工学量子力学学习教案

1、会计学1工学量子力学工学量子力学(lin z l xu)第一页，共172页。（波）（波）（PlanckPlanck假设）假设）EinsteinEinstein关系关系 Ep Eh 第1页/共171页第二页，共172页。pk hP2k波数，()()i k rti p rEtAeAe 第2页/共171页第三页，共172页。第3页/共171页第四页，共172页。二、电子(dinz)双缝实验 用一电子枪(由一加热的钨丝和一加速电极构成)向开有双缝的屏发射电子，再后面是接受电子的后障，先在其上安装一个可移动的检测器，它可以是盖革计数器，或者更好一点，与扩音器相连的电子倍增器，每当电子到来的时候(sh h

2、ou)，检测器发出咔哒的声响。 如图a所示。第4页/共171页第五页，共172页。在实验中我们会发现，咔哒声出现的节奏是不规则的，但在每处较长时间内的平均次数是近似不变的，它与电子枪发出的电子流强成正比。为了避免咔哒声过分密集(mj)，不好计数，我们可以把电子枪的加热电流减弱，以减少电子的流强。我们甚至可以设想，电子流强如此之弱，当前一个电子从电子枪出发通过双缝屏到达后障之前，后一个电子不出发。每次只有单个电子通过仪器。这时如果我们在后障上各处布满检测器，则会发现，每次只有一个检测器发出咔哒声。 所有的咔哒声都一样强，从来不会发生两个或两个以上的检测器同时发出(fch)哪怕是较弱的咔哒声。这就

3、是说，犹如上述子弹实验，电子是以“粒子”的形式被检测到的。第5页/共171页第六页，共172页。 现在先把缝2遮住，只允许电子从缝1通过。记录后障上各处检测(jin c)到电子的数目。经过长时间的数据积累，可得到如图b所示的电子沿x方向的数密度分布曲线r1(x) 。 最后打开两缝做实验，起初后障上各处咔哒声此起彼落(c q b lu)，貌似无规。经过长时间的数据积累，可得到如图c所示的电子数密度分布曲线r12(x) ，得到的强度分布I12(x) (见该图c)，具有明显(mngxin)的干涉效应特征。直到1970年代才有人发表干涉实验的结果。 遮住缝l，打开缝2，重复上述实验，又可得到如图b所示

4、的数密度分布曲线r2(x) 。这里得到的曲线r1(x)和r2(x) ,没有干涉。r1r22112r rr rr r 12r r第6页/共171页第七页，共172页。 当实验使电子从确定的狭缝通过(tnggu)时,电子表现得象粒子。当实验不确定使电子从哪一条狭缝通过(tnggu)时,电子表现得象波。如果说电子是“粒子”，我们能否说：每个电子不是通过缝1，就是通过缝2，两者必居其一。那么，干涉效应是怎样产生的呢?也许(yx)电子在通过双缝时分成了两半，每缝通过一半。为什么检测器接受的总是整个的电子，从未发现半个? 怎样(znyng)理解电子在上述双缝干涉实验中的这种行为?如果说电子是“波”，但实验

5、测得的是一个一个的电子。第7页/共171页第八页，共172页。上世纪九十年代中后期的 “哪条路检测器” 实验结果是，每个电子都只穿过(chun u)一条缝,从未观察到某个电子同时穿过(chun u)两缝的情况。该实验还表明,如果确定粒子从哪条路通过，那么就无干涉效应,即退相干,如果实验不确定粒子从哪条路通过,那么就出现干涉效应。“which way”实验(shyn)在一条缝后放置一个足够强的照明光源。这样，穿过该缝的电子必定同时散射光子。探测有无(yu w)散射光子原则上就可判定是从哪条缝穿过的。第8页/共171页第九页，共172页。总之，要设计出一种仪器，它既能判断电子通过哪条缝又不干扰干涉

6、图样的出现，是绝对做不到的。这是微观世界里的客观规律，并非我们现在的实验手段不够高明。我们无法用我们的经典观念(gunnin)来解释电子是怎样通过双缝而产生干涉现象的，我们只好说当实验确定(qudng)电子是从哪条缝穿过时，这个对电子位置的测量过程实际上已经干扰了电子原来的状态，使得电子由原来的具有波粒二象性的状态突变到仅具有粒子性的状态，因而没有干涉现象发生。电子是以它自己的独特方式(fngsh)穿过双缝的。有关哪条路检测器如何退相干的实验，近来有很大的进展 。近年来的研究进展表明，哪条路检测器的退相干作用，主要来自它与被探测客体量子态的交缠。第9页/共171页第十页，共172页。三、电子双

7、缝实验干涉图样(tyng)的Born几率诠释 电子通过双缝后的数密度分布呈现干涉图样反映了电子的波粒二象性, 从而我们可得到物质波的Born几率(j l)诠释。后障上某点x邻域内的干涉花样(huyng)强度正比于该点x邻域内的电子数密度大小, 正比于出现在该点x邻域内的电子数目，正比于电子出现在该点x邻域内的几率。后障上某点x邻域内的干涉花样强度正比于电子出现在该点x邻域内的几率电子物质波在点x邻域内的强度 电子物质波在点x邻域内的强度 正比于电子出现在该邻域内的几率第10页/共171页第十一页，共172页。实物粒子物质波在空间(kngjin)任一位置附近的强度 正比于粒子出现在该位置附近的几

8、率。不难理解，对于其他(qt)实物粒子的物质波，可以有与电子同样的理解。即物质波的Born几率(j l)诠释:物质波是几率波这就是说根据物质波的这个几率诠释, 粒子的波动性体现在与粒子出现在空间各点的几率相联系的波的波动性上。这样,粒子的波动性只是反映了微观客体运动的一种统计规律性。在非相对论情况下,物质波的几率诠释正确地把实物粒子的波动性与粒子性统一起来, 经历了无数的实验检验(如，散射粒子的角分布观测结果) 。第11页/共171页第十二页，共172页。1、物质波的描述(mio sh)量波函数物质波不是某种真实(zhnsh)可测物理量的振动在空间中的传播！来描写, 称之为波函数。它是粒子位置

9、坐标和时间的复值函数，是不可测量的。描述物质波的量不应是一个可测的量。可测的量一般应是实数，故描述物质波的量不能取实数！假定一个微观粒子的物质波总可以用一个函数( , )r t象位矢作为时间的函数包含了经典粒子运动的全部信息一样，认为波函数完全描写了微观粒子的运动状态。因此，波函数又叫态函数。第12页/共171页第十三页，共172页。自由(zyu)粒子的波函数:具有(jyu)确定能量E和动量 (平面单色波)时:p3/2()/( , )(2)i p r Etr te 经典平面(pngmin)单色波波动式为) cos(trkA i( )k rtAe 由de Broglie物质波假设, E pk可假

10、定（应取实部）一维情形:()/1/2( , )(2)xi p x Etx tempE22 非相对论情形第13页/共171页第十四页，共172页。2 波函数的几率(j l)诠释物质波的波强应正比(zhngb)于波函数的模的平方),(),(| ),(|*2trtrtr 由物质波的几率诠释(qunsh)就可知,2| ),(|tr 应描写了粒子出现在空间各点的几率分布（或几率密度）, 即2|( , )|r tx y z 点处的体积元xyz中r表示在t时刻在空间中粒子出现的几率。这就是波函数的几率诠释,也就是物质波的几率诠释，是M. Born研究散射问题时提出的。 它是量子力学的基本原理之一。第14页/

11、共171页第十五页，共172页。 按统计解释，粒子出现在任何地点的几率必须(bx)有确定的，唯一的而且是有限的数值。故波函数在其变量变化的全部区域内通常应满足三个条件：平方可积性（有限性）、连续性和单值性。这三个条件称为波函数的标准条件。当然，这是就一般情况而言的，在具体的问题中，还应根据实际的物理情况，有具体的要求。 第15页/共171页第十六页，共172页。n 归一化条件(tiojin)，归一化常数 按照波函数的统计解释，很自然(zrn)地要求粒子（在非相对论情况下，没有粒子产生和湮灭现象发生）必定要在空间中出现的，所以，在整个空间中粒子出现的几率总和应等于1，所以有2( , )1r td

12、r这称之为波函数的归一化条件(tiojin)。注意:体积元表示为下列四种形式均可dr3d rddV在直角坐标系中:ddxdydz在柱坐标系中:drdrd dz在球坐标系中:2sindrdrd d 第16页/共171页第十七页，共172页。与波函数 描述(mio sh)的相对几率完全相同，换言之， 和 所描述(mio sh)的几率波是完全相同的。因此，波函数有一个常数因子的不确定性。在这一点上，几率波与经典波有本质上的差别，一个经典波的波幅增加一倍，则相应的波动的能量为原来的4倍，因而代表了完全不同的波动状态。 所描述(mio sh)的相对几率分布是完全相同的。例如，在空间点应强调指出，对于几率

13、分布来说，重要的是相对几率分布。不难看出( ) r与( )Cr（C为常数）1r和的相对(xingdu)几率，波函数( )Cr描述的粒子的相对几率为22112222|()|()|()|()|CrrCrr( ) r( ) r( )Cr2r第17页/共171页第十八页，共172页。按上述(shngsh)解释，我们得出结论( , )( , )r tCr t所描述(mio sh)的量子态与( , )r t所描述的量子态是相同(xin tn)的，其中21|( , ) |Cr tdr于是，2|( , ) |1r td r我们将满足上式的波函数称为归一化波函数，而该式称为归一化条件。 注意： 2( , )r

14、t与 2( , )r t表示意义区别？第18页/共171页第十九页，共172页。将换成的步骤称为归一化，使换成的常数C( ) r，如满足平方可积条件 称为归一化常数。很显然，对任何一个波函数2|( , )|0r tdrA其中(qzhng)A为常数，则有 2( , )1r td rA第19页/共171页第二十页，共172页。即( , )r tA是归一化的波函数，1A即归一化常数(chngsh)。因此，归一化条件相当于波函数的平方可积条件，这实质上是要求2| dr为有限值，如该条件不能发散，则归一化常数为零，( , )r t就不能被归一化。满足，即2| dr1A因此波函数第20页/共171页第二十

15、一页，共172页。 例：已知基态(j ti)氢原子的电子由波函数0( )exp()rrCa描写，试计算(j sun)归一化常数C。其中为常数(chngsh)，是玻尔半径。 0a第21页/共171页第二十二页，共172页。 解：为使归一化，要求(yoqi)22202223001|exp( 2)4|exp( 2)|rd rCr drdarCr drCaa于是(ysh)得301|Ca上式指出，归一化常数只能确定到其绝对值。因此，即使(jsh)归一化后，波函数仍有一不确定的相因子exp()i为了方面，可取C为正实数，于是归一化波函数可写作3001( )exp()rraa，第22页/共171页第二十三页

16、，共172页。 试对下列(xili)波函数进行归一化 exp,0,0 xikxaxaka 22exp/,0 xxaxa第23页/共171页第二十四页，共172页。1( , )Nrrt3311|( , )|NNrrtd rd r表示(biosh)t时刻 111( ,)r rdr 粒子(lz)2出现在222(,)rrdr 粒子N出现在(,)NNNrrdr粒子1出现在 中 中 中的几率。此时第24页/共171页第二十五页，共172页。归一化条件(tiojin)表为23311|( , )|1NNrrtd rd r以后，为表达简便(jinbin)，引进符号*2(,)|dd 这样归一化条件(tiojin)

17、就简单地写为(,)1 第25页/共171页第二十六页，共172页。 波函数、几率密度的概念对于推动化学(huxu)由纯经验学科向理论学科发展起着极为重要的作用. 现代化学(huxu)中广泛使用的原子轨道、分子轨道, 就是描述原子、分子中电子运动的单电子波函数:第26页/共171页第二十七页，共172页。而“电子云”就是(jish)相应的几率密度: 按照哥本哈根学派的观点, 几率在量子力学中是原则性的、基本的概念. 原因在于微观世界中不确定(qudng)原理起着明显的作用.第27页/共171页第二十八页，共172页。波函数 已经归一化，则 表示绝对几率(j l)密度，否则为相对几率(j l)密度

18、，以后无特殊说明，所求几率(j l)密度和几率(j l)都是绝对几率(j l)密度和绝对几率(j l) 量子力学基本假设之一： 在量子力学中，体系状态用波函数 （也称为态函数）来描述，一般要求波函数是单值的、连续的、平方可积的，波函数一般是复数，波函数模的平方 给出体系的状态的几率(j l)分布（波函数统计诠释）。22注意(zh y)：自由粒子波函数一般用平面波函数表示即： 1/21exp/2xipx 3/21exp/2rip r （一维）（三维）第28页/共171页第二十九页，共172页。, , , ,x y zx y zx y z dxdydz其次(qc)，在整个空间找到粒子的几率之和为1

19、例题1：设粒子波函数为 ，求在 范围内找到粒子的几率（或概率）书P8, ,x y z, x xdx解：首先(shuxin)波函数必须归一化故在 范围内找到粒子的几率，应该将y，z两个变量积分掉，即, x xdx22, , , ,x y zdydz dxx y zdydz dxx y z dxdydz如果波函数 是归一化的，结果怎样？, ,x y z第29页/共171页第三十页，共172页。2/22000, , ,sin, ,rrddrr dr 其次，在整个空间找到粒子(lz)的几率之和为1解：首先(shuxin)波函数必须归一化例题2：设粒子波函数为 ，求（a）粒子在球壳 中被测到的几率；（b

20、）在 方向的立体角元 中找到粒子的几率。书P8, ,r , r rdr, sindd d 故（a）粒子在球壳 中被测到的几率，应该将， 两个变量积分掉，即, r rdr第30页/共171页第三十一页，共172页。2/222002/222002/22000, ,sin, ,sinsin, ,drdr drdrdr drddrr dr （b）同理在 方向上的立体角元 中找到粒子的几率，应该将r积分掉。sindd d , 第31页/共171页第三十二页，共172页。2202202/22000, ,sin, ,sinsin, ,rr drd drr drd dddrr dr 第32页/共171页第三十

21、三页，共172页。五、动量(dngling)波函数和动量(dngling)分布几率 当粒子的波函数为( , )r t时,若测量粒子的位置, 得结果是不确定的,但测得粒子在某个具体位置的几率是确定的。那么,测量粒子的其它物理量例如动量,能量及角动量等,情况将如何?先讨论动量。则一般来说,所若波函数为波包的电子垂直入射到单晶晶面上，衍射谱应该(ynggi)测得动量的几率分布，即2( , )p t第33页/共171页第三十四页，共172页。在前述电子在晶体(jngt)表面衍射的实验中，粒子在晶体(jngt)表面反射后，得到了的动量运动。以一个确定的动量运动的状态用波函数( , )exp()ir tA

22、tp r ( , )( )( , )r tpr t描写。但当入射粒子以包含不同动量的波包入射到晶体上，粒子的状态 可以表示(biosh)为取各种可能的动量值 的平面波的线性叠加：p第34页/共171页第三十五页，共172页。 粒子经过晶体表面反射后所产生的衍射现象，就是这许多平面波p相互干涉的结果。 可以连续地变化，因此上式中对 求和由于应以对 px, py, pz 积分来代替。pp 都可以看成是各种不同动量的平面波的叠加。下面来证明：任何一个波函数( , )r t( , )( , )( )xyzpr tp tr dp dp dp (1)式中3/21( )exp(2)pirp r (2)第35

23、页/共171页第三十六页，共172页。这里我们(w men)已取平面波的归一化常数A等于3/2(2)其理由(lyu)将在后面详细讨论。而(1)式中( , )p t3/21( , )( , )exp(2)xyzip tr tp r dp dp dp3/21( , )( , )exp(2)xyzir tp tp r dp dp dp为这个结论的证明(zhngmng)是很简单的：事实上，将(2)代入(1)式后给出(3)(4)(3)和(4)式说明 ( , )r t和( , )p t互为傅立叶(Fourier)变换式，因而在一般情况下总是成立的。由以上讨论可以看出： 第36页/共171页第三十七页，共1

24、72页。r当 ( , )r t给定后， ( , )p t就可由(3)式完全确定， 反之，当 ( , )p t给定后， ( , )r t就可由(4)式确定。由此可见， ( , )r t和( , )p t是同一状态的两种不同的描述方式，互相等效。 完全是量子态以 为自变量，在坐标空间的称( , )r tr表示(波函数)， ( , )p t是量子态在以 p在动量空间的表示（动量几率分布函数）。这两种表示是完全等价的 . 为自变量，关于表象理论，以及关于上述坐标空间和动量空间的严格意义(yy)，我们在后面将作深入讨论。利用复变函数中的巴塞瓦等式，不难证明第37页/共171页第三十八页，共172页。22

25、| ( , )|( , )|1p tdpr tdr2( , ) |( , )|p tp t 我们称在时刻t，在 点附近单位体积内找到粒子的几率为动量表象的几率密度，并以( , ) t ( , )r t是已经归一化的波函数，则( , )p t这表明：如果也是归一化的波函数。表示：p(6)(5）在一维情况(qngkung)下，(3)式和(4)式写为1/21/21( , )( , )exp(2)1( , )( , )exp(2)ix tp tpx dpip tx tpx dx(7)第38页/共171页第三十九页，共172页。 时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。 微观粒子不可能静止,

26、静止意味着粒子坐标和动量可以同时取确定值,违反(wifn)了测不准关系. /2,/2/2xyzpxpypz 上式表明微观粒子的位置（坐标）和动量不可能同时取确定值，这是波粒二象性的反映，当000第39页/共171页第四十页，共172页。可以参看(cnkn)书P11例题1例题3我们考虑“方脉冲”作为(zuwi)另一个例子0exp/ | |( ) | |0ip xxaxforxa它延伸(ynshn)到在点 x = 0 周围的一个 2a 的区域。在这种情况下，有 00()2 /( )sinpp appp2|( )|x以及2|( )|p的曲线。图表示这两个波包的第40页/共171页第四十一页，共172

27、页。函数2|( )|p在点 p0 出现十分尖锐的峰值，p0 的0(/ )ppna时达到），极小值被一些极201/()pp减小，人们可以( )p主要地集中在主|( )|p的第一对2/pa 之间。2xa 的光延越小，p两边围绕着一些相继减小的极小值大值分开，极大值高度按说波峰值两边的零点之间，亦即广延于越大：（在4/2xp 第41页/共171页第四十二页，共172页。 迄今为止，测不准关系是作为数量级的关系表示出来的。当然，在我们还没有对量度各种不确定度的量x,p，等等采用一种精确的定义之前，这是不可避免的。对这些量采用适当的定义以后(yhu)，我们将得到一种精确的陈述。但是，人们必须坚持这一事实

28、，即测不准关系的根本意义已经包含在数量级的结果之中，这并未低估严格陈述可能有的优点：在任何情况下，都不能认为量子粒子同时有严格精确的位置和严格精确的动量。赋予粒子以精确位置和动量的想法值在作用量子可以忽略的程度内，也就是在经典理论成立的范围内，才是正确的。第42页/共171页第四十三页，共172页。n 时间能量测不准(b zhn)关系/2tE 是处于某个能级的宽度， 是粒子呆在对应能级上的平均时间（或寿命），原子在激发态上是不稳定的，即只存在一定时间，因此根据时间能量测不准关系可知，激发态能级存在一定宽度，这就是原子光谱存在自然宽度的原因，也是激光所发出的光不可能只包含一种波长的原因。Et第4

29、3页/共171页第四十四页，共172页。第44页/共171页第四十五页，共172页。111siisiiisiiiA NNANN12,.sA AA12,.sN NNN第45页/共171页第四十六页，共172页。111limlimsssiiiii inniiiNNAAAPNNiPiA( )Ax dxr( ) xr第46页/共171页第四十七页，共172页。( , )r t2( , )r tdrrr dr r2*( , )( , )( , )r t rr t drrrr tdr假设(jish)波函数 已经归一化，即 则上式可写为( , )r t2( , )1r tdr*( , )( , )rrr t

30、 rr t dr第47页/共171页第四十八页，共172页。r( )F r*( )( )( , ) ( ) ( , )F rF rr t F rr t dr2( , )r t( )F r第48页/共171页第四十九页，共172页。pp 2( , )r tpdr 2( , )r tdrrrdr ppdp 要计算 ，就应该先找出在t时刻在 中找到粒子的几率(j l) 。而 由公式pppdp2(, )p tdp( , )p t第49页/共171页第五十页，共172页。2( , )p tp2*( , )( , )( , )pp tpdpp t pp t dp ( , )r t()321( , )( ,

31、 )(2)iEtp rp tr t edr 第50页/共171页第五十一页，共172页。*32321( , )(2)1(, )(2)ip rip rpdper t drpert dr ()*31( , )( , )(2)ip r rdrr tdrr tpedp ( , )r t第51页/共171页第五十二页，共172页。()*3*1( , )( , )()(2)( , ) ( , )() ()( , )()( , ) ()( , )() ( , )ip r rdrr tdrr tiedpdrdrr tr tirrdrr tidrr trrdrr tir t 利用(lyng)了()31()(2)

32、ip rrrredp第52页/共171页第五十三页，共172页。( , )r ti *( , )r tpi ( , )r t*( , )( , )ppr t pr t dr第53页/共171页第五十四页，共172页。xpix ypiy zpiz 第54页/共171页第五十五页，共172页。*( , )() ( , )xpr tir t drx*( , )( , )xr t pr t dr*( , )( , )yypr t pr t dr*( , )( , )zzpr t pr t dr第55页/共171页第五十六页，共172页。*( , )( , )nnxxpr t pr t drypzp()

33、nxnxnG pC p()xG pxpxp第56页/共171页第五十七页，共172页。*( )( )( , )( , )nnxxnxnxnnG pG pC pCr t pr t dr *( , )( , )nnxnr tC pr t dr*( , ) () ( , )xr t G pr t dr*( , ) () ( , )r t Gr t drix第57页/共171页第五十八页，共172页。*( )( , ) ( ) ( , )G pr t G pr t dr*( , ) () ( , )r t Gr t dri22*2()22pTTdrmm第58页/共171页第五十九页，共172页。*()

34、LLrpridr 第59页/共171页第六十页，共172页。第60页/共171页第六十一页，共172页。22()2()()()()xzyyxzzyxpiHVrmLriLypzpiyzzyLzpxpizxxzLxpypixyyx 第61页/共171页第六十二页，共172页。*oo dr( , )( ,)OO r pO ri p o o( , )O r p poo第62页/共171页第六十三页，共172页。( , )r t( , )p t,pxxirip第63页/共171页第六十四页，共172页。*(, )() (, )xxcp tic p t dpp*( , )() ( , )prcp t ic

35、 p t dp第64页/共171页第六十五页，共172页。( )F r( )()pF rF i*( )( , ) () ( , )pF rcp t F ic p t*( , )( , )Ar t Ar t dr第65页/共171页第六十六页，共172页。*( , )( , )pAp t Ap t dpApA第66页/共171页第六十七页，共172页。Schrdinger方程(fngchng)的引进 n 在经典力学中，体系运动状态随时间的变化(binhu)遵循牛顿方程。牛顿方程是关于变量的二阶全微分方程。方程的系数只含有粒子的质量m。一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以后任何时刻的运动状态。 第

36、67页/共171页第六十八页，共172页。n 在量子力学中，体系(tx)的运动状态由波函数 描述。换言之，我们就体系(tx)在给定时刻t 的性质所能做出的所有预言，全都可以由该时刻的推得。因此，和经典力学类似，理论的核心问题是：已知某一初始时刻 t0 的波函数，设法确定以后各时刻的波函数。为了做到这一点，我们必须知道决定 随t变化规律的方程式。 ( , )r t( , )r t第68页/共171页第六十九页，共172页。n 自由粒子(lz)情形 对于自由粒子(lz)这一特殊情况，方程的解应是平面波：( , )expir tArt 它是所要建立的方程(fngchng)的解。对时间求微商：it 因

37、它的系数中含有能量E，故不是所要求的方程。 （1）（2）第69页/共171页第七十页，共172页。再对（1）式求对坐标(zubio)的二次微商，得 222222222222xyzxyz 将以上(yshng)三式相加，得到222222222xyz （3） 第70页/共171页第七十一页，共172页。利用自由粒子的能量和动量(dngling)关系式（非相对论情形）22m 式中m是粒子(lz)质量，并比较（2）和（3）式，即可得到222itm 上式表明，至少对自由粒子(lz)来说，平面波的解可由方程（5）的一个特解给出 。（4）（5）第71页/共171页第七十二页，共172页。描述自由(zyu)粒子

38、的一般状态的波函数是许多频率为/ ，波矢为/ 的单色平面波的叠加：3/21( , )( )exp()(2)ir trtd 式中22m 。不难证明(zhngmng)3/21( ) exp()(2)iirt dt 2223/21( )exp()(2)irt d 第72页/共171页第七十三页，共172页。所以(suy)2223/21( )()exp()02(2)2iirt dtmm 回忆上述推导过程，可看出，它也满足对应原理的要求(yoqi)。的确，在一定意义上，方程（5）是经典方程（4）过渡到量子力学的形式；在量子语言中，能量和动量是按对应规则 , iit （6）由作用在波函数上的微分(wi f

39、n)算符表示的。 第73页/共171页第七十四页，共172页。通常(tngchng)我们称it和i 分别为能量(nngling)和动量算符。关于(guny)算符的概念，将在后面章节中作系统介绍。第74页/共171页第七十五页，共172页。n 在势场V中的粒子(lz)情形 现利用算符对应关系(gun x)（6）来建立在某一标势场 ( )V r中粒子(lz)波函数所满足的方程。 此时粒子的非相对论能量动量关系为 2( )2V rm 由对应规则（6）式，再作用于波函数( , )r t上，得 22( , )( )( , )( , )2ir tV rr tHr ttm （7）（8）第75页/共171页第

40、七十六页，共172页。 称为系统(xtng)的Hamilton量算符，简称为系统(xtng)的哈密顿量。式（8）就是(jish)势场( )V r作用(zuyng)下的薛定谔方程。22( )2HV rm 第76页/共171页第七十七页，共172页。在时变势场中的运动与外界有能量交换，粒子的能量一般不守恒，相应(xingyng)的问题为非定态问题（在后面的章节里我们会专门讨论这类问题）。 我们也可重复上面的讨论，在前一种(y zhn)情形 ( , )VV r t便是经典的含时系统，对应成为量子含时系统时，由于V中含有(hn yu)时间参数，量子系统的Hamilton量( )HH t， 含时，成为含

41、时量子系统，表明粒子第77页/共171页第七十八页，共172页。 薛定谔方程(fngchng)的讨论 n 定域的几率(j l)守恒 前面我们曾经提出一个(y )问题：一旦将波函数归一化后，能否保证永远如此。这牵涉到能否保持总的几率永远是1，因而波函数统计解释能否成立的问题。 第78页/共171页第七十九页，共172页。 从物理上看，薛定谔方程是非相对论性量子力学的基本方程（目前我们的讨论局限于非相对论量子力学）。在非相对论（低能）情形下，实物粒子（m0）没有产生或湮灭的现象，所以(suy)在随时间变化的过程中，粒子数目将保持不变。对于一个单粒子来说，在全空间中找到它的几率之和应不随时间改变，即

42、 第79页/共171页第八十页，共172页。2|( , )|0r tdrt这个结论不难从薛定谔方程加以(jiy)证明。事实上：*22*()()2()22VVVSdrttidrmidrmidSm 2|( , )|Vr tdrt第80页/共171页第八十一页，共172页。定义(dngy)：*()2iJm 利用上式，我们(w men)得到2|( , )|Sr tdrJ dSt 对于平方可积的波函数，在无穷远处应为零（数学上可证明，这种波函数在 r 时，渐近行为(xngwi)是 ，故令r时，曲面 S所有面元都被移到无穷远处，因而上式右边面积分为零，即2*|( , )|( , )( , )0r tdrr

43、 tr t drtt即波函数的归一化不随时间改变。（9）3 / 2,0r第81页/共171页第八十二页，共172页。n 几率(j l)流密度（粒子流密度）守恒定律 我们知道在时刻t，在点 周围单位体积(tj)内粒子出现的几率即几率密度，它可表为*( , )( , )( , )r tr tr tr 于是，由上述推导可看出(kn ch)，显然有*()Jtttr 0Jtr 即（10） r第82页/共171页第八十三页，共172页。此即几率守恒的微分表达式，其形式与流体力学中的连续性方程一样。为说明这个方程和矢量 的物理意义，我们回到几率守恒的积分表达式（9）。从该式可看出：左边表示单位时间内体积V中

44、找到粒子的总几率（或粒子数）的增量， 右边是矢量 在体积V的边界面S上内法线方向上投影的面积分，代表单位时间内通过封闭曲面S流入V的几率（或粒子数），所以 具有(jyu)几率流密度的意义。 J J 注意(zh y)：如 ()( )0,0Vtttdrrrrr()0SSJ dSJ dS 因而(yn r) J 第83页/共171页第八十四页，共172页。假如我们讨论的是带电粒子，它带有电荷e，在归一化和统计意义上，带电粒子在点 处贡献(gngxin)的等效电荷密度为ee，于是以e乘以几率守恒的微分表达式（10），就得到量子力学的电荷守恒定律（微分形式）： r0eeJtr 式中 是带电粒子运动所造成的

45、有效电流密度。电荷守恒定律表明，在全空间粒子的电荷总量不随时间(shjin)变化。 eJeJ 第84页/共171页第八十五页，共172页。同理可得出(d ch)量子力学中（统计意义上）的质量守恒定律：00mmmmSJtdrJdStrr （微分形式）（积分(jfn)形式） 第85页/共171页第八十六页，共172页。补记：只有大量相同粒子处在相同状态，用同样波函数 描述，才可以把 |2 解释成粒子密度，如每个粒子带电荷q，于是 q|2 代表电荷密度， 代表电流密度，故如有大量的粒子处于完全相同状态，则波函数将具有实在的物理意义而伸展到宏观领域。由于光子是玻色子，可有许多光子处于同一状态。当大量光

46、子处于同一状态时，其波函数就是矢势 , 故可通过宏观尺度上的测量直接认识到光子波函数 的性质。而电子是费米子，不可能有两个电子处于同一状态（Pauli 原理)，故一般认为不会有宏观体现，但低温超导提供了反例：超导是金属中大量的电子库泊(Cooper)对的相干关联产生(chnshng)的现象，此时电子对可近似地看成玻色子。 qJ 第86页/共171页第八十七页，共172页。例题(lt)1:求球面波波函数 1, ,Aexp/ri prEtr 的几率(j l)密度和几率(j l)流密度 解:几率(j l)密度222*, , ,11exp/Aexp/*ArAAArri prEti prEtrrrr 第

47、87页/共171页第八十八页，共172页。几率(j l)流密度 已知在球坐标系中211, ,sin1Aexp/AAexp/exp/rrrreeerrrrei prEtrripi prEtei prEterr 11sinrreeerrr *2ijm 先计算(j sun)第88页/共171页第八十九页，共172页。*2*32*1exp/AAexp/exp/AArrri prEtripi prEtei prEterrAAiperrA 这样(zhyng)再计算(j sun)*32322AAAAA2rrrAAipAAipAipeeerrrrr 第89页/共171页第九十页，共172页。则几率(j l)流

48、密度 *2222A22AvrrrijmiAipemrpeermr 结果说明由中心向外传播(chunb)的球面波,几率密度随r增大而减小,粒子沿径向传播(chunb). 第90页/共171页第九十一页，共172页。例题(lt)2:在t=0时，自由粒子波函数为 ,022sin20 xbbxxbxb(1) 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率幅；(2)求出动量几率密度最大的动量值；(3)求出发现粒子 在区间中的几率；(4) （积分形式即可）。,?x txbbdp第91页/共171页第九十二页，共172页。解:(1)动量(dngling)的几率幅221222xbibxibxip xxbb ee

49、pedxi()(/ )1 21( )4xxi bxp xi bxp xbeedxi22()()221114()()xxbbi b pxi b pxxxbbbeeii b pi b p1 222212()( 2 )sin4()xxpbbibbp第92页/共171页第九十三页，共172页。该态中粒子动量(dngling)可能测得值为 (2)求出动量几率(j l)密度最大的动量值xp 2222 2()210sin()xxxxxdppddpdpbbp222244cossin0()xxxxpppbbbbp2222()cossin0 xxxxppbpbpbb有解为 xpb 第93页/共171页第九十四页，

50、共172页。(3)发现(fxin)粒子 在区间中的几率；xbbdp3 222cos()()2xxbxbpibbpbp21()xxbdpdpb(4)221 21( , )()(2)xxpi pitmxxx tpedp第94页/共171页第九十五页，共172页。3Ed r2*2Vm（能量密度）0st 2*2smtt （能流密度）第95页/共171页第九十六页，共172页。*3.aEHdr证 明 ：2*232Vd rm 2*2*32Vd rm2*32Vd rm 3d r3Ed r2*2Vm（能量密度）第96页/共171页第九十七页，共172页。*2 *3*ds0d r 0r 束缚态：时2*2*32V

51、d rm2*32Vd rm*3*23ddrr 第97页/共171页第九十八页，共172页。2*.2bVVtmtttt （）2*2*2*2smtttt *22*22sVVttmtm *iitttt00st 第98页/共171页第九十九页，共172页。n 初值问题，传播(chunb)子 由于薛定谔方程只含有时间的一次微商，只要在初始时刻（t=0）的状态 给定了，则以后任何时刻t的状态 原则上就完全确定(qudng)了。换言之，薛定谔方程给出波函数（量子态）随时间的因果关系。 在一般情况下，这个初值问题的求解是不容易的，往往要采用近似方法，但对于自由粒子容易严格求解。 ( ,0)r( , )r t第

52、99页/共171页第一百页，共172页。前已证明(zhngmng)，如下形式的解3/21( , )( )exp()(2)ir trt d （式中22m ）满足(mnz)自由粒子的薛定谔方程。( , )r t的初态波函数为 3/21( ,0)( )exp(2)irr d （11） ( ) 正是(zhn sh)( ,0)r的Fourier展开的波幅，它并不依赖于t，上式逆变换为3/21( )( ,0)exp(2)irr dr （12） 第100页/共171页第一百零一页，共172页。将（12）代入上述(shngsh)形式解，得31( , )exp()( ,0)(2)iir tdrdrrtr 式中2

53、2m （自由粒子(lz)）。这样，体系的初始状态( ,0)r完全决定了以后(yhu)任何时刻t的状态( , )r t。 （13）第101页/共171页第一百零二页，共172页。更一般(ybn)地，取初始时刻为 ，则31exp()()( , )(2)( , ; , ) ( , )iidrdrrttr tdr G r t r tr t( , )r t（14） 式中231( , ; , )exp()()(2)2iipG r t r tdrrttm 3/22()exp2()2()mm rriitttt （15） t()tt第102页/共171页第一百零三页，共172页。 称为传播子。借助于称为传播子。

54、借助于体系在时刻体系在时刻 t 的状态的状态 可由时刻可由时刻 t(tt )的状态的状态 给出（见给出（见14式）。对于自由式）。对于自由(zyu)粒子粒子( ）这个传播子由（这个传播子由（15）式明显给出，可以证明）式明显给出，可以证明( , ; , )G r t r t( , ; , )G r t r t( , )r t( , )r t22m lim( , ; , )()ttG r t r trr（16）第103页/共171页第一百零四页，共172页。( , ; , )G r t r t的物理意义(yy)如下：设初始时刻 t 粒子处于空间点 ，按（14）式， 。所以 即 t 时刻在 点找到

55、粒子的几率波幅(bf)。因此，可以一般地说，如在时刻 t 粒子位于点 ，则在 t 时刻在空间点 找到由 传来的粒子几率波幅(bf)就是 ，即粒子从 传播到了 。式（14）则表示：在t时刻于空间点 找到粒子的几率波幅(bf) 是时刻 t(t )粒子在空间中各 点的几率波幅(bf)传播到点 后的相干叠加。0,( , )() rr trr0( , )( , ;, )r tG r t rtr0( , ;, )G r t rtr r( , ; , )G r t r t( , )r t( , )r tr( , )r tr r( , )r t第104页/共171页第一百零五页，共172页。0 x，2,exp

56、 exp42mimxmxix tttt（）1,02ikxkxedx（ ）（）24limiiaxaaeex （ ）书中P26，第5题第105页/共171页第一百零六页，共172页。, x t1,exp ()2x tki kxt dk（）（ ）21exp ()22kki kxt dkm（ ）221mxmxexp()2tt2tkikdmk（ ）（）2212mxmx2exp()exp()exp() exp()442t2 t2tmtmiikikidktm（）212mxmxexp()exp()4t2 t2mikkidkt（）（）2exp exp42mimxmxittt（）E22pEmpk 第106页/共1

57、71页第一百零七页，共172页。 不含时间(shjin)的薛定谔方程，定态 n 定态在一般(ybn)情况下，从初始状态( ,0)r求( , )r t是不容易的（在后面将介绍近似方法求解它）。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形假设势场V不显含时间 t（在经典力学中，在这种势场中运动的粒子(lz)，其机械能守恒），此时薛定谔方程（8）可以用分离变量数法求其特解。 令特解为( , )( ) ( )r tr f t（17） 第107页/共171页第一百零八页，共172页。代入（8）式，分离(fnl)变量后，得221( ) ( )( )2( )idfV rrf t dtmr 其中(qzhng)E是即不依

58、赖于t，也不依赖于的常量(chngling)，这样 rdfifdt （18） 的解为( )exp/f tCi t 其中C为任意常数。因此特解可表为 ( , )( )exp/r tri t （19） 第108页/共171页第一百零九页，共172页。其中(qzhng)常数C已归并到( ) r这个波函数与时间(shjin)的关系是正弦式的，其角频率是/ 按照德布罗意关系，E就是该体系(tx)处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系(tx)处于（19）式所描写状态时，能量具有确定值E，所以这种状态称为定态，这里与时间无关的波函数，是能量为E时的下列方程 之中。( ) r22( )( )( )

59、2V rrrm （20） 的解。该方程称为不含时间的薛定谔方程。 第109页/共171页第一百一十页，共172页。n哈密顿算符、能量(nngling)本征值方程以( ) r乘以（18）两边(lingbin)，exp/ i t 乘以（20）两边(lingbin)，( , )r t满足下列方程：didt （21）22( )2V rm 可以看出波函数由（19）式所定义的（22）这两个方程类型相同，它们都是以一个算符，作用在波函数上得出一个数E乘以。 第110页/共171页第一百一十一页，共172页。这表明(biomng)，算符didt和22( )2V rm 是相当的，这即可以从它们作用于定态（19）

60、式的结果看出，也可以从薛定谔方程（8）看出，它们作用于体系的任意一个波函数上都是相当的。这两个(lin )算符都称为能量算符。如前所述，因为算符是通过经典力学(jn din l xu)中的哈密顿函数H=T+V代换而来的，所以这种算符又称为Hamilton算符，通常以H表示，于是（22）又可写为H （23）的作用效果22( )2V rm 第111页/共171页第一百一十二页，共172页。薛定谔方程的普遍(pbin)形式为diHdt当体系(tx)HamiltonHH ( )V r中运动的特殊(tsh)情况，22( )2HV rm （24）不显含时间t时，（8）可以分离变量。此时，不含时薛定谔方程表