轴向拉伸与压缩4(变形与超静定问题)

1、Thursday, July 07, 2022Mechanics of Materials第第4 4讲讲杆件的变形：杆件的变形：2 2、解决超静定问题、解决超静定问题1 1、解决刚度问题、解决刚度问题3 3、振动问题、振动问题 2 2）相对伸长：）相对伸长： 1 1）绝对伸长：）绝对伸长：横截面横截面LbLLL 1LLLLL 1长度改变量长度改变量单位长度的伸长量单位长度的伸长量PPL1b1 1 1、线应变：、线应变：LLL 1 2 2、角应变：、角应变：yxoA变形前变形前变形后变形后 直角直角的改变量，用的改变量，用 表示表示3 3、A A点的剪应变：点的剪应变：（弧弧度度） 2 （弧弧度

2、度） 单位长度的伸长量单位长度的伸长量外力作用下角度的变化，以外力作用下角度的变化，以9090为基准的变化量为基准的变化量1、轴向变形：、轴向变形：相对伸长相对伸长: LLLLL 胡克定律胡克定律: E LLP 若若则则抗拉刚度抗拉刚度绝对伸长绝对伸长:L=L-LEAlFLN （1）若轴力）若轴力FN不变，则不变，则（2）若轴力）若轴力FN=FN(x) ，则，则 lNxEAdxxFL)()(2、横向变形、横向变形 横向应变横向应变 泊松比泊松比横向应变横向应变:bb P 若若则则横向变形横向变形:b=b-b泊松比泊松比 -与材料的机械性能有关、是材料弹性性能与材料的机械性能有关、是材料弹性性能

3、 的一种衡量的一种衡量Thursday, July 07, 2022Mechanics of Materials8例例2.6 螺栓内径螺栓内径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度，拧紧后在计算长度l=80mm内产内产生总伸长生总伸长 l=0.03mm,钢的弹性模量钢的弹性模量E=210Gpa,试计算螺栓内应试计算螺栓内应力和螺栓的预紧力。力和螺栓的预紧力。解：解：应变应变:000375.08003.0ll应力应力:PaE69108 .78000375.010200预紧力预紧力:NAF6310)101 .10(41108 .78236Thursday, July 07, 2022Mechanic

4、s of Materials9例例2.7 简单托架如图，简单托架如图，BC 为圆杆，横截面直径为圆杆，横截面直径 d=20mm, BD 杆为杆为8号槽钢。若号槽钢。若=160MPa, E=200Gpa，试校核托架的，试校核托架的强度，并求强度，并求B点的位移点的位移。解：解：5 .73101020107563MPaAFBDNBDBDFq qBCD1.6m1.2m1）受力分析）受力分析:0sin FFBDqBFBCFBDF0cosBCBDFFqKNFFBD7545KNFFBC4543143)02.0(10452413MPaAFBCNBCBC2）强度校核）强度校核:托架安全托架安全Thursday

5、, July 07, 2022Mechanics of Materials10例例2.7 简单托架如图，简单托架如图，BC 为圆杆，横截面直径为圆杆，横截面直径 d=20mm, BD 杆为杆为8号槽钢。若号槽钢。若=160MPa, E=200Gpa，试校核托架的，试校核托架的强度，并求强度，并求B点的位移点的位移。解：解：mEAlFlBCBCNBCBC31086. 03）求）求B点的位移点的位移:Fq qBCD1.6m1.2mB1B2B3BB1B3B2mEAlFlBDBDNBDBD310732. 0mBBBBBB32312131078. 1由于变形而贮藏在杆件内部的能量由于变形而贮藏在杆件内部

6、的能量1、外力作功、外力作功rdPW ) ( ldP lPldPWl 21) (0lP2、静载：、静载： 杆件不动杆件不动 动能为动能为0略去热能的影响略去热能的影响llPPll Fl d(l )W PP21VUv4、变形比能：、变形比能：lNdxEAxFV022)(3、弹性变形：、弹性变形：外力做功全部转化为变形能外力做功全部转化为变形能 lldPWV0) (lp 21 在这一类问题中，所有构件只受轴向拉伸或压缩，在这一类问题中，所有构件只受轴向拉伸或压缩，解决这一类问题通常采用三关系法解决这一类问题通常采用三关系法三关系法三关系法3、物理关系、物理关系1、静力关系、静力关系2、变形协调关系

7、、变形协调关系例题例题 . 设设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2=L、 L3；各杆面积为；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模各杆弹性模 量为：量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。2、变形协调方程：、变形协调方程：Ni 均设为拉力均设为拉力 0sinsin21NNxFFF 0coscos321PFFFFNNNy作位移放大图作位移放大图L i 均均为伸长为伸长ABDC132 P xyA PFN2FN3FN1解：解：1、独立静力平衡方程独立静力平衡方程:33333AELFLN

8、 3、物理方程：、物理方程： cos321LLL ABDC132 A1EALFLLN 21 cos2cos3331121121AEAEPAEFFNN 33311333cos2AEAEPAEFN L L2 2L L1 1L L3 3A1L L1 1AL L2 2L L3 3 训练训练 在图示结构中，假设在图示结构中，假设AC梁为刚体，杆梁为刚体，杆1、2、3 的横截面的横截面 面积相等，材料相同，试求三杆的轴力。面积相等，材料相同，试求三杆的轴力。aa123PACNi 均设为拉力均设为拉力0 yF0232 aFaFNN解：解：1、独立静力平衡方程独立静力平衡方程:0 AM0321 PFFFNNN

9、2、变形协调方程：、变形协调方程：作位移放大图如图，设作位移放大图如图，设L i 均为伸长均为伸长 L3 L2 L1变形协调方程为：变形协调方程为：2312 LLL 3、物理方程：、物理方程：EALFEALFEALFNNN2312 FN2FN3FN1aa123PAC PFPFPFNNN613165321Thursday, July 07, 2022Mechanics of Materials18例题例题1 刚性结构如图所示，受力刚性结构如图所示，受力P的作用，的作用，1、2两杆的材料、两杆的材料、 截面面积相同，截面面积相同，P=160KN，=160MPa，试求杆所，试求杆所 需的面积。需的面

10、积。1.2 m1.2 m6 m12PABCDThursday, July 07, 2022Mechanics of Materials19ABCD-静力关系静力关系 FN1FN2XAYA0 xF0 yF0)( FMA021 NNAFFX0 PYA062 . 14 . 221 PFFNN2、作位移图，列、作位移图，列变形协调关系变形协调关系解：解：1、确立研究对象、确立研究对象2、列静力学平衡方程、列静力学平衡方程PThursday, July 07, 2022Mechanics of Materials2012PABCD2、作位移图，列、作位移图，列变形协调关系变形协调关系212 ll l1l

11、22 . 14 . 221 ll-变形协调关系变形协调关系3、变形与内力的关系（胡克定律）、变形与内力的关系（胡克定律）-物理关系物理关系EAlFlN 222211112AElFAElFNN Thursday, July 07, 2022Mechanics of Materials21212NNFF -补充方程补充方程KNFN3201 KNFN1602 4、截面设计、截面设计 NFA2210cmA 计算得计算得5、杆、杆2有截面储备有截面储备-静不定问题的特性之一静不定问题的特性之一部分杆件有强度储备部分杆件有强度储备2120cmA 220cmA 1、温度变化的影响、温度变化的影响1）静定结构

12、：）静定结构：对于静定结构，由于各杆件能自由变形，温度变对于静定结构，由于各杆件能自由变形，温度变化时内部不存在应力。化时内部不存在应力。AB 杆件的内部有附加的内力存在，这种由于温度变化而杆件的内部有附加的内力存在，这种由于温度变化而在杆件内部产生的应力在杆件内部产生的应力-温度应力或热应力温度应力或热应力由于受到变形的约束，杆件内部存在由于温度由于受到变形的约束，杆件内部存在由于温度变化而引起的应力。变化而引起的应力。2）超静定结构：）超静定结构：AB2、温度应力的计算、温度应力的计算1）静力方程）静力方程RARBRA= RBABAB2）变形协调方程）变形协调方程解除多余约束、选择静定基解

13、除多余约束、选择静定基ABRB（1）B的约束解除后，的约束解除后，AB自由伸长自由伸长EAlRlB （2）由于温度的变化引起的热伸长）由于温度的变化引起的热伸长ltlt （3）变形协调方程）变形协调方程0 lltAtERB 温度应力温度应力tEARB 工程上消除温度应力的影响工程上消除温度应力的影响-采用伸缩节或伸缩缝采用伸缩节或伸缩缝1、尺寸加工误差的影响、尺寸加工误差的影响ABC12由于静定结构自由伸缩，尺寸的误差并不会在构由于静定结构自由伸缩，尺寸的误差并不会在构件中产生影响件中产生影响1）静定结构：）静定结构：ABC123例如上图，杆例如上图，杆2 短，短，1、3杆长，则装配后，杆长，

14、则装配后，2杆原始伸长，杆原始伸长，1、3杆原始缩短。杆原始缩短。2）超静定结构：）超静定结构：在在1、2、3杆的内部，由于尺寸的误差，装配后在杆件内杆的内部，由于尺寸的误差，装配后在杆件内部产生一定的初应力部产生一定的初应力-称之为称之为装配应力装配应力2、求解装配应力：、求解装配应力：按求解超静定问题的步骤按求解超静定问题的步骤1）列静力学平衡方程）列静力学平衡方程2）选择静定基，列变形协调方程；）选择静定基，列变形协调方程；3）物理关系列补充方程）物理关系列补充方程3、应用、应用(利用装配应力利用装配应力紧固紧固)外外-轮缘部分，用钢材，轮缘部分，用钢材， 内径内径d1内内-轮心，用铸铁

15、，外轮心，用铸铁，外 径径d2通常通常d2d121aaOA 例题例题 如图所示构件，杆如图所示构件，杆1、2用相同的材料制成，截面相同，用相同的材料制成，截面相同， OA为钢杆，杆为钢杆，杆2的长度为的长度为L，杆，杆1有一定的加工误差有一定的加工误差 。 试求装上后的初应力。试求装上后的初应力。解：解：1、静力关系、静力关系XOYOFN1FN20 xF0 yF0)( FMO0 OX0210NNFFY0221aFaFNN3、物理关系、物理关系4、初应力、初应力111AFN 222AFN 22211121)(AElFAElFNN 2、变形协调关系、变形协调关系-作位移图作位移图2121ll 21

16、aaOA l2 l1解静不定问题的步骤：解静不定问题的步骤：（1）根据约束性质，正确分析约束力，确定静不定次数。）根据约束性质，正确分析约束力，确定静不定次数。（2）列出全部独立的平衡方程。）列出全部独立的平衡方程。（3）解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关）解除多余约束，使结构变为静定的，根据变形几何关 系，列出变形谐调方程。系，列出变形谐调方程。（4）将物理关系代入变形谐调方程，将其与平衡方程联立，）将物理关系代入变形谐调方程，将其与平衡方程联立， 求出全部未知力。求出全部未知力。 静不定问题的特点：静不定问题的特点：1、未知量的数目大于独立的静力方程数；、未知量的数目大于独立的静力方程数；2、部分杆件有强度储备；、部分杆件有强度储备；3、各杆的内力分配与杆的刚度有关；、各杆的内力分配与杆的刚度有关；4、产生温度应力与装配应力。、