二次根式的定义实用教案

1、1 1二次根式二次根式(gnsh)(gnsh)的定义的定义基础基础(jch)(jch)课堂课堂精精讲精练讲精练精精 讲讲1.定义：形如_的式子叫做二次根式；其中 “ ” 称为二次根号，a称为被开方数(式)要点(yodin)精析： (1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的，必须含有 二次根号“ ”；“ ”的根指数为2，即 ，“2”一 般省略不写 (2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子， 但前提是a必须大于或等于0. (3)在具体问题中，已知二次根式 ，就意味着给出了a0 这一条件(0)a a 2a第1页/共22页第一页，共23页。基础课堂基础课堂(ktng)(ktng)精

2、讲精练精讲精练精精 讲讲 (4)形如b (a0)的式子也是二次根式；b与 是相乘的关系(gun x)，当b为带分数时，要写成假分数 的形式2.易错警示： (1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果 上判断，如 ， ， 等都是二次根式； (2)像 (a0)这样的式子只能称为含有二次根 式的式子，不能称为二次根式aa2a041a第2页/共22页第二页，共23页。基础课堂基础课堂(ktng)(ktng)精讲精练精讲精练 精精 练练1 1二次根式二次根式(gnsh)(gnsh)的定义的定义1下列(xili)式子一定是二次根式的是()A.B.C.D.2x 22x 22x xC C 判断是否为二次根式

3、必须满足两个条件：一是被开 方数为非负数，二是根指数为2，只有C符合条件2下列式子不一定是二次根式的是() A. B. C. D.a2ab021b A A根据二次根式的定义进行识别根据二次根式的定义进行识别. . 中中a0 0时不是二次根式时不是二次根式a第3页/共22页第三页，共23页。基础课堂基础课堂(ktng)(ktng)精精讲精练讲精练精精 练练3下列(xili)式子： ， ， ， ， ， ， 中， 是二次根式的有() A2个 B3个 C4个 D5个71m51a 10022ab2x4如果代数式 有意义，那么(n me)P(m，n)在坐 标系中的位置为() A第一象限 B第二象限 C第三

4、象限 D第四象限mnmmn 根据二次根式及分式有意义的条件得m0且mn0，解得m0且n1 B m 1 C m 1且m 1 D m 1且m 12x11mm根据题意得：根据题意得： ，解得，解得m1 1且且m1.1.故选故选D.D.B BD D 1mm 010第6页/共22页第六页，共23页。基础课堂基础课堂(ktng)(ktng)精精讲精练讲精练精精 练练7(2015滨州)如果式子 有意义，那么x的取值范围在数 轴上表示出来(ch li)，正确的是()8(2015绵阳)要使代数式 有意义，则x的() A最大值为 B最小值为 C最大值为 D最小值为9若式子 有意义，则实数x的取值范围是 _26x2

5、3x23233232C CA A026(5)xxx3 3且且x5 5由题意由题意(t y)得得 ，解得，解得x3且且x5xx 第7页/共22页第七页，共23页。二次根式二次根式(gnsh)(gnsh)的的“双重双重”非负性非负性基础课堂基础课堂(ktng)(ktng)精精讲精练讲精练精精 讲讲(0,0)aa 式子 (a0）具有双重非负性： 是非 负数(fsh)， 的被开方数是非负数(fsh)，即 0， a0， 注意：几个非负数(fsh)的和为0时，这几个非负 数为0. aaaa第8页/共22页第八页，共23页。基础课堂基础课堂(ktng)(ktng)精精讲精练讲精练精精 练练二次根式二次根式(

6、gnsh)(gnsh)的的“双重双重”非负性非负性(0,0)aa1010若若 (y(y2)22)20 0，则，则(x(xy)2 016y)2 016等于等于(dngy)(dngy)() )A A1 1B B1 1C C3201632016D D32016320161111(2015(2015攀枝花攀枝花) )若若y y 2 2，则，则xyxy_._.1212(2014(2014白银白银) )已知已知x x、y y为实数，且为实数，且y y 4 4， 则则x xy y_1x29x 29x3x3xB91或7由题意得x290，解得x3，y4，xy1或7.第9页/共22页第九页，共23页。考虑不全造成

7、答案不完整考虑不全造成答案不完整基础基础(jch)(jch)课堂课堂精精讲精练讲精练精精 练练13(中考潍坊)若代数式 有意义(yy)，则实数x的 取值范围是() A x 1 B x 1且x 3 C x 1 D x 1且x 3 本题易错在漏掉分母不为0这个条件(tiojin)，由题意知x10且(x 3)20，解得x 1且x 3.B B 21(3)xx第10页/共22页第十页，共23页。课堂课堂(ktng)(ktng)小结小结名师点金名师点金名师点金名师点金1.二次根式的条件： (1)带二次根号“ ”； (2)被开方数是非负数 2.常见具有“非负性”的三类(sn li)数： ，|a|，a2n(n

8、为 正整数)；二次根式的双重非负性为：(1) 0； (2)a0.aa第11页/共22页第十一页，共23页。1 1利用二次根式定义利用二次根式定义(dngy)(dngy)识别二次根式识别二次根式提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向导练考向导练14下列(xili)各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ (1) ；(2) ；(3) (x3)； (4) ；(5) ；(6) (ab0) 132( 8)3x2(1)a25x2()ab因为 ， ， (x3)， ， (ab0)中的根指数都是2，且被开方数大于或等于0，所以都是二次根式因为 的被开方数小于0，所以不是二次根式132( 8)3x2(

9、1)a2()ab解题归纳：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义， 看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数二者缺一不可，否则就不是二次根 式25x第12页/共22页第十二页，共23页。2 2利用利用(lyng)(lyng)二次根式有意义的条件确定字母的取值范围二次根式有意义的条件确定字母的取值范围提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向导练考向导练15当x为何值时，下列(xili)各式有意义？ (1) ；(2) . 12xx 135xx(1)(1)由题意得由题意得 11x2.2.(2)(2)由题意得由题意得 解得解得 33x5.5

10、.-1 0,1,2-0,2,xxxx解解得得,xx30503,5,xx第13页/共22页第十三页，共23页。3 3利用利用(lyng)(lyng)二次根式的非负性求字母的值二次根式的非负性求字母的值提升拓展提升拓展(tu zhn)(tu zhn)考向导练考向导练题型题型1 1 被开方数被开方数(bi ki fn sh)(bi ki fn sh)的非负性的非负性(a0)(a0)的应的应用用1616 已知已知y y ，求，求 的值的值12 213 1 23xx 11xy分析：要求含x，y式子的值，必须先求x，y的值由于已知条件只有一个等式且没有给出任何字母的值，因此解本题的关键是运用被开方数的非负

11、性列出不等式组确定x的取值范围，然后进一步确定x及y的值，最后才能代入求值第14页/共22页第十四页，共23页。基础基础(jch)(jch)课堂课堂精精讲精练讲精练精精 练练由被开方数由被开方数(bi ki fn sh)(bi ki fn sh)的非负性，得的非负性，得 将将x x 代入已知条件，得代入已知条件，得y y . . 2 23 35.5.1311xy 解此类题的突破口是灵活运用二次根式有意义解此类题的突破口是灵活运用二次根式有意义(yy)的的条件：被开方数是非负数它是限制字母取值范围的重条件：被开方数是非负数它是限制字母取值范围的重要条件，也是易被忽略的隐含条件要条件，也是易被忽略

12、的隐含条件1 21 2xx,xx 2101 201212x第15页/共22页第十五页，共23页。基础基础(jch)(jch)课堂课堂精精讲精练讲精练精精 练练题型2.二次根式(gnsh)的非负性的应用17已知 0，求x，y的值12xxy 因为(yn wi) 0， 0，且其和为0，所以 解得所以x，y的值分别为1，3.a2，|a|， 都为非负数，即a20，|a|0，0(a0)可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”建立方程组解决问题 方法总结方法总结1x2xyaa,xx y 1 02 0,xy 13第16页/共22页第十六页，共23页。4 4利用利用(lyng)(lyng)二次根式

13、的隐含条件求值二次根式的隐含条件求值提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向导练考向导练18已知a为实数(shsh)，求代数式 的值2224aaa由题意得：由题意得：a2 200，a2 200，又，又a2 20 0，a0 0，原式原式 0 00.0.22 本题运用了定义法，解题关键之处在于先根据二次根式定义中被开方数为非负数这一条件及a20求出a0，然后将a的值代入代数式求出代数式的值第17页/共22页第十七页，共23页。提升拓展提升拓展(tu zhn)(tu zhn)考向导练考向导练19(模拟日照(rzho)已知x，y为实数，且满足 (y1) 0，那么x2016y2015的值是多少？

14、 1x1y由已知可得 (1y) 0.1y0，(1y) 0，由非负数(fsh)的性质得1x0且1y0，x1，y1， x2016y2015 0.1x1y1y第18页/共22页第十八页，共23页。5 5利用二次根式利用二次根式(gnsh)(gnsh)非负性解与三角形相关的问题非负性解与三角形相关的问题提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向导练考向导练20已知a、b为一等腰三角形的两边长，且满足(mnz)等式 2 3 b4，求此等腰三角形的周长36a2a由题意知 解得a2，b4， 当三边长为2，2，4时不能构成三角形，三边长为4，4，2，此等腰三角形的周长为10.熟练掌握三角形的三边关系是解

15、答本题的关键2, 36,aa 00第19页/共22页第十九页，共23页。提升提升(tshng)(tshng)拓展拓展考向导练考向导练 2121已知已知m m满足满足(mnz) (mnz) 且且 ，求，求m m的值的值2016xy2016xy依题意得：依题意得：xxy y20162016，把含有，把含有(hn yu)m(hn yu)m的方程相加得：的方程相加得：5(x5(xy)y)1 1m m0 0，mm10081.10081. 本题运用了整体代入的解题思想，由已知确定xy的值，再观察含有字母m的两方程的特点，把两个方程相加得出x与y的和的有关式子，整体代入求出m的值, xxy 2016020160y,xymxym 230321 206 6利用二次根式的非负性求方程（组）中字母的值利用二次根式的非负性求方程（组）中字母的值( (整体思想）整体思想）第20页/共22页第二十页，共23页。确定二次根式的被开方数中字母取值范围的一般方法：(1)如果二次根式的被开方数是整式，只要满足(mnz)被开方 数是非负数即可；(2)如果被开方数是一个分式，首先要确保分式有意 义，即分母不等于0；其次要保证分式的值不小于0， 即分子等于0或分子、分母同号 根据(1)(2)可列出关于字母的不等式(组)，根据不 等式(组)的解集最终确定字母的取值.精炼精炼(jnglin)(jnglin)方法方法教你一招