两直线的交点坐标和距离公式

1、解析几何解析几何3.3.1两条直线交点坐标两条直线交点坐标复习提问：复习提问：1.1.设直线设直线l1 1、 l2 2的方程分别为的方程分别为 l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0，在什，在什么条件下有么条件下有l1 1/l2 2？1221122112210,0(0)ABABCACBCBC且A或2.2.设直线设直线l1 1、 l2 2的方程分别为的方程分别为 l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0，在什

2、，在什么条件下有么条件下有l1 1l2 2？A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0练习：课本练习：课本109页页2，3直线上的点直线上的点xy直线的方程就是直线上直线的方程就是直线上每一点坐标每一点坐标满足满足的一个的一个关系式关系式lP(x,y)230 xy1 5(1)点（ ，）在直线上吗？2 7(2)点（ ，）在直线上吗？3 8(3)点（ ， ）在直线上吗？?,0 : 0: 22221111的坐标如何求这两条直线交点相交已知两条直线CyBxAlCyBxAl11122200AxB yCA xB yC利用求交点坐标的方法，能否判断两条利用求交点坐标的方法，能否判断两条直线的

3、位置关系？直线的位置关系？11122200A xB yCA xB yC将两条直线的方程联立将两条直线的方程联立方程组有唯一解方程组有唯一解方程组无解方程组无解两条直线相交两条直线相交两条直线平行两条直线平行方程组有无数解方程组有无数解两条直线重合两条直线重合 例例1：判断下列直线的位置关系。：判断下列直线的位置关系。如果相交，求出交点的坐标如果相交，求出交点的坐标1:0lxy2:33100lxy（1）解：解方程组解：解方程组033100 xyxy5353xy得得直线直线l1与与l2的交点是的交点是5 5( , )3 3M12kk12ll 和 相交1: 3440lxy2:6210lxy （2）解

4、：解：34406210 xyxy 另一方面另一方面无解无解1234kk12bb所以所以l1/l2直线直线l1与与l2的无交点的无交点所以所以l1/l21: 3450lxy2:68100lxy（3）2: 3450lxy直线直线l1与与l2重合重合例2：求直线3x+4y2=0和2x+y+2=0的交点M的坐标，并证明方程3x+4y2+（2x+y+2）=0（为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x+y+2=0）。证明：联立方程3x+4y2=02x+y+2=0解得：x=-2y= 2代入：3x+4y2+（2x+y+2）= 0得 0+0=0M点在直线上A1x+B1y+C1+（ A2x+B2y+C2）

5、=0是过直A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。M（-2，2）即oxy(-2, 2)M直线系方程的定义直线系方程的定义直线系：直线系：具有某种共同性质的所有具有某种共同性质的所有直线的集合直线的集合. .它的方程叫它的方程叫直线系方程。直线系方程。练习1：求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点，且垂直于直线x+3y5=0的直线方程。解法一：解方程组x+2y1=0，2xy7=0得x=3y= 1这两条直线的交点坐标为（3，-1）又直线x+2y5=0的斜率是1/3所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x3）即 3xy10=0解法二：所求直线在直线系2x

6、y7+（x+2y1）=0中经整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =32+21解得 = 1/7因此，所求直线方程为3xy10=0直线系方程的应用直线系方程的应用: :直线系方程的应用直线系方程的应用: :练习练习2. 求证：无论求证：无论m m取何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。0) 1yx(m11y3x解法解法1： 将方程变为：将方程变为：解得：01yx011y3x25y27x即：故直线恒过故直线恒过25,27练习练习2. 求证：无论求证：无论m m取

7、何实数时，直线取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点，并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。014x4010y4解法解法2：令令m=1，m= -3代入方程，得：代入方程，得：25y27x解得：解得：25y27x解得：解得：所以直线恒过定点所以直线恒过定点25,27又因为又因为: 2.5( (m-1)- m-1)- 3.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0若证明一条直线恒过定点或求一条直线必若证明一条直线恒过定点或求一条直线必过定点，通常有两种方法：过定点，通常有两种方法：方法小结：方法小结：

8、 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特法二：从特殊到一般，先由其中的两条特殊直线求出交点，再证明其余直线均过此殊直线求出交点，再证明其余直线均过此交点。交点。法一法一: :分离系数法，即将原方程改变成：分离系数法，即将原方程改变成：f(x, y)+mg(x,yf(x, y)+mg(x,y)=0)=0的形式，此式的成立与的形式，此式的成立与m m的取值无关，故从而解出定点。的取值无关，故从而解出定点。两点间距离公式两点间距离公式xyP1(x1,y1)P2(x2, y2)Q(x2,y1)O221| |PQyy121| |PQxxx2y2x1y1两点间距离公式两点间距离公式xyP1(x1,y1)P2

9、(x2,y2)Q(x2,y1)O22122121|()()PPxxyy221| |PQyy121| |PQxx两点间距离公式两点间距离公式xyP (x,y)O(0,0)22|OPxy|y|x|数形结合数形结合.|,|,),7, 2(),2 , 1( 3的值并求得使轴上求一点在已知点例PAPBPAPxBA解：设所求点为解：设所求点为P(x,0)，于是有，于是有11114x4xx x) )7 7(0(02)2)(x(x| |PBPB| |5 52x2xx x2)2)(0(01)1)(x(x| |PAPA| |2 22 22 22 22 22 211114x4xx x5 52x2xx x 得得| |

10、PBPB| | |PAPA| |由由2 22 2解得解得x=1，所以所求点，所以所求点P(1,0)222 22 22)2)(0(01)1)(1(1| |PAPA| |例例4.4.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。角线的平方和。证明：以证明：以A A为原点，为原点，ABAB为为x x轴轴 建立直角坐标系。建立直角坐标系。xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)则四个顶点坐标分别为则四个顶点坐标分别为A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)22|ABa22

11、|CDa222|()ACabc222|ADbc222|BCbc222|()BDbac2222222|2()ABCDADBCabc22222|2()ACBDabc222222|ABCDADBCACBD因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。的平方和。坐标法坐标法第二步第二步: :进行有进行有关代数运算关代数运算第三步第三步: :把代数把代数运算结果翻译成运算结果翻译成几何关系。几何关系。第一步第一步: :建立坐建立坐标系，用坐标表标系，用坐标表示有关的量示有关的量。第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第一步：建立坐标系，用坐标表示有关

12、的量；第二步：进行有关的代数运算；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果“翻译翻译”所几何关系所几何关系. .作业作业nA：小结：小结nB：P106 练习练习2题题 两条直线的交点两条直线的交点几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示点点A直线直线l点点A在直线在直线l上上直线直线l1与与l2的交点是的交点是A( , )A a b:0lAxByC:0lAaBbCA A的坐标满足方程的坐标满足方程A A的坐标是方程组的解的坐标是方程组的解11122200AxB yCA xB yC已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P

13、 P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，如何求，如何求P P1 1 P P2 2的距离的距离| P| P1 1 P P2 2 | |呢呢? ?两点间的距离两点间的距离Q(x(x2 2,y,y1 1) )22| :),(,yxOPyxPO的距离与任一点原点特别地21221221)()(|yyxxPPyxoP1P2(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) )两点间的距离两点间的距离yxoP1P2yxoP2P1|1221xxPP|1221yyPP例例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。线的平方和。yxo(b,

14、c)(a+b,c)(a,0)(0,0)解：如图，以顶点解：如图，以顶点A为坐标原为坐标原点，点，AB所在直线为所在直线为x轴，建立轴，建立直角坐标系，则有直角坐标系，则有A(0,0)设设B(a,0),D(b,c),由平行四边形由平行四边形的性质可得的性质可得C(a+b,c)2 22 22 22 2a a| |CDCD| | , ,a a| |ABAB| |2c2 22 22 22 22 2b b| |BCBC| | , ,c cb b| |ADAD| |2 22 22 22 22 22 2c ca)a)- -(b(b| |BDBD| | , ,c cb)b)(a(a| |ACAC| |2 22 22 22 22 22 2| |BDBD| | |ACAC| | |BCBC| | |ADAD| | |CDCD| | |AB