第五章 连续时间信号与系统的频域分析

1、信号与系统 第五章第五章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析【内容摘要内容摘要】 本章介绍连续时间周期信号的傅里叶级数、周期信号本章介绍连续时间周期信号的傅里叶级数、周期信号的频谱，非周期信号的傅里叶变换、典型信号的频谱函数、的频谱，非周期信号的傅里叶变换、典型信号的频谱函数、傅里叶变换的性质。傅里叶变换的性质。 时域分析是将信号分解成时域分析是将信号分解成 (t)的移位加权和，只讨论系统对的移位加权和，只讨论系统对 (t)的响应，然后利用系统的线性时不变特性进行输出相应的响应，然后利用系统的线性时不变特性进行输出相应进行求解。进行求解。频域分析是将信号分解成频域分析是将

2、信号分解成以不同正弦信号以不同正弦信号的和，只讨论系统的和，只讨论系统对对正弦信号正弦信号的响应，然后利用系统的线性时不变特性进行输的响应，然后利用系统的线性时不变特性进行输出相应进行求解。出相应进行求解。 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 (1) (1) 从信号分析的角度从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。径。 (2) (2) 从系统分析角度从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特

3、性可求得多个不同频率正弦信号响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。，是衰减还是增强一目了然。连续周期信号的频域分析连续周期信号的频域分析意义：意义：5-1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数周期信号的表示式为周期信号的表示式为)()(Ttftf（5-1-1）式中式中T为为f(t)的基波周期，其倒数的基波周期，其倒数Tf/10是信号的基波频率是信号的基波频率 若周期信号若周期信号f(t)满足狄利克雷条件：满足狄利克雷条件：（1）在一个周期内如果有间断点存在，则间断点的数目

4、是有限个；）在一个周期内如果有间断点存在，则间断点的数目是有限个； （2）在一个周期内，极大值和极小值的数目是有限个；）在一个周期内，极大值和极小值的数目是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即）在一个周期内，信号是绝对可积的，即 Tttdttf00| )(|则则f(t)可以展开为三角形式的傅里叶级数可以展开为三角形式的傅里叶级数 对任一个周期为对任一个周期为T的信号的信号f(t)均可以表示成三角函数的线性组合均可以表示成三角函数的线性组合式中，式中， T/20是基波角频率，有时也称基波频率。是基波角频率，有时也称基波频率。 一般取一般取 2/0Tt（5-1-2）)2sin()2co

5、s()sin()cos()(020201010tbtatbtaatf )sin()cos(00tnbtnann )sin()cos(0010tnbtnaannn TttdttfTa00)(10（5-1-3） TttndttntfTa00)cos()(20 （5-1-4） TttndttntfTb00)sin()(20 （5-1-5）若若对对ci分分解解为为付付里里叶叶级级数数为为： ntItItIIic cos2coscoscmncm1cm1coicccic1ic2ic3IcoIcmax22ncnnba nnnabtannnnacoscnnnbsinc若将式若将式(5-1-2)中同频率项合并，

6、可以写成另一种形式中同频率项合并，可以写成另一种形式 比较式（比较式（5-1-2）和）和(5-1-6)，可以看出傅里叶级数中各个量之间，可以看出傅里叶级数中各个量之间有如下关系有如下关系 100)cos(cc)(nnntntf (5-1-6)00ac 5.1.2 指数形式的傅里叶变换指数形式的傅里叶变换利用欧拉公式利用欧拉公式 tjntjneetn0021cos0 tjntjneejtn0021sin0 将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数 100022)(ntjnnntjnnnejbaejbaatf （5-1-8） 令令 nnj

7、banF 21)(0 （n=1,2,） （5-1-9） 考虑到考虑到 na是是n的偶函数，的偶函数， nb是是n的奇函数，的奇函数， 由式（由式（5-1-9）可知）可知 nnjbanF 21)(0 将上述结果代入（将上述结果代入（5-1-8），得到），得到 100000)()()(ntjntjnenFenFatf 物理含义：周期信号物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。可以分解为不同频率虚指数信号之和。令令 0)0(aF考虑到考虑到 110000)()(nntjntjnenFenF 得到得到f(t)的指数形式傅里叶级数为的指数形式傅里叶级数为tjnnnetf0nF)(（5

8、-1-10） TtttjndtetfT000)(1Fn（5-1-11） （5-1-2）)(tf)sin()cos(tnbtnaannn0010 100)cos(cc)(nnntntf (5-1-6)tjnnnetf0nF)(（5-1-10） Tttt jndte t fT000) (1Fn（5-1-11） 指数形式和三角形式系数之间的关系：指数形式和三角形式系数之间的关系： nnnnnnnnnnnnjnnnjnnjnnnjnnbFFjaFFabcFFecjbaeFFecjbaeFFcaFnnnn)(arctan21|21)(21|21)(21|000 （5-1-12） 纵轴对称信号纵轴对称信号

9、2/0002/2/00000d)cos()( 4d)cos()(2TTTnttntxTttntxTa0d)sin()(22/2/0000TTnttntxTb 纵轴对称周期信号纵轴对称周期信号其其傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式中只含中只含有有直流项直流项与与余弦项余弦项。T0 / 2T0 / 2t0A)(txT0 T0 )()(txtx若周期信号波形具有某种对称性，则其傅里叶级数也将呈现一定若周期信号波形具有某种对称性，则其傅里叶级数也将呈现一定的特性。的特性。原点对称信号原点对称信号 原点对称周期信号原点对称周期信号其其傅里叶级数展开傅里叶级数展开式式中只含有中只含有正弦项正弦项。0d)co

10、s()(22/2/0000TTnttntxTa2/0002/2/00000d)sin()( 4d)sin()(2TTTnttntxTttntxTb)()(txtxt0A-AT0 / 2T0 / 2)(tx半波重迭信号半波重迭信号 半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有只含有正弦正弦与与余弦余弦的的偶次谐波分量偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。，而无奇次谐波分量。T0 / 2T0 / 2A0tT0T0)(tx)2/()(0Ttxtx 半波镜像周期信号半波镜像周期信号只含有只含有正弦正弦与与余弦余弦的的奇奇次谐波分量次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。，而无直流分量与偶次谐波分量。)2/()(0

11、TtxtxT0/2T00tA-A)(tx半波镜像信号半波镜像信号 周期信号可以分解为周期信号可以分解为不同频率虚指数信号不同频率虚指数信号之和之和tnnntxC0j.=e )(|nC周期信号可分解为各次谐波频率分量的叠加，周期信号可分解为各次谐波频率分量的叠加，反映了不同谐波分量的幅度反映了不同谐波分量的幅度.而傅里叶系数而傅里叶系数 100)cos(cc)(nnntntf Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数频谱函数。 不同的时域信号，只是不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数傅

12、里叶级数的系数Cn不同，不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。例例1 试计算图示周期矩形脉冲信号试计算图示周期矩形脉冲信号 的的傅里叶级数傅里叶级数展开式。展开式。解：将信号解：将信号f(t)分解成傅里叶级数分解成傅里叶级数 分别计算分别计算nnbaa，0由由于于信信号号为为偶偶函函数数0bn 22012201)cos(2)cos()(211 dttnETdttntfTaTTn11112211sin2sin2)2cos(E2TnTnTETnnEdttTnT 221122101)(111 TEEdtTdttfTaTTxxsin( )aS

13、x这里函数这里函数称为称为“样本函数样本函数”，用符号，用符号表示表示sin( )axSxx( )aSx函数是一个偶函数，函数是一个偶函数， 0 x ( )1aSx 当当时，时，xk( )0aSx 当当时，时， 其波形如图其波形如图5-2所示所示图图 5-2因此因此na可以写为可以写为112TnSaTEan所以所以tnTnSaTETEtfn01111cos2)(展开为指数形式的傅里叶级数。展开为指数形式的傅里叶级数。 将信号将信号f(t)按式（按式（5-1-10）分解成傅里叶级数，并按式（）分解成傅里叶级数，并按式（5-1-11）、计算出）、计算出Fn 21012210nSaTEdtEeTFt

14、jnnntjnenFtf0)()(0ntjnenSaTE0201 【例例5-1】 试将图试将图5-1所示的周期矩形信号所示的周期矩形信号f(t)展开为三角形式的傅展开为三角形式的傅里叶级数。里叶级数。 )(tf2 t1T1T E2 O图图5-1 周期矩形信号的波形周期矩形信号的波形解：将信号解：将信号f(t)分解成傅里叶级数分解成傅里叶级数 分别计算分别计算nnbaa，0由由于于信信号号为为偶偶函函数数0bn 22012201)cos(2)cos()(211 dttnETdttntfTaTTn11112211sin2sin2)2cos(E2TnTnTETnnEdttTnT 221122101)

15、(111 TEEdtTdttfTaTT例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的试计算图示周期三角脉冲信号的傅傅里叶级数里叶级数展开式。展开式。解解: 该周期信号显然满足该周期信号显然满足狄里赫勒狄里赫勒的三个条件，的三个条件，Cn存在存在)dede(21de )(110j01j2/2/j000000ttttttxTCtntnTTtnn)deedee(j2110j10j01j01j00000ttttntntntntn) 1(cos)(12nn200T例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的试计算图示周期三角脉冲信号的傅傅里叶级数里叶级数展开式。展开式。tnnn0j=2e)(2 21tnnnCtx

16、0j=e )(0, 2/1,)/(2) 1(cos)(122nnnnnCn为奇数周期三角脉冲信号的周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数展开式为展开式为200T为奇数n例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的试计算图示周期三角脉冲信号的傅傅里叶级数里叶级数展开式。展开式。周期三角脉冲信号的周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数展开式为展开式为) e Re(2)(0j10tnnnCCtx由由tnntxn0121cos4 )(=2ttt0202025cos2543cos94cos421200T为奇数n 求求 Cn 。)4cos(3)(0ttx)4( j)4( j00

17、ee213tttt00j4 jj4 jee23ee2341412323jje,eFF1, 0nCn)4cos(3)(0ttx根据指数形式傅里叶级数的定义可得根据指数形式傅里叶级数的定义可得2 2、频谱的表示、频谱的表示直接画出信号各次谐波对应的直接画出信号各次谐波对应的Fn、 n线线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。njnneFF幅频特性幅频特性相频特性相频特性 各次谐波的振幅与频率的关系称为振幅频谱；相位与频率的关各次谐波的振幅与频率的关系称为振幅频谱；相位与频率的关系称为相位频谱。振幅频谱和相位频谱合称为周期信号频谱图。系称为相位频谱。振幅频谱和相

18、位频谱合称为周期信号频谱图。 信号可以是连续的，也可以是离散的。相应的信号频谱也有离信号可以是连续的，也可以是离散的。相应的信号频谱也有离散频谱和连续频谱之分。散频谱和连续频谱之分。 这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域特性说明了这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域特性说明了该信号携带的全部信息。该信号携带的全部信息。njnneFF幅频特性幅频特性相频特性相频特性【例例5-35-3】已知已知，42coscos2sin1)(111ttttf画出其单边和双边幅度谱和相位谱画出其单边和双边幅度谱和相位谱。解：将信号解：将信号f(t)化为余弦形式：化为余弦形式：42cos)15.

19、0cos(51)(11tttf三角形式的傅里叶级数谱系数三角形式的傅里叶级数谱系数25. 0 , 1c ;15. 0 ,236. 25c ; 0 , 1221100c举例说明单边频谱和双边频谱；举例说明单边频谱和双边频谱；所以信号所以信号f(t)的单边频谱如图的单边频谱如图5-3所示：所示：22ncnnba nnnabtan1 1c0c2c12 O24.211nc12 25.015.0 O1 n 图5-3 例5-3信号的单边频谱 4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tttttttf tttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)(t

20、nnnF1j221e)(整理 指数形式的傅里叶级数系数：15. 0 j1e12. 1j211F1)0(F4j1e212F15. 0 j112. 1j211eF 所以信号f(t)的双边频谱如图5-4所示 12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 图5-4 例5-3信号的双边频谱画频谱图时必须注意以下几点：画频谱图时必须注意以下几点：00cF 0n2|nncF （1）但当但当时，时，（2）三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；）三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；nc0nc（3）由于）

21、由于表示振幅，故表示振幅，故（5）为了使图形清晰，采用竖线代替点的办法来表示幅度或相位）为了使图形清晰，采用竖线代替点的办法来表示幅度或相位的数值，称为谱线，谱线只在基波的整数倍处出现。的数值，称为谱线，谱线只在基波的整数倍处出现。|nF0nn0n（4）当）当f( (t) )为实信号时，双边幅度频谱为实信号时，双边幅度频谱是是的偶函数，的偶函数，是是的奇函数；的奇函数；双边相位频谱双边相位频谱5-2-3 周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱22,2202)(11TttTtEtf周期矩形脉冲信号如图周期矩形脉冲信号如图5-1所示所示 ，图图5-1 其中其中E为脉冲幅度，为脉冲幅度， 为脉

22、冲宽度，为脉冲宽度， 1T为脉冲重复周期（假设为脉冲重复周期（假设)51T则信号在一周期内的表达式为：则信号在一周期内的表达式为：2/2/12/2/1110110E1)(1TTtjnTTtjnndteTdtetfTF式中，2|01nSaTEFn2/)2/sin(00nnTE0222200jneeTEjnjnnjn0eF)2(nsTEa（5-2-1）xxxSasin)(其中：其中：如下图如下图 称为称为“取样取样”函函数数.2, 1, 0)(1)(lim0kkSaxSax2)()()(00dxxSadxxSaxSaxxxSasin)(其中：其中：如下图如下图 称为称为“取样取样”函函数数其性质：

23、其性质： 偶函数偶函数 2|01nSaTEFn是是 使使 020nSa的的 nF的零点。的零点。) 2 1( 2200， kknkn（5-2-2）3 3频谱的特性频谱的特性v(1)(1)离散频谱特性离散频谱特性周期信号的频谱是由周期信号的频谱是由 间隔为间隔为0的谱线组成的谱线组成 信号周期信号周期T越大，越大，0就越小，则谱线越密。就越小，则谱线越密。反之，反之，T越小，越小，0越大，谱线则越疏。越大，谱线则越疏。3 3频谱的特性频谱的特性(2)(2)幅度衰减特性幅度衰减特性v当周期信号的幅度频谱当周期信号的幅度频谱 随着谐波随着谐波n 0增大增大 时，时，幅度频谱幅度频谱|Fn|不断衰减不

24、断衰减，并最终趋于零。，并最终趋于零。 v若信号若信号时域波形变化越平缓时域波形变化越平缓，高次谐波成分就，高次谐波成分就越少，越少，幅度频谱衰减越快幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。衰减越慢。 v (3)(3)信号的有效带宽信号的有效带宽v 02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度信号的有效频带宽度,即即 2B 信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间 成反比。成反比。 即即 越大，其越大，其B越小；反之，越小；反

25、之， 越小，其越小，其B越大越大。 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须必须“匹配匹配”。 物理意义：物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。nnCtxCtx2211)( , )( 若nnCaCatxatxa22112211)()( 则有| nnCC则nn若 为实信号)(tx )( nCtx若ntnCttx 00j0e)( 则有MntMCtx0je )(则有

26、 )( nCtx若nnCtxCtx2211)( , )(nnCCTtxtx21021)(*)( 则有 )( nCtx若nCntx 0j)( 则有若若 均是周期为均是周期为T0的周期信号，且的周期信号，且)()(21txtx和求图示周期信号的傅里叶级数求图示周期信号的傅里叶级数)2cos()2(Sa5 . 0)(12tnntxn)cos()(Sa.)(22511tnntxn)()()(txtxtx215.2.7 周期信号的功率谱周期信号的功率谱周期信号属于功率信号。周期信号属于功率信号。如果如果)(tf是实信号，定义为是实信号，定义为周期信号周期信号)(tf在在1电阻上消耗的平均功率，电阻上消耗

27、的平均功率，称为归一化平均功率。称为归一化平均功率。 式中，式中，T1为周期信号的周期。为周期信号的周期。 )(tf的指数形式傅里叶级数为的指数形式傅里叶级数为若若222111)(1TTdttfTP（5-2-6） 221110)(1TTtjnndtetfTF ntjnneFtf0)( （5-2-7） 将式（将式（5-2-7）代入式（）代入式（5-2-6）可得）可得222111)(1TTdttfTP221110)(1TTntjnndteFtfT（5-2-8） 把上式的求和与积分的次序交换，得2221|)(1110nnnnnTTtjnnnFFFdtetfTFP简称功率谱。简称功率谱。上式也可以写成

28、1220212022|2|nnnnnnccFFFP该式称为帕什瓦尔（该式称为帕什瓦尔（Parseval）功率守恒定理。）功率守恒定理。 物理意义：物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率频谱：周期信号的功率频谱： |Fn|2 随随n 0 分布情况称分布情况称为周期信号的功率频谱，简称为周期信号的功率频谱，简称功率谱功率谱。【例例5-4】 试求如图试求如图5-1所示周期矩形脉冲信号所示周期矩形脉冲信号f(t)的功率谱，并计算的功率谱，并计算 在其有效带宽在其有效

29、带宽 )/20(内谐波分量所具有的平均功率占整个信号内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。平均功率的百分比。 其中，其中， E=1 , 20/1, 4/11T解：解： 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数复系数为的傅里叶级数复系数为22sin001nnTEFn将将E=1 20/1, 4/11T和和 8210 T代入上式得代入上式得5/2 . 040/2 . 00nSanSaFn)5/(04. 022nSaFn画出画出 2nF随随 0n变化的图形即得周期矩形脉冲信号的功率谱，变化的图形即得周期矩形脉冲信号的功率谱，如图如图5-6所示。所示。 )(tf2 t1T1T

30、 E2 O2512nF40400图图 5-6显然，在有效频带宽度显然，在有效频带宽度)/20(内，包含了一个直流分量和内，包含了一个直流分量和四个谐波分量。四个谐波分量。 信号的平均功率为信号的平均功率为 2222012201212 . 01411)(1dtdttfTP而包含在有效带宽而包含在有效带宽 )/20(内的各谐波平均功率为内的各谐波平均功率为1806. 02412204421nnnnFFFP 从上式可以看出，周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各次从上式可以看出，周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各次谐波平均功率之和占整个信号平均功率的谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。因此，

31、若用直流分。因此，若用直流分量、基波、二次、三次、四次谐波来近似周期矩形脉冲信号，可以量、基波、二次、三次、四次谐波来近似周期矩形脉冲信号，可以达到很高的精度。由此可见，周期矩形脉冲信号的有效带宽的定义达到很高的精度。由此可见，周期矩形脉冲信号的有效带宽的定义为零至第一个零点的合理性。为零至第一个零点的合理性。%90200. 01806. 01PP周期信号的频域分析小结周期信号的频域分析小结v分析问题使用的数学工具为傅里叶级数分析问题使用的数学工具为傅里叶级数v最重要概念：最重要概念：频谱函数频谱函数 v要点要点v1. 频谱的定义、物理意义频谱的定义、物理意义 v2. 频谱的特点频谱的特点 v

32、3. 频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱谱 v4. 功率谱的概念及在工程中的应用功率谱的概念及在工程中的应用连续非周期信号的频谱v从从傅立叶级数到傅立叶变换傅立叶级数到傅立叶变换v频谱函数与频谱密度函数的区别频谱函数与频谱密度函数的区别 v傅里叶反变换傅里叶反变换 v非周期矩形脉冲信号的频谱分析非周期矩形脉冲信号的频谱分析1 1从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期讨论周期T增加对离散谱的影响：增加对离散谱的影响： 周期为周期为T宽度为宽度为 的周期矩形脉冲的的周期矩形脉冲的Fourier系数为系数为)2(Sa0nTAFn1 1从傅立叶

33、级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换讨论周期讨论周期T增加对离散谱的影响：增加对离散谱的影响： 周期为周期为T宽度为宽度为 的周期矩形脉冲的的周期矩形脉冲的Fourier系数为系数为 221110)(1TTtjnndtetfTF ntjnneFtf0)( （5-2-7） 5.3.2 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换 上式是用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期上式是用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱的表示式，称为傅里叶变换。信号频谱的表示式，称为傅里叶变换。 为书写方便，习惯上采用如下符号：为书写方便，习惯上采用如下符号： 傅里叶正变换傅里叶正变

34、换() ( )( )jtF jFT f tf t edt傅里叶逆变换傅里叶逆变换11( ) ()()2j tf tFTF jF jed傅里叶正变换傅里叶正变换() ( )( )jtF jFT f tf t edt物理意义物理意义: F(j )是单位频率所具有的信号频谱，是单位频率所具有的信号频谱， 称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。傅里叶逆变换傅里叶逆变换11( ) ()()2j tf tFTF jF jedtnTejF0 j0=n2)(limdejFtftj)(21)(物理意义：非周期信号可以分解为无物理意义：非周期信号可以分解为无数

35、个频率为数个频率为 ， 复振幅为复振幅为F(j )/2 d 的复指数信号的复指数信号ej t的线性组合。的线性组合。T , 记记n 0= , 0=2 /T=d , dejFtftj)(21)(dtetfjFt j)()(傅立叶正变换：傅立叶正变换：傅立叶反变换：傅立叶反变换：符号表示：符号表示：)()()()(1jFFtftfFjF)()(jFtfF或例题例题 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数22tA)(tf解解 非周期矩形脉冲信号非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为的时域表示式为2/| 02/| )(ttAtf，由由傅立叶正变换定义式，傅立叶正变换

36、定义式，可得可得dteAdtetfjFtt22 j j)()()2(SaA 22A)(F分析：分析：2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得连续频谱等间隔取样求得3. 信号在信号在时域有限时域有限，则在，则在频域频域将将无限无限延续。延续。4. 信号的频谱分量主要集中在信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽有效带宽。5. 脉冲宽度脉冲宽度 越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传

37、送信号所占用即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。的频带越宽。1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。5.3.3常见非周期信号的傅里叶变换常见非周期信号的傅里叶变换1.冲激函数冲激函数)(t()F j单位冲激函数的傅里叶变换是 j() ( )ed1tF jFT f ttt（5-3-9） 可见，单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀分布的。因此，这种频谱通常称为“均匀谱”或“白色谱”如图5-7所示。Ot)(t O1)( F

38、 图5-7 单位冲激信号的波形及其频谱2矩形脉冲信号矩形脉冲信号22)(tutuEtfj22edtFjEt22jej tE已知矩形脉冲信号的表达式为其中E为脉冲幅度，为脉冲宽度。矩形脉冲信号的傅里叶变换为：j2ee.22j2j E22sin E2 SaE所以，矩形脉冲信号的频谱为()Sa2F jE因此，矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱分别为Sa2FjE 2 21 4 00,1,2,2 21 2 22 nnnnn 因为 ()F j是实函数，通常用一条 曲线同时表示幅度谱 )(F和相位谱 )(如图5-8所示。EO tft2 2 F E 2O 4 2 图5-8 矩形脉冲信号的波形及频谱通常认为这种信号所

39、占有的频率范围（频带）B近似为1，即 频率而非角频率）频率而非角频率）（此处频带指的是信号（此处频带指的是信号 1B 直流信号直流信号直流信号的表达式为t tf, 1)(由傅里叶反变换公式得 dettj21)(由于)(t是t的偶函数，所以上式可等价为1( )()2j ttted作变量代换 t，则上式可写为 11( )122j tj tedtedt 因此有()112( )j tF jFTedt O)2()(jF221)(jF其相频特性)arctan()(已知单边指数信号的表示式为 FjO E O 2 2 tfOtE图5-10 单边指数信号的波形及频谱单边指数信号的波形、幅度频谱和相位频谱如图5-

40、10所示。0)()(tuetft（5-3-15） jdteedtetfjFtjttj1)()(0 (5-3-16)5、符号函数、符号函数符号函数不满足Dirichlet条件 ttt esgnlim)sgn(0先求乘积信号 tettf sgn1的频谱1()F jdtetfjFtj)()(1100ttttttdeedeejj 222jj1j1010001tttt , , ,)sgn(符号函数sgn(t)定义为 可以借助符号函数与双边指数衰减函数相乘，先得乘积信号的频谱，然后取极限，从而得到符号函数的频谱。幅度频谱 )sgn(2|2| )(|jF相位频谱 sgn22/2/)(0 0 符号函数的幅度频

41、谱和相位频谱如图5-11所示 12200j 22jlimlimFjFj 2 ()F jOO 22 图5-11 符号函数的幅度频谱和相位频谱符号函数的频谱为 6、单位阶跃信号、单位阶跃信号u(t)sgn(2121)()(21)()(21)(ttututututu1 ( )( )FT u tj 单位阶跃信号的幅度频谱和相位频谱如图5-12所示。 单位阶跃信号也不满足Dirichlet条件，但其傅里叶变换同样存在。可以利用符号函数和直流信号的频谱来求单位阶跃信号的频谱。 单位阶跃信号可用直流信号和符号函数表示为 OFj O 22 图5-12 阶跃信号的幅度频谱和相位频谱 5.4 傅里叶变换的基本性质

42、傅里叶变换的基本性质一、线性性质一、线性性质若若)()(11jwFtfFT)()(22jwFtfFT同时，同时，a a1 1 a a2 2 时两个任意常数时两个任意常数则则)()()()(22112211jwfajwFatfatfaFT 【例例5-5】 已知信号已知信号f(t)的波形所示，试求信号的波形所示，试求信号f(t)的傅里叶变换。的傅里叶变换。 解：解： f(t)可看成两个方波叠加，所以由线性性质可得可看成两个方波叠加，所以由线性性质可得 ( )f tt2244012)4(2)2()(SaSajF)4(2)(1SajF)2()(2SajF可得：可得：故：故：)j ()( FtfF若若)

43、j(*)(* FtfF则则)j (*)(* FtfF 当当x(t)为实偶函数时，有为实偶函数时，有X(j ) = X*(j ) ， X(j )是是 的的实偶实偶函数函数 当当x(t)为实奇函数时，有为实奇函数时，有X(j ) = X*(j ) ， X(j )是是 的的虚奇虚奇函数函数 3、时移性质、时移性质若若)()(jFtfFT则则)()(00jFettftjFT试求图示延时矩形脉冲信号试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频的频谱函数谱函数X1(j )。解：解： 无延时且宽度为无延时且宽度为 的的矩形脉冲信号矩形脉冲信号x(t) 如图，如图，)2(Sa)j ( AFTXX j1e )j ()

44、j ( )()(1TtxtxTAje )2(Sa因为因为故，由故，由延时特性延时特性可得可得其对应的频谱函数为其对应的频谱函数为)(tf0的频的频 【例例5-105-10】 脉冲宽度为脉冲宽度为，脉冲高度为，脉冲高度为E E的的单矩形脉冲单矩形脉冲谱为谱为 0()2F jE Sa求三矩形脉冲信号求三矩形脉冲信号)()()()(TtfTtftftf000的频谱。的频谱。 解解: 利用傅里叶变换的线性和时移特性有利用傅里叶变换的线性和时移特性有00()()(1)()12 cos()()12 cos()2j Tj TF jF jeeF jTE SaT图图5-16 单脉冲、三脉冲信号的波形及频谱单脉冲

45、、三脉冲信号的波形及频谱E)(tf0t02 2 E)(tft02 2 T-T其频谱如图所示。其频谱如图所示。 4、尺度变换、尺度变换若若)()( jFtfFT （a为非零的实函数）为非零的实函数） 则则)(1)(ajFaatfFT X(j)x(t)x(t)X(j)tt0.50.511 尺度特性说明，信号在时域中压缩（尺度特性说明，信号在时域中压缩（|a|1），频域中扩展；反），频域中扩展；反之，信号在时域中扩展之，信号在时域中扩展(|a|1)，在频域中一定压缩；即信号的脉宽，在频域中一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。一般时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。在与频宽成反比。一般时宽有限的信号

46、，其频宽无限，反之亦然。在通信系统中，常需要增加通信速度，这就要求相应地扩展通信设备通信系统中，常需要增加通信速度，这就要求相应地扩展通信设备的有效带宽。的有效带宽。其波形和频谱如图所示。其波形和频谱如图所示。1t)(tf02)(F0222（a）)21(tf01t2)2(2F0（b）1t)2(tf0442)2(21F044（c）图图5-15 【例例5-9】 已知已知2)(SatfF求求f(2t)和和f(t/2)的频谱函数。的频谱函数。解：根据傅里叶变换的尺度变换特性解：根据傅里叶变换的尺度变换特性 42)2(SatfFSatfF2)2/(后语音信号的变化后语音信号的变化 f (t) f (1.

47、5t) f (0.5t)00.050.4-0.5-0.4-0.3-0.2-一段语音信号一段语音信号(“对了对了”) 。抽样频率。抽样频率 = 22050Hzx(t)x(t/2)x(2t)5、对称性（互易性）、对称性（互易性）若若 ( )()Ff tF j则则 ()2()FF jtf【例例5-75-7】试求函数试求函数ttsin的傅里叶变换。的傅里叶变换。 ( )2FT f tE Sa2,02)(t t ,Etf解：解： 因为因为的傅里叶变换为的傅里叶变换为， () ( )2F jFT f tSa1|,01|,1)(

48、t t tf所以所以的傅里叶变换为的傅里叶变换为。 xxxSasin)( xxsin2 根据傅里叶变换的对称性根据傅里叶变换的对称性若若 ( )()Ff tF j则则 ()2()FF jtf可得：可得：() ( )2F jFT f tSa 1| , 01| , 1)(tttf的傅里叶变换为的傅里叶变换为212sin ( )2( )01tFT f tFTft两边同乘以两边同乘以12，得，得)1(u)1(u101tsintFT对应的变换图如图对应的变换图如图5-14所示：所示： 图图5-14若若)()( jFtfFT则则)()(00 jFetfFTtj 式中，式中， 0为任意常数。为任意常数。 cos)(0ttfF e )(21e )(2100jjtttfFtfF 信号信号f(t)与与余弦信号余弦信号cos 0 t相乘后，其频谱是将相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移原来信号频谱向左右搬移 0，幅度减半。幅度减半。sin)(0ttfF )( j 21)( j 2100 FF)( j 2j)( j 2j00 FF同理同理 e )(j21e )(j2100jjtttfFtfF 例例2 2 试求矩形脉冲信号试求矩形脉冲信号f(t)与余弦