第9章 IIR滤波器设计

1、第第9章章 IIR滤波器设计滤波器设计理想低通滤波器理想低通滤波器 cc)( jHrT滤波器性能指标滤波器性能指标截止频率截止频率实际滤波器幅度响应指标实际滤波器幅度响应指标通带通带1()1papHj 阻带阻带()asHj 过渡带过渡带通带通带波纹波纹阻带阻带波纹波纹通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率通带峰值波纹通带峰值波纹最小阻带衰减最小阻带衰减dBpp)1 (log2010dBss10log20模拟低通滤波器的归一化幅度指标模拟低通滤波器的归一化幅度指标c11/Ap c s)( jH211过渡比或选择性参数过渡比或选择性参数分辨参数分辨参数spk121AkIIR滤波器设计方法

2、滤波器设计方法1、解析方法：模拟滤波器、解析方法：模拟滤波器数字滤波器数字滤波器2、数值方法：计算机辅助设计、数值方法：计算机辅助设计(a)模拟逼近技术很成熟模拟逼近技术很成熟(b)能产生闭式解能产生闭式解(c)模拟滤波器设计有大量图表可查模拟滤波器设计有大量图表可查(d)很多应用中需要模拟滤波器的数字仿真很多应用中需要模拟滤波器的数字仿真n常用的模拟滤波器常用的模拟滤波器 巴特沃兹（巴特沃兹（Butterworth filter） 切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev filter） 椭圆（椭圆（Elliptic filter） 贝塞尔（贝塞尔（Bessel filter）巴特沃斯滤波器巴

3、特沃斯滤波器n阶巴特沃斯滤波器阶巴特沃斯滤波器1/12ncajHNNnnNaasasasassH122111)(归一化形式（归一化形式（ c=1）ai可以查表得到可以查表得到2、-3dB截止频率：截止频率： c3、滚降的陡峭度：、滚降的陡峭度：N012300.20.40.60.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10巴特沃斯滤波器的特性巴特沃斯滤波器的特性1、 =0处前处前2N-1阶导数为阶导数为0（最大平坦幅度特性）（最大平坦幅度特性）幅度响应与相位响应幅度响应与相位响应在通带在通带3/4内近似线性相位内近似线性相位sHpH巴特沃斯滤波器设计

4、巴特沃斯滤波器设计确定确定 c和和N已知：已知：psps，22()()appassHjHHjH2212211()(1) , (1)1(/)1apNpcHj 2222211(), (2)1 (/) .asNscpsHjA 其中，：通带截止频率； ： 阻带截止频率。22101011010log (1)/log (1/). (3)2 log (/)log (1/ ) N(1)(2)spcAkNk 可由和或确定。1 ( )1 1 5 40.apsHsfkHzdBfkHzdB例 ：确定低通滤波器的最低阶数，使其满足下列指标：在通带内具有最大平坦特性，在时，衰减为；在时衰减不小于22221101101(1

5、) ,1 10log1,1 0.25895.1 10log40, 10,000 (2) N 1/k196.513341/5000/10005log (1/)3 281102247log (1/)ccAA, AAkkN.k 确定和由此可得：同样由下式可求得因此，。确定和947.77(sec.)rad /N=4N=10N=21 scp221112 )( AjH4322314/1)(asasasassHcccca(3) 查表得到归一化系数，经过频率变换后得到传输函数查表得到归一化系数，经过频率变换后得到传输函数切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器1型滤波器（全极点）型滤波器（全极

6、点）)/(11)(222pNaTjH1( )()NcaNllHssp11cos(cos),1()cosh(cosh),1NNTN 切比雪夫多切比雪夫多项式项式幅度响应幅度响应特点：特点：1、通带内具有等波纹、通带内具有等波纹 2、阻带内单调下降、阻带内单调下降012300.20.40.60.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器2 2型滤波器型滤波器222)/()/(11)(sNpsNaTTjH101()( )()NllaNllszHsCsp零极点系统零极点系统幅度响应幅度响应特点：特点：1 1、通带内单调

7、下降、通带内单调下降 2 2、阻带内具有等波纹、阻带内具有等波纹012300.20.40.60.81MagnitudeType 2 Chebyshev FilterN = 3N = 5N = 7012300.20.40.60.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8012300.20.40.60.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10巴特沃斯：巴特沃斯：通通/阻阻带带内内随频率随频率单调变化单调变化 (误差非均匀分布，某些频带指标高出要求误差非均匀分布，某些频带指标高出要求)切比雪夫：

8、误差切比雪夫：误差均匀分布均匀分布在通在通/ /阻阻带内带内实现相同幅度指标，切比雪夫阶数更少实现相同幅度指标，切比雪夫阶数更少椭圆滤波器椭圆滤波器）（pNaRjH/11)(222椭圆函数椭圆函数特点：通带和阻带具有等波纹特性特点：通带和阻带具有等波纹特性( (误差均匀分布误差均匀分布) )同样的性能要求，比前两种滤波器所需用的同样的性能要求，比前两种滤波器所需用的阶数都低阶数都低几种滤波器比较几种滤波器比较幅度响应幅度响应巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度切比雪夫切比雪夫I I型：通带内等波纹，阻带平滑型：通带内等波纹，阻带平滑切比雪夫切比雪夫IIII型：阻

9、带内等波纹，通带平滑型：阻带内等波纹，通带平滑椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性过渡带宽度过渡带宽度 巴特沃斯巴特沃斯 切比雪夫切比雪夫 椭圆椭圆相位相位巴特沃斯、切比雪夫：通带巴特沃斯、切比雪夫：通带3/43/4内近似线性相位内近似线性相位椭圆：通带椭圆：通带1/21/2内近似线性相位内近似线性相位线性相位线性相位IIR模拟滤波器模拟滤波器 1、IIR+全通滤波器全通滤波器2、贝塞尔滤波器（、贝塞尔滤波器（Bessel Lowpass Filter）：）： 求解考虑相位约束求解考虑相位约束NNNNssdsdddsBdsH111000)()(通带近似线性相位通带近

10、似线性相位贝塞尔多项式贝塞尔多项式h(n) 无限无限设计设计h(n)根有限根有限 传输函数入手传输函数入手从何入手设计从何入手设计IIR滤波器？滤波器？IIR滤波器的解析设计滤波器的解析设计n传输函数传输函数 根根有限有限低通、高通等如何对应根低通、高通等如何对应根(零极点零极点)？n利用已有成熟结果利用已有成熟结果 模拟传输函数模拟传输函数( S域域)IIR滤波器设计滤波器设计:S域域Z域域S域域Z域域单位圆单位圆S平面平面Z平面平面映射映射模拟模拟数字数字IIR滤波器设计的双线性变换法滤波器设计的双线性变换法 目标：模拟滤波器目标：模拟滤波器 数字滤波器数字滤波器要求：要求：s域域稳定稳定

11、 z域域稳定稳定 保持保持幅度幅度特性特性s域域 z z域域变换变换常见的常见的s域域z域变换域变换极点变换极点变换ks Tkpes域极点域极点z域极点域极点冲激响应不变法冲激响应不变法1111sTsez sst nTh nTg t优点：频率坐标变换线性优点：频率坐标变换线性 缺点：频谱混叠缺点：频谱混叠S域域-Z域域stze例例:利用梯形数值积分将模拟系统变换为数字系统利用梯形数值积分将模拟系统变换为数字系统tdxty0)()(12 1nxnxTnynynTTnTnnTdxdxdxnTy)1()1(00)()()()(2) 1()()()()()1(00TnxnTxTdxdxnTyTnnT1

12、11( )()2 1TzH zz参数参数T表示数值积分的步长表示数值积分的步长 31/1331( )H ss双线性变换双线性变换112 11zsTz双线性变换：双线性变换：1111zsz11szs单位圆单位圆S平面平面Z平面平面S平面虚轴平面虚轴Z平面单位圆平面单位圆22111(,)11sbjbjbzzbbjb S左半平面左半平面Z平面单位圆内平面单位圆内2222(1)1101(1)sabjababjzzaabjab 双线性变换：双线性变换：1111zsz11szs单位圆单位圆S平面平面Z平面平面-101tan()12jjeje 单调单调：一一一一对应对应双线性变换：模拟频率双线性变换：模拟频

13、率 数字频率数字频率 非线性非线性：频率弯折：频率弯折(低频提升，高频压缩低频提升，高频压缩)特点：特点：kHzrad模拟滤波模拟滤波器器315Hz例：低通滤波器的频率畸变例：低通滤波器的频率畸变截止频率改变截止频率改变数字滤波数字滤波器器双线性双线性变换变换185Hz1k采样采样 )2tan(2T 例：带通滤波器的频率畸变例：带通滤波器的频率畸变 数字数字模拟模拟模拟模拟畸变如何消除？畸变如何消除？频率指标预扭曲频率指标预扭曲+=预扭曲预扭曲双线性变换双线性变换校正后的频率校正后的频率2tan2T 数字频率指标数字频率指标模拟频率指标模拟频率指标预扭曲：预扭曲：低通低通IIR滤波器设计滤波器

14、设计2、设计模拟低通滤波器、设计模拟低通滤波器1、数字低通指标、数字低通指标 模拟低通指标模拟低通指标预扭曲预扭曲3、模拟低通滤波器、模拟低通滤波器 数字低通滤波器数字低通滤波器双线性变换双线性变换例：设计一个低通例：设计一个低通IIR数字滤波器数字滤波器G(z)，性能指标如下，性能指标如下:1)(0jeG25. 0p55. 0sdBeGpj5 . 0)(log2010dBeGsj015)(log201011/Ap s)( jH211l 1、将数字截止频率预弯折为模拟截止频率、将数字截止频率预弯折为模拟截止频率4142136. 0)225. 0tan()2tan(pp1708496. 1)25

15、5. 0tan()2tan(aa1220185. 01015 . 011log2005. 02210622777.3110151log205 . 1210AA8266809. 21psk841979.151121Ak6586997. 2)1(log)1(log10110kkN588148. 011)(1122cNcpl 2、设计模拟低通原型滤波器、设计模拟低通原型滤波器三阶归一化低通Butterworth传输函数:) 1)(1(1)(2ssssHan)345918. 0588148. 0)(588148. 0(203451. 0)()(2ssssHsHcanal3、模拟低通、模拟低通-数字低通

16、（双线性变换）数字低通（双线性变换）)3917468. 06762858. 01)(2593284. 01 ()1 (0662272. 0)()(211311111zzzzsHzGzzsa高通、带通、带阻高通、带通、带阻IIR滤波器设计滤波器设计2、设计模拟低通滤波器、设计模拟低通滤波器1、数字频率指标、数字频率指标 模拟低通频率指标模拟低通频率指标预扭曲、谱变换预扭曲、谱变换3、模拟低通、模拟低通 数字滤波器数字滤波器双线性变换、谱变换双线性变换、谱变换1、数字高通、数字高通/带通带通/带阻带阻模拟低通模拟低通数字指标数字指标同类模拟滤同类模拟滤波器指标波器指标模拟低通滤模拟低通滤波器指标波

17、器指标模拟谱模拟谱变换变换预扭曲预扭曲3、模拟低通模拟低通数字高通数字高通/带通带通/带阻带阻数字高通数字高通/ /带通带通/ /带阻带阻模拟高通模拟高通/ /带通带通/ /带阻带阻模拟低通模拟低通模拟谱模拟谱反变换反变换双线性双线性反变换反变换实现方法实现方法-1( )sF s( )LPHs( )DHs1( )sFs模拟谱变换模拟谱变换 模拟低通模拟低通模拟高通模拟高通/ /带通带通/ /带阻带阻s平面平面平面平面模拟低通模拟低通模拟高通模拟高通11sjjs pp pp pp模拟低通模拟低通模拟带通模拟带通2bbaSaSS p2p112pp00模拟低通模拟低通模拟带阻模拟带阻21SbbaaS

18、S ss1s2s1s2s例：例： 高通滤波器的指标为：通带截止频率高通滤波器的指标为：通带截止频率Fp=700Hz，阻带截止频率，阻带截止频率为为Fs=500Hz，通带波纹，通带波纹 ，最小阻带率减，最小阻带率减 ，抽样，抽样频率为频率为Ft=2kHz解：解：1、归一化截止角频率、归一化截止角频率7 . 02TppFF5 . 02TssFF96. 1)27 . 0tan()2tan(pp0 . 1)25 . 0tan()2tan(ss预扭曲：模拟高通滤波器截止频率预扭曲：模拟高通滤波器截止频率2、高通、高通-低通：模拟低通滤波器归一化通带截止频率为低通：模拟低通滤波器归一化通带截止频率为96.

19、 1spps1p模拟低通滤波器的性能指标为：模拟低通滤波器的性能指标为：dBp11p96. 1sdBs32dBp1dBs323、设计低通切比雪夫滤波器、设计低通切比雪夫滤波器N,Wn=cheb1ord(1,1.96,1,32,s)B,A=cheby1(N,1,Wn,s)4、模拟低通、模拟低通-模拟高通模拟高通BT,AT=lp2hp(B,A,1.96)5、双线性变换、双线性变换num, den=bilinear(BT,AT,0.5)例例7.10 带通滤波器的指标为：通带截止频率带通滤波器的指标为：通带截止频率 ， 阻阻带截止频率为带截止频率为 ， ，通带波纹，通带波纹 ，最小阻带，最小阻带率减率

20、减解：解：1、模拟带通滤波器截止频率、模拟带通滤波器截止频率85. 0)245. 0tan()2tan(11pp51. 0)23 . 0tan()2tan(11ss2、模拟带通、模拟带通-模拟低通模拟低通dBp1dBs4045. 01p65. 02p3 . 01s75. 02s63. 1)275. 0tan()2tan(22pp41. 2)275. 0tan()2tan(22ss2021211222012202sspppppppssps如不满足对称条件：如不满足对称条件：1、增加、增加 ，通带大于要求的通带，通带大于要求的通带2、调整、调整 ，通带宽度不变，左边过渡带小于原值，通带宽度不变，左

21、边过渡带小于原值58. 01s1p3、设计低通巴特沃兹滤波器、设计低通巴特沃兹滤波器N,Wn=buttord(1,2.36,1,40,s)B,A=butter(N,Wn,s)4、模拟低通、模拟低通-模拟高通模拟高通BT,AT=lp2hp(B,A,1.18,0.78)5、双线性变换、双线性变换num, den=bilinear(BT,AT,0.5)选择模拟低通滤波器通带截止频率为选择模拟低通滤波器通带截止频率为1，则其性能指标为：，则其性能指标为：1p36. 278. 058. 033. 039. 1sdBp1dBs401、数字高通、数字高通/带通带通/带阻带阻模拟低通模拟低通数字指标数字指标同

22、类模拟滤同类模拟滤波器指标波器指标模拟低通滤模拟低通滤波器指标波器指标模拟谱模拟谱变换变换预扭曲预扭曲3、模拟低通模拟低通数字高通数字高通/带通带通/带阻带阻实现方法实现方法-2数字高通数字高通/ /带通带通/ /带阻带阻数字低通数字低通模拟低通模拟低通数字谱数字谱变换变换双线性双线性反变换反变换数字低通数字低通与与数字高通数字高通/带通带通/带阻带阻的关系的关系-|H|H|H|2-43-3-24|H|2-43-3-24|H|2-43-3-24|H|数字谱变换数字谱变换： 模拟低通模拟低通模拟高通、带通、带阻模拟高通、带通、带阻( )LGz( )DGz) (zFz )(1zFzz平面平面平面平

23、面 z) (zFz 需满足：需满足：平面内部平面内部(稳定稳定)u z平面内部平面内部 z) (zFz u 为有理函数为有理函数) (zFz u z平面单位圆平面单位圆平面单位圆平面单位圆 z111111) (zifzifzifzF为全通函数为全通函数1/( )F z低通低通低通低通1111zzz零极图零极图低通低通高通高通1111zzz 零极图零极图低通低通带通带通21121211112111zzzzz 低通低通带阻带阻21121211112111zzzzzn解析的方法：解析的方法：S域域Z域的变换域的变换模拟滤波器的选择模拟滤波器的选择映射变换的选择映射变换的选择如何通过数值方法设计？如何通过数值方法设计？IIR滤波器的数值设计滤波器的数值设计nIIR数字滤波器数字滤波器数值设计数值设计1101111011.( )( )( ).MMNNbb zbzY zH zX zaa zaz11000NMiiiia y nib x ni对应差分方程对应差分方程1111011011( )(.)( )(.)NMNMY z aa zazX z bb zbz1100( )( )0NMiiiiiia z Y zb z X z11001100110012.110220.K0NMiiiiNMiiiiNMiiiia yib xia yib xia