逆向思维在数学论证中的作用与培养

1、摘 要 学习数学的过程是学思维的形成与发展的过程，数学教学需要培养学生的数学思维。逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过程。本文先阐述逆向思维的重要性，再研究逆向思维的作用与培养，论证培养逆向思维是为了我们更好地运用逆向思维去摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式。 Learning math is to learn the process of the thinking process of the formation and development of mathematics teaching need to cul

2、tivate the students' mathematical thinking.Reverse thinking from the opposite of have the habit of thinking to think and analyze problems, a thought process so that the issue is resolved. This paper first expounds the importance of reverse thinking, and then studies the role of reverse thinking

3、and cultivate, argument is to cultivate the reverse thinking we better use reverse thinking to get rid of the mindset, break through the old ideological framework, generate new ideas, find new knowledge of important ways of thinking. 关键词：逆向思维 反证法 反例法 目 录1.什么是逆向思维 3 1.1、思维的分类 3 1.2、详谈逆向思维 3 1.3、逆向思维的

4、具体表现 32.逆向思维的重要性 4 2.1逆向思维是一种重要的思考能力 4 2.2逆向思维是一种重要的探究过程 4 2.3逆向思维是一种重要的思维方法 43.逆向思维在数学论证中的作用 5 3.1逆向思维可以开拓学生的想象空间 5 3.2逆向思维有利于加深学生基础知识的理解 5 3 .3逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力 64.逆向思维在数学论证中的培养 6 4.1从反证法的论证中培养逆向思维 6 4.2通过构造反例来训练学生的逆向思维 8 4.3通过分析法来培养学生的逆向思维 9 4.4利用“逆向变式”训练培养学生的逆向思维 10结论 11参考文献 12致谢 12 数学是思

5、维创新的体操，是一门使人聪明的学问.思维是智力的核心，是人的理性认识的过程。逆向思维是逆着习惯的、常规的思维方向进行的思维活动，属于创造性思维。许多情况下将问题倒过来想一想，在思维过程中“反其道而行之”，能使人得到许多通常思路所得不到的思维成果。 1、什么是逆向思维.1.1、思维的分类根据思维过程的指向性，可将思维分为常规思维（正向思维）和逆向思维，正向思维是指思维活动按照事物发展的方向进行，而逆向思维是指思维活动从一个方向转向相反方向. 1.2、详谈逆向思维 逆向思维又被称为反向思维，它是发散思维的一种重要形式.逆向思维是从已有的习惯思路的反面去思考和分析问题，从而使问题得到解决的一种思维过

6、程.是摆脱思维定势，突破旧有思想框架，产生新思想，发现新知识的重要思维方式. 我们在学习数学和解决数学问题的过程中，也都有一些比较自然的习惯，例如在公式的运用中，我们习惯性地会从左往右正用，而不是从右往左逆用，这样的习惯虽然正确，但正是由于这样的习惯的影响，有时会使我们运作单调，思维固化. 1.3、逆向思维的具体表现中学数学课本中的逆运算、反证法、反例法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性，在数学论证中，通常是从已知到结论的思维方式，然而有些问题总是按照这种思维定式解答则比较困难，而且常常伴随有较大的运算量，有时甚至无法解决，在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用，正难则

7、反，往往可以使问题简化，经常性注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性.例如从“一组平行且相等的四边形是平行四边形”中我们可以反过来想，平行四边形还有什么性质？或者还有什么性质可以证明一个四边形是平行四边形？再例如，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率是正数，那我们会问，如果直线斜率为负数或零时，直线的倾斜角会是什么角？还有，一些定义或概念之间也会体现着逆向思维，例如函数与反函数：指数函数y=ax的反函数是对数函数y=ax. 2、逆向思维的重要性.2.1、逆向思维是一种重要的思考能力.运用逆向思维去思考和处理问题，实际上就是以“出奇”去达到“制胜”。 对于全面人才的创造能力及解决问题能力具有非常

8、重大的意义。在实践中使用这一方法，可能取得惊人的效果。 因为逆向思维的训练可以排除顺向思维中的困难,并且能够培养学生的创造性,挖掘学生思维的潜能,使看似简单的习题,却能给学生带来深刻的思考。 2.2、逆向思维是一种重要的探究过程. 逆向思维从反面观察问题，打破心理学上的心理定势现象，冲破习惯思维的束缚，在与原来认识方向相反的方向上寻找解决办法的新方法，有时会产生意想不到的良好效果或获得新的发明和创造.例1 设3a-b是2的倍数，求证：3a2+2ab-b2能被2整除 分析：设法从3a2+2ab-b2中先找出3a-b的因式，再证另一个因式也是2的倍数. 原式=(3a-b)(a+b)，至此可以看出求

9、证式已有一个能被2整除的因式3a-b，只需再证另一个因式a+b也能被2整除即可.由于a+b=(3a-b)-2(a-b)，而3a-b是2的倍数，2(a-b)也是2的倍数，故a+b能被2整除，因此，本题得证. 2.3、逆向思维是一种重要的思维方法. 逆向思维作为数学中的一种重要的思维方法，它是在习惯性的思维方向上做完全相反的探索，在社会实践和学习的过程中，人们都有这样一个经验：当你对某一问题冥思苦想而不得其解时，不妨从它的反面去想一想，这样常使人茅塞顿开，获得意外的成功.例2：若实数a，b，c满足a-b=10，ab+c2+5=0，求证a+b+c=0 分析：由a-b=10得a+(-b)=10 由ab

10、+c2+25=0得a (-b)=c2+25逆用韦达定理，可构造一个以a，-b为根的一元二次方程 证：a-b=10，ab+c2+25=0 a+(-b)=10，a(-b)=c2+25 以a，-b为根的一元二次方程为x2-10x+ (c2+25) =0 =（-10）2-4(c2+25)0 -4c20故c=0 X2-10x+25=0，(x-5)2=0，x=5 方程有相等的两个实数根 a=-b，a+b=0， a+b+c=0 3、逆向思维在数学论证中的作用.3.1、逆向思维可以开拓学生的想象空间.在数学论证中，要重视逆向思维过程，加强思维能力训练比单纯地传授基本知识更重要.通过数学思维的恰当训练，逐步掌握

11、数学思维方法与规律，是可以改变人的智力和能力，也可以培养学生的创新精神和创新意识.例3: 已知：a>b>0,求证： -<分析：此题由-<可联想到以、为直角边作直角三角形.则斜边是,由三角形两边之差小于第三边可得 -<. 3.2、逆向思维有利于加深学生基础知识的理解. 在算术中，加法和减法、乘法和除法都是相互对立的，但在代数中，引进了负数和倒数的概念，例如：有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a+(-b)，而一个数除以另一个数，等于被除数乘以除数的倒数a÷b=a×1b. 3.3、逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创

12、造能力. 由于数学中的很多定理、公式、法则都具有可逆性,故从相反的角度来观察、探索、常常可以求得问题的解决或发现新的规律.我们对公式、法则、性质的逆向运用不习惯，缺乏应有的潜意识，思维定势在顺向应用上，所以应强调逆向运用.逆向思维可以发现解题技巧，有利于培养学生的创造能力。 运用逆向思维，我们从乘法分配律就可以联想到提公因式法，提公因式法的理论依据是乘法分配律的相反过程即ma+mb=m(a+b). 3.4、逆向思维有利于克服思维的迟滞性 加强逆向思维的训练，可改变我们的思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，从而提高分析问题和解决问题的能力.我们的基础知识越扎实，以前知识对后学知识的负迁移

13、作用越小，一般来说思维的逆向联系也比较容易建立，学习概念时容易较快掌握概念的本质；解题时容易产生解题的各种策略.例4：分解因式x3+6x-7解：把-7分裂成为两个负数之和，以便按正负搭配分为两组，得 x3+6x-7=x3+6x-1-6 =(x3-1)+6(x-1) =(x-1)(x2+x+7) 4、逆向思维在数学论证中的培养.4.1、从反证法的论证中培养逆向思维 有些问题从正面入手比较复杂，不妨从反面入手. 正难则反，直难曲进.有些问题如果按照常规方法证明，往往感觉无从下手，此时如果我们能及时改变思考角度，从问题的反面去考虑，或把问题倒过来想，常常会使问题简捷而快速地获解. 反证法证明是从结论

14、的反面出发，逻辑地推出矛盾，从而肯定原命题成立的证明方法，这也体现了逆向思维的思想.例5 求证：3（1+a2+b4）(1+a+a2)2(a>0) 证：假设3（1+a2+a4）<(1+a+a2)2 则有3(1+a+a2)(1-a+a2)<(1+a+a2)2 由于当a>0时，1-a+a2>0,所以得 3(1-a+a2)<1+a+a2 整理得 1-2a+a2<0 (1-a)2<0 这个不等式显然不能成立，它说明我们的假定是不正确的 3（1+a2+b4）(1+a+a2)2 在用反证法证题时，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法.例6 已知函数f(x)

15、在R上是增函数，a、bR,若f(a)+f(b)f(-a)+ f(-b),求证：a+b0.分析：欲证上述命题，正向推理，题设条件不容易使用，转而逆向思考，利用反证法. 证明：假设a+b<0,则a<-b，b<-a. 根据单调性知：f(a)<f(-b),f(b)< f(-a), f(a)+f(b)< f(-a)+ f(-b),这与已知矛盾. a+b<0不成立，即a+b0 证明可利用的公理、定理较少或者难以与已知条件相沟通的命题，应考虑采用反证法. 一般地，证明结论是否定形式的命题；证明结论是“唯一”或“必然”的命题；证明结论是“至少”或“至多”的命题；例7

16、已知a、b为相交的两条直线，求证：a、b只有一个交点.证明：假定直线a与b不只有一个交点，则至少交于两点，设这两个交点为A与B,那么，直线a通过A、B两点，直线b也通过A、B两点.这就是说，经过A、B两点可以作两条直线a和b.这和公理“经过两点可以作一条直线，而且只可以作一条直线”相矛盾.产生矛盾的原因，是由于假定直线a与b不只有一点.假定既然不成立，则原题结论必成立.数学中矛盾的双方比比皆是，巧妙地运用逆向思维，可克服习惯思维的不足.当然，我们还可以找到更多更好的方法来培养逆向思维，例如反例法。 4.2、通过构造反例来训练学生的逆向思维 在数学这个领域中，肯定一个命题需要严格的逻辑推理证明，

17、需要考虑全部可能和所以情形；然而要推翻一个命题的结论或否定一个命题，往往只需举出一个例子（符合题设的条件而与命题结论相矛盾的例子）予以否定，这种例子通常称为反例，因而举反例也是一种证明手段.举反例是与正向逻辑推理过程恰好是相反的，所以可通过举反例、构造反例来培养学生的逆向思维.重要的反例往往也会成为数学殿堂的基石.19世纪中叶，数学界长期认为连续函数除极个别点外总是处处可微的.1872年，数学家魏尔迈斯特拉斯却构造出一个极为精妙的反例：f(x)=bncos(anx)，其中a为奇整数，0<b<1，且ab>1+3/2，此函数处处连续但处处不可微，从而推翻了流传很久的谬误.由此可见

18、，举反例是一种极为重要的数学思想，也是一种证明方法. 掌握各类反例，才能更好地掌握数学基础知识。对结论进行分析、推理，得到与结论有联系的命题（如结论的充分条件、必要条件、充要条件等）而在题设条件下，这些命题有明显的谬误.例8 对边相等的空间四边形是平行四边形.分析： 成为平行四边形的必要条件是首先为平面图形，而对边相等并不能保证该空间四边形是平面图形.反例由此产生：将一页纸（矩形）沿一条对对角线折起，四条边线对边相等，但该图形不是平面图形，所以不是平行四边形. 从命题的角度来看，题设与结论的地位相似构造反例的思路也基本一致.例9 与同一平面所成角相等的两条直线平行. 分析：空间中仅一个所成角相

19、等无法确定直线的走向，可直接找两条相交直线，适当摆放使符合题意.构造 在与该平面平行的平面上任取两条相交直线，它们与已知平面都0弧度角，但不平行. 构造反例是培养批判性思维能力，发展逆向思维，优化解题过程的重要途径. 例10 一条直线与一个三角形的两边相交，则该直线在三角形所在的平面内.分析：如果直线与三角形的两边正常相交，两个交点足以确定直线在平面内，而如果直线与三角形的两边交于一点，即交于顶点，那么命题就有了漏洞.反例由此产生：过一个三角形的顶点作三角形所在平面的垂线，它与三角形的两边相交，但不在三角形所在的平面内.所谓“兵无常势，水无定形”.以上给出的只是构造中的常见方法.反例法和反证法

20、属于数学逆向思维的不同层面，反例法教学对学生逆向思维的发展意义重大，是培养逆向思维，进一步学习反证法的必经之路. 4.3、通过分析法来培养学生的逆向思维分析法证明就是假定要证明的不等式成立，利用恒等变形和不等式的性质寻求使该不等式成立的充分条件，这样逐步推理，如能推出已知的不等式，就可断定所给不等式成立.例11 求证：1/（+）>-2 证： 如果1/（+）>-2由于等式两边都是正数，平方得3+2-2>5+4-4即 2>2+平方，得20>10+4即10>4平方，得100>96.由于100>96成立，并且上面推理每一步都可逆，所以1/（+）>-

21、2 这里的可逆就说明后一式总是前一式成立的充分条件. 分析法也是一种常见的逆向思维的方法，尤其在高中不等式的证明中，从题目的条件出发，很难入手，引导学生从结论反推，执果索因，解题思路瞬间清晰明了.例12 设m>0,n>0,且mn,m+n=1,求证：1/m+1/n>4.证：要证1/m+1/n>4成立， 只需证(m+n)/m+(m+n)/n>4成立， 即需证m/n+n/m>2成立， 只需证m2+n2>2mn成立， 又需证m2+n2-2mn>0成立， 即需证(m-n)2>0成立. 而由已知条件可知，mn，所以(m-n)2>0显然成立.由此命

22、题得证.分析法的特点是:从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件，这寻找的过程就是逆向思维的过程.分析法证明是从待证的结论出发，一步步地探索下去，最后达到命题的已知条件，是从未知到已知的思考方法，从充分、必要条件的关系去看，实际上是从结论出发，寻找结论的充分条件，一直找到已知条件是结论的一个充分条件才算证毕.所以分析法是一种执果索因的方法，这对我们培养逆向思维有重要的作用. 4.4、利用“逆向变式”训练培养学生的逆向思维 逆向变式的训练方法可以灵活多样，学生可以自编题目进行变式训练，可以是一些相关题目组合，也可以使一个题目分层次的变化，等等. 在学习了概念之后，学生若能把课后练习或习题进行选择分类，排列层次，适当地逆向变式，然后进行训练，会收到事半功倍的效果. 注意公式的逆用，数学中的定理