻域称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 MMzxyON( )SPP去心邻域去心邻域:. 0 00的去心邻域的去心邻域集合为集合为所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式zzz 说明说明. . , , zMMz可以表示为可以表示为域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻

6、的所有点的集合的所有点的集合仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在内点内点:. , , . , 000的内点的内点称为称为那末那末于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设GzGzGzG内点内点: :. , , . , 000的内点的内点称为称为那末那末于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设GzGzGzG开集开集: : 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为

7、开集称为开集. .区域区域: : 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称它为一个区域则称它为一个区域. .(1) D是一个是一个开集开集；(2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都可中任何两点都可以用完全属于以用完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. .练习：判断下列集合是否区域练习：判断下列集合是否区域(1)Im( )0z (2)|1| 4z (3)Im()3iz(4)| 1zi(6)2 | 3z非连通非连通非开集非开集(5)0arg;z 边界点、边界边界点、边界: : 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点

8、P P 不属于不属于D, 但在但在 P P 的的任意任意小的邻域内总有小的邻域内总有D中的点中的点, ,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点. .D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. .说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的孤立的点所组成的. . (2) 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 z 1C2C3Cz 1C2C3C(6)2 | 3z(5)0arg;z 例例以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界有界区域和无界区

9、域有界区域和无界区域:. , , 0, , 界的界的否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzMD (1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo2.单连通域与多连通域单连通域与多连通域1）.

10、连续曲线连续曲线:. , )( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线代代那末方程组那末方程组是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果btatyytxxtytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示: :)().()()(btatiytxtzz 2）. 光滑曲线光滑曲线:.0, )( )( , , )( )( , 22称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为

11、按段光滑曲线称为按段光滑曲线. .xyoxyo3）. 简单曲线简单曲线:. )( )( , )()( :的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与为一条连续曲线为一条连续曲线设设CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足Ctztztzttttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔当曲线当曲线).). , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线CbzazC 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单任意一条简单闭曲线闭曲线 C 将复平面将复平面唯一地分成三个互唯一地分成三个互不相交的点集不相交的点集.xyo内部内部外部外部边界边界课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(b