全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编13二次函数

1、二次函数一、选择题1. （ 2014，第 10 题 3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A 函数有最小值B 对称轴是直线 x=C 当 x ，y 随 x 的增大而减小D 当1x2 时，y0考点：二次函数的性质根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断 A；分析：根据图形直接判断 B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断 C；根据图象，当1x2 时，抛物线落在 x 轴的下方，则 y0，从而判断 D解：A、由抛物线的开口向下，可知 a0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题解答：意；B、由图象可知，对称轴为 x= ，正确，故

2、本选项不符合题意；C、因为 a0，所以，当 x 时，y 随 x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意D、由图象可知，当1x2 时，y0，错误，故本选项符合题意故选 D点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合解题2. （2014广西贺州，第 10 题 3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）的图象，则一次函数 y=cx+与反比例函数 y=在同一坐标系内的大致图象是（）ABCD考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象分析：先根据二次函数的图象得到 a0，b0，c0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断

3、它们的位置解答：解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线 x=0，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，一次函数 y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数 y=分布在第二、四象限故选 B点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；当 a0，抛物线开口向下对称轴为直线 x=；与 y 轴的交点坐标为（0，c）也考查了一次函数图象和反比例函数的图象3(2014 年资阳，第 10 题 3 分)二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；4a+c2b；3b

4、+2c0；m（am+b）+ba（m1），其中正确结论的个数是（）A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断解答： 解：抛物线和 x 轴有两个交点，b24ac0，4acb20，正确；对称轴是直线 x1，和 x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，抛物线和 x 轴的另一个交点在（3，0）和（2，0）之间，把（2，0）代入抛物线得：y=4a2b+c0，4a+c2b，错误；把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c0，2a+2b+2c0，b=2a，3b，2c0，正确；抛物线的对称轴是直线 x

5、=1，y=ab+c 的值最大，即把（m，0）（m0）代入得：y=am2+bm+cab+c，am2+bm+ba，即 m（am+b）+ba，正确；即正确的有 3 个，故选 B点评： 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解的方法同时注意特殊点的运用市，第 12 题 3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，且关于4(2014 年x 的一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根，有下列结论：b24ac0；abc0；m2其中，正确结论的个数是（）A 0

6、B 1C 2D 3考点： 二次函数图象与系数的关系分析： 由图象可知二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，进而判断；先根据抛物线的开口向下可知 a0，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，根据对称轴在 y 轴右侧得出 b 与 0 的关系，然后根据有理数乘法法则判断；一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为 y=ax2+bx+c和 y=m 没有交点，即可求出 m 的取值范围，判断即可解答： 解：二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，b24ac0，故正确；抛物线的开口向下，a0，抛物线与 y 轴交于正

7、半轴，c0，对称轴 x=0，ab0，a0，b0，abc0，故正确；一元二次方程 ax2+bx+cm=0 没有实数根，y=ax2+bx+c 和 y=m 没有交点，由图，m2，故正确故选 D点评： 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用2014，第 6 题 5 分）对于二次函数 y=（x1）2+2 的图象，下列说法正确的是（5（）6（2014舟山，第 10 题 3 分）当2x1 时，二次函数 y=（xm）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（）AB或C2 或D2 或或考点：二次函数的性质专题

8、：常规题型分析：根据抛物线的性质由 a=1 得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线 x=1，从而可判断抛物线与 x 轴没有公共点解答：解：二次函数 y=（x1）2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与 x 轴没有公共点故选 C点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点式为 y=a（x2+，的顶点坐标是（，），对称轴直线 x=b2a，当 a0 时抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下A开口向下B对称轴是 x=1C顶点坐标是（1，2D

9、与 x 轴有两个交点7.（2014毕节地区，第 11 题 3 分）抛物线 y=2x2，y=2x2，共有的性质是（ ）考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质解题解答：解：（1）y=2x2 开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，顶点为原点y=2x2 开口向下，对称轴为 y 轴，有最高点，顶点为原点；y= x2 开口向上，对称轴为 y 轴，有最低点，顶点为原点故选 B点评：考查二次函数顶点式 y=a（xh）2+k 的性质二次函数 y=ax2+bx+cA开口向下B对称轴是 y 轴C都有最低点Dy 随 x 的增大而减小考点：二次函数的最值专题：分类分析：根据对称轴的位置，分三种情况求解即可解答：解

10、：二次函数的对称轴为直线 x=m，m2 时，x=2 时二次函数有最大值，此时（2m）2+m2+1=4，解得 m=，与 m2，故 m 值不存在；当2m1 时，x=m 时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得 m=，m=（舍去）；当 m1 时，x=1 时，二次函数有最大值，此时，（1m）2+m2+1=4，解得 m=2，综上所述，m 的值为 2 或故选 C点评：本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况8.（2014孝感，第 12 题 3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac

11、0；a+b+c0；ca=2；方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根其中正确结论的个数为（）考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点专题：数形结合分析：由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b24ac0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 x=1，则根据抛物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当 x=1 时，y0，则 a+b+c0；由抛物线的顶点为 D（1，2）得 ab+c=2，由抛物线的对称轴为直线 x=1 得 b=2a，所以 ca=2；根据二次A1 个B2 个C3 个D4 个（a0）的图象具有如下性质：当 a0 时，抛物线 y

12、=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时y 随 x 的增大而减小；x时，y 随 x 的增大而增大；x=时y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时y 随 x 的增大而增大；x时，y 随 x 的增大而减小；x=时y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点9（2014，第 26 题 3 分）已知 a、h、k 为三数，且二次函数 ya(xh)2k 在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点若 a0，0h10，则 h 之值可能为下列何者？()A1B3C5D7函数的最大值问题，当 x=1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x=1 时，

13、ax2+bx+c=2所以说方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根解答：解：抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，所以错误；顶点为 D（1，2），抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（3，0）和（2，0）之间，抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，当 x=1 时，y0，a+b+c0，所以正确；抛物线的顶点为 D（1，2），ab+c=2，抛物线的对称轴为直线 x=1，b=2a，a2a+c=2，即 ca=2，所以正确；当 x=1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x=1 时，ax2+bx+c=2，方程 ax2+bx+c2=0 有两个

14、相等的实数根，所以正确故选 C点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x=；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 b24ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，抛物线与 x 轴没有交点分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线 xh，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点若 a0，0h10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以 h010h，然后解不等式后进行判断解：抛物线的对称

15、轴为直线 xh，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，h010h，解得 h5故选 D点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 yax2bxc(a0)，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置，当 a 与 b 同号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y轴交点抛物线与 y 轴交于(0，c)；抛物线与 x 轴交点个数由决定，b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac

16、0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0时，抛物线与 x 轴没有交点10（2014浙江金华，第 9 题 4 分）如图是二次函数的图象，使成立的 x 的取值范围是【】ABCD或】D【】. 故选 D试题分析：由图象可知，当时，或考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.数形结合的应用11（2014浙江宁波，第 12 题 4 分）已知点 A（a2b，24ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上，则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）考点：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化对称分析：把点 A 坐标代入二次函数式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出 a、b，再

17、求出点 A 的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可解答：解：点 A（a2b，24ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上，（a2b）2+4（a2b）+10=24ab，a24ab+4b2+4a8ab+10=24ab，（a+2）2+4（b1）2=0，a+2=0，b1=0，解得 a=2，b=1，a2b=221=4，24ab=24（2）1=10，点 A 的坐标为（4，10），对称轴为直线 x=2，点 A 关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）故选 D点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化对称，把点的坐标代入抛物线式并整理负数的形式是解题的关键A（3

18、，7）B（1，7）C（4，10）D（0，10）12.（2014菏泽第 8 题 3 分）如图，RtABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，C、D 两点不重合，设 CD 的长度为 x，ABC 与正方形 CDEF部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）ADBC考点：动点问题的函数图象专题：数形结合分析：分类：当 0 x1 时，根据正方形的面积公式得到 y=x2；当 1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，利用 的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形 MNE 的面积得到 y=x22（x1）2，配方得

19、到 y=（x2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断解答：解：当 0 x1 时，y=x2，当 1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，如图， CD=x，则 AD=2x，RtABC 中，AC=BC=2，ADM 为等腰直角三角形，DM=2x，EM=x（2x）=2x2，SENM=（2x2）2=2（x1）2，y=x22（x1）2=x2+4x2=（x2）2+2，13.（2014济宁，第 8 题 3 分）“如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若 m

20、、n（mn）是关于 x 的方程 1（xa）（xb）=0 的两根，且 ab，则 a、b、m、n 的大小关系是（）考点：抛物线与 x 轴的交点分析：依题意画出函数 y=（xa）（xb）图象草图，根据二次函数的增减性求解解答：解：依题意，画出函数 y=（xa）（xb）的图象，函数图象为抛物线，开口向上，与 x 轴两个交点的横坐标分别为 a，b（ab）方程 1（xa）（xb）=0 转化为（xa）（xb）=1，方程的两根是抛物线 y=（xa）（xb）与直线 y=1 的两个交点由 mn，可知对称轴左侧交点横坐标为 m，右侧为 n由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随 x 增大而减少，则有 ma；在对称轴

21、右侧， y 随 x 增大而增大，则有 bn综上所述，可知 mabn故选 AAmabnBamnbCambnDmanby=，故选 A14（2014 年山东泰安，第 17 题 3 分）已知函数 y=（xm）（xn）（其中 mn）的图象如图所示，则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y=的图象可能是（）ABCD根据二次函数图象判断出 m1，n=1，然后求出 m+n0，再根据一次函数与分析：反比例函数图象的性质判断即可解：由图可知，m1，n=1，所以，m+n0，所以，一次函数 y=mx+n 经过第二四象限，且与 y 轴相交于点（0，1），反比例函数 y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有 C 选项

22、图形符合故选 C点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出 m、n 的取值是解题的关键15.（2014 年山东泰安，第 20 题 3 分）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算下列结论：（1）ac0；（2）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小（3）3 是方程 ax2+（b1）x+c=0 的一个根；（4）当1x3 时，ax2+（b1）x+c0其中正确的

23、个数为（）A4 个B 3 个C 2 个D 1 个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即解出：x=1 时，y=5 值最大，所以二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，a解：由图表中数据0；又 x=0 时，y=3，所以 c=30，所以 ac0，故（1）正确；二次函数 y=ax2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x=1.5，当 x1.5 时，y 的值随 x值的增大而减小，故（2）错误；x=3 时，y=3，9a+3b+c=3，c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3 是方程 ax2+（b1）x+c=0 的一个根，故（3）正确；x=1

24、时，ax2+bx+c=1，x=1 时，ax2+（b1）x+c=0，x=3 时，ax2+（b1）x+c=0，且函数有最大值，当1x3 时，ax2=（b1）x+c0，故（4）正确故选 B点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键16.（2014滨州，第 9 题 3 分）下列函数中，图象经过原点的是（ ）考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征分析：将点（0，0）依次代入下列选项的函数式进行一一验证即可Ay=3xBy=12xCy=Dy=x21X1

25、013y1353二.填空题省,第 12 题 5 分）某厂今年一月份新产品的研发为 a 元，以后每月新1. （ 2014产品的研发与上月相比增长率都是 x，则该厂今年三月份新产品的研发y（元）关于 x 的函数关系式为 y= a（1+x）2考点： 根据实际问题列二次函数关系式分析： 由一月份新产品的研发为 a 元，根据题意可以得到 2 月份研发为 a（1+x），而三月份在 2 月份的基础上又增长了 x，那么三月份的研发也可以用 x 表示出来，由此即可确定函数关系式解答： 解：一月份新产品的研发为 a 元，2 月份起，每月新产品的研发与上月相比增长率都是 x，2 月份研发为 a（1+x），三月份的研

26、发为 y=a（1+x）（1+x）=a（1+x）2故填空：a（1+x）2点评： 此题主要考查了根据实际问题二次函数列式，此题是平均增长率的问题，可以用公式 a（1x）2=b 来解题解答：解：函数的图象经过原点，点（0，0）满足函数的关系式；A、当 x=0 时，y=30=0，即 y=0，点（0，0）满足函数的关系式 y=3x；故本选项正确；B、当 x=0 时，y=120=1，即 y=1，点（0，0）不满足函数的关系式 y=12x；故本选项错误；C、y= 的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；D、当 x=0 时，y=021=1，即 y=1，点（0，0）不满足函数的关系式 y=x21；故本选项错误

27、；故选 A点评：本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的式2(2014 年云南，第 16 题 3 分)抛物线 y=x22x+3 的顶点坐标是考点：二次函数的性质专题：计算题分析：已知抛物线的式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标解答： 解：y=x22x+3=x22x+11+3=（x1）2+2，抛物线 y=x22x+3 的顶点坐标是（1，2）点评： 此题考查了二次函数的性质，二次函数 y=a（xh）2+k 的顶点坐标为（h，k），对称轴为 x=h，此题还考查了配方法求顶点式3（2014浙江湖州，第 1

28、6 题 4 分）已知当 x =a，x =b，x =c 时，二次函数 y=x2+mx 对应123的函数值分别为 y1，y2，y3，若正整数 a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且当 abc时，都有 y1y2y3，则实数 m 的取值范围是分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 a 最小为 2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在 2、3 之间偏向 2，即不大于 2.5，然后列出不等式求解即可解：正整数 a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且 abc，a 最小是 2，y1y2y3，2.5，解得 m为：m故点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出 a 最

29、小可以取2 以及对称轴的位置是解题的关键4. （2014株洲，第 16 题，3 分）如果函数 y=（a1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么 a 的取值范围是 a5 考点：抛物线与 x 轴的交点分析：函数图象经过四个象限，需满足 3 个条件：函数是二次函数；二次函数与 x 轴有两个交点；二次函数与 y 轴的正半轴相交解答：解：函数图象经过四个象限，需满足 3 个条件：5. （2014 年江苏南京，第 16 题，2 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x的部分对应值如表：则当 y5 时，x 的取值范围是考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二

30、次函数的对称性判断出 x=4 时，y=5，然后写出 y5 时，x 的取值范围即可解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线 x=2，所以，x=4 时，y=5，所以，y5 时，x 的取值范围为 0 x4故为：0 x4点评：本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到 y=5 的另一个 x 的值是解题的关键6. （2014扬州，第 16 题，3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 0 （第 3 题图）x10123y105212函数是二次函数因此 a10，即 a1二次函数与 x 轴有两个交点因

31、此=94（a1）=4a110，解得a二次函数与 y 轴的正半轴相交因此0，解得 a1 或 a5综合式，：a5故为：a5点评：本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与 x 轴的交点、二次函数与 y 轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件7（2014菏泽，第 12 题 3 分）如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 y1=x2（x0）与 y2=（x0）于 B、C 两点，过点 C 作 y 轴的平行线交 y1 于点 D，直线 DEAC，交 y2于点 E，则= 考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题；压轴题分析：设 A 点坐标为（0，a），利用两个函数式求出点 B、

32、C 的坐标，然后求出AB 的长度，再根据 CDy 轴，利用 y1 的式求出 D 点的坐标，然后利用y2 求出点 E 的坐标，从而得到 DE 的长度，然后求出比值即解解答：解：设设 A 点坐标为（0，a），（a0），考点：抛物线与 x 轴的交点分析：依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入式即可解答：解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q，抛物线的对称轴是过点（1，0），与 x 轴的一个交点是 P（4，0），与 x 轴的另一个交点 Q（2，0），把（2，0）代入式得：0=4a2b+c，4a2b+c=0，故为：0点评：本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示

33、出与 x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键8. （ 2014，第 9 题 4 分）如图，对称轴平行于 y 轴的抛物线与 x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 直线 x=2 考点：二次函数的性质分析：点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横则 x2=a，解得 x=，点 B（，a），=a，则 x=，点 C（，a），CDy 轴，点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为，y1=2=3a，点 D 的坐标为（，3a），DEAC，点 E 的纵坐标为 3a，=3a，x=3，点 E 的坐标为（3，3a），DE=3，=3故为：3点评：本题是二

34、次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与 x 轴的点的纵坐标相同，平行于 y 轴的点的横坐标相同，求出用点 A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键三.解答题1. （ 2014省,第 22 题 12 分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于 x 的二次函数 y =2x14mx+2m +1 和 y =ax222+bx+5，其中 y21 的图象经过点 A（1，1），若 y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”，求函数 y2 的表达式，并求出当 0 x3 时，y2 的最大值考点：二

35、次函数的性质；二次函数的最值专题：新定义分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可（2）由 y1 的图象经过点 A（1，1）可以求出 m 的值，然后根据 y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”就可以求出函数 y2 的表达式，然后将函数 y2 的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题解答： 解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为 y=a（xh）2+k，当 a=2，h=3，k=4 时，二次函数的关系式为 y=2（x3）2+420，该二次函数图象的开口向上当 a=3，h=3，k=4 时，二次函数的关系式

36、为 y=3（x3）2+4坐标可求对称轴解答：解：点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，对称轴是：x=2故为：直线 x=2点评：本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称30，该二次函数图象的开口向上两个函数 y=2（x3）2+4 与 y=3（x3）2+4 顶点相同，开口都向上，两个函数 y=2（x3）2+4 与 y=3（x3）2+4 是“同簇二次函数”符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x3）2+4 与 y=3（x3）2+4（2）y1 的图象经过点 A（1，1），2124m1+2m2+1=1整理得：m22m+1=0解得：

37、m1=m2=12y1=2x 4x+3=2（x1）2+1y +y =2x124x+3+ax +bx+522=（a+2）x2+（b4）x+8y1+y2 与 y1 为“同簇二次函数”，x1）2+1y +y =（a+2）（12=（a+2）x22（a+2）x+（a+2）+1其中 a+20，即 a2解得：2函数 y的表达式为：y =5x10 x+5222y2=5x 10 x+5=5（x1）2函数 y2 的图象的对称轴为 x=150，函数 y2 的图象开口向上当 0 x1 时，函数 y2 的图象开口向上，y2 随 x 的增大而减小当 x=0 时，y2 取最大值，最大值为 5（01）2=5当 1x3 时，函数

38、 y2 的图象开口向上，y2 随 x 的增大而增大当 x=3 时，y2 取最大值，最大值为 5（31）2=20综上所述：当 0 x3 时，y2 的最大值为 20点评： 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类的，考查了阅读理解能力而对新定义的正确理解和分类是解决第二小题的关键2. （ 2014福建，第 22 题 9 分）如图，已知二次函数 y=a（xh）2+的图象经过原点 O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OA，试判断点 A是否为该函数图象的顶

39、点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化旋转分析：由于抛物线过点 O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x=1；作 ABx 轴与 B，先根据旋转的性质得 OA=OA=2，AOA=2，再根据含 30度的直角三角形三边的关系得 OB= OA=1，AB=OB=，则 A点的坐标为（1），根据抛物线的顶点式可判断点 A为抛物线 y=（x1）2+的顶点解答：解：（1）二次函数 y=a（xh）2+的图象经过原点 O（0，0），A（2，0）抛物线的对称轴为直线 x=1；（2）点 A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作 ABx 轴于点 B，线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 60

40、到 OA，OA=OA=2，AOA=2，在 RtAOB 中，OAB=30，OB=OA=1，AB=OB=，A点的坐标为（1，），（x1）2+点 A为抛物线 y=的顶点点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性），对称轴直线 x=质：当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y 随 x 的增大而增大；x=时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y

41、 随 x 的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点也考查了旋转的性质3. （ 2014福建，第 25 题 12 分）如图，在锐角三角形纸片 ABC 中，ACBC，点 D，E，F 分别在边 AB，BC，CA 上（1）已知：DEAC，DFBC判断四边形 DECF 一定是什么形状？裁剪当 AC=24cm，BC=20cm，ACB=45时，请你探索：如何剪四边形 DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点 D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由考点：四边形综合题分析：根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，根据AD

42、FABC 推出对应边的相似比，然后进行转换，即 出 h 与 x 之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积 S 关于 h 的二次函数表达式，求出顶点坐标，就 出面积 s 最大时 h 的值第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1 对折，使 DA1BB1解答：解：（1）DEAC，DFBC，四边形 DECF 是平行四边形作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H，ACB=45，AC=24cmAG=12，设 DF=EC=x，平行四边形的高为 h，则 AH=12h，DFBC，4.（ 2014，第 25 题 9 分）如图，在ABC

43、 中，AB=AC，ADAB 于点 D，BC=10cm，AD=8cm点P 从点 B 出发，段 BC 上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交 AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0）=，BC=20cm，即：=x=20，S=xh=x20=20hh2=6，AH=12，AF=FC，在 AC 中点处剪四边形 DECF，能使它的面积最大（2）第一步，沿ABC 的对角线对折，使 C 与 C1 重合，得到三角形 ABB

44、1，第二步，沿 B1 对折，使 DA1BB1理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论（1）当 t=2 时，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF 的面积存在最大值，当PEF 的面积最大时，求线段 BP 的长；（3）是否存在某一时刻 t，使PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由考点：相似形综合题分析：（1）如答图 1 所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图 2 所

45、示，首先求出PEF 的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解（3）如答图 3 所示，分三种情形，需要分类，分别求解（1）证明：当 t=2 时，DH=AH=2，则 H 为 AD 的中点，如答图 1 所示解答：又EFAD，EF 为 AD 的垂直平分线，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB 于点 D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四边形 AEDF 为菱形（2）解：如答图 2 所示，由（1）知 EFBC，AEFABC，解得：EF=10t，即SPEF=EFDH=t）2t=t2+10t=（t2）2+10（10当 t=2 秒时

46、，SPEF 存在最大值，最大值为 10，此时 BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点 E 为直角顶点，如答图 3所示，此时 PEE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点 F 为直角顶点，如答图 3所示，此时 PEF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，解得 t=，即；若点 P 为直角顶点，如答图 3所示过点 E 作 EMBC 于点 M，过点 F 作 FNBC 于点 N，则 EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得 BM=t，PM=BPBM=3tt=t在 RtEMP 中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2

47、=t2FNAD，即，解得 CN=t，103tt=10t在 RtFNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在 RtPEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，t2）+（t285t+100）即：（10t）2=（t235t=0，化简得：解得：t=或 t=0（舍去）t=综上所述，当 t=秒或 t=秒时，PEF 为直角三角形点评： 本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类的数学5. （ 2014

48、，第 22 题 9 分）如图，矩形 OABC 的顶点 A（2，0）、C（0，2）将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30得矩形 OEFG，线段 GE、FO 相交于点 H，平行于 y 轴的直线 MN 分别交线段 GF、GH、GO 和 x 轴于点 M、P、N、D，连结 MH（1）若抛物线 l：y=ax2+bx+c 经过 G、O、E 三点，则它的式为： y=x ；（2）如果四边形 OHMN 为平行四边形，求点 D 的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线 MN 与抛物线 l 交于点 R，动点 Q 在抛物线 l 上且在 R、E两点之间（不含点 R、E）运动，设PQH 的面积为 s，当时，确定点

49、Q 的横坐标的取值范围考点：二次函数综合题分析：（1）求式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出x2解答：解：（1）如图 1，过 G 作 GICO 于 I，过 E 作 EJCO 于 J，A（2，0）、C（0，2），OE=OA=2，OG=OC=2，GOI=30，JOE=90GOI=9030=60，GI=sin30GO=，IO=cos30GO=3，JO=cos30OE=，JE=sin30OE=1，G（，3），E（，1），设抛物线式为 y=ax2+bx+c，经过 G、O、E 三点，平行四边形对边平行且相等，恰得 MN 为 OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为 x 轴上的点，所以纵坐标为 0

50、已知 S 范围求横坐标的范围，那么表示 S 是关键由 PH 不为平行于 x 轴或 y 轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出 S，但要注意，当 Q 在 O 点右边时，所求三角形为两三角形的差得关系式再代入，求解不等式即可另要注意求解出结果后要考虑 Q 本身在 R、E 之间的限制，解得，y= x2x四边形 OHMN 为平行四边形，MNOH，MN=OH，OH=OF，MN 为OGF 的中位线，xD=xN= xG=，D（，0）设直线 GE 的式为 y=kx+b，G（，3），E（，1），解得，y=x

51、+2Q 在抛物线 y= x2x 上，设 Q 的坐标为（x， x2x），Q 在 R、E 两点之间运动，x当x0 时，如图 2，连接 PQ，HQ，过点 Q 作 QKy 轴，交 GE 于 K，则 K（x，x+2），SPKQ= （yKyQ）（xQxP），SHKQ= （yKyQ）（xHxQ），SPQH=SPKQ+SHKQ= （yKyQ）（xQxP）+ （yKyQ）（xHxQ）22= （yKyQ）（xHxP）= x+2（ x x）0（）=x +当 0 x时，如图 2，连接 PQ，HQ，过点 Q 作 QKy 轴，交 GE 于 K，则 K（x，x+2），同理 SPQH=SPKQSHKQ= （yKyQ）（xQx

52、P） （yKyQ）（xQxH）6. 2014广西贺州，第 26 题 12 分）二次函数图象的顶点在原点 O，经过点 A（1，）；点F（0，1）在 y 轴上直线 y=1 与 y 轴交于点 H（1）求二次函数的式；（2）点 P 是（1）中图象上的点，过点 P 作 x 轴的垂线与直线 y=1 交于点 M，求证：FM平分OFP；（3）当FPM 是等边三角形时，求 P 点的坐标考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）根据题意可设函数的式为 y=ax2，将点 A 代入函数式，求出 a 的值，继=（yKyQ）（xHxP）=x2+2综上所述，SPQH=x +，x2+，解得x，x，x点评：本题考查了一次函数

53、、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点注意其中“利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用而可求得二次函数的式；（2）过点 P 作 PBy 轴于点 B，利用勾股定理求出 PF，表示出 PM，PF=PM，PFM=PMF，结合平行线的性质，出结论；x2），根据 PF=PM=FM，（3）首先FMH=30，设点 P 的坐标为（x，关于x 的方程，求出 x 的值即出解答：（1）解：二次函数图象的顶点在原点 O，设二次函数的式为 y=ax2，将点 A（1，）代入 y=ax2 得：a=，x2；二次函数的式

54、为 y=x2 上，（2）证明：点 P 在抛物线 y=可设点 P 的坐标为（x，x2），x21，PB=x，过点 P 作 PBy 轴于点 B，则 BF=RtBPF 中，x2+1，PF=PM直线 y=1，PM=x2+1，PF=PM，PFM=PMF，又PMx 轴，MFH=PMF，PFM=MFH，FM 平分OFP；（3）解：当FPM 是等边三角形时，PMF=60，FMH=30，在 RtMFH 中，MF=2FH=22=4，PF=PM=FM，x2+1=4，解得：x=2，x2=12=3，满足条件的点 P 的坐标为（2，3）或（2，3）点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数式、角平分线的性质及直

55、角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通7. （2014广西玉林市、防城港市，第 26 题 12 分）给定直线 l：y=kx，抛物线 C：y=ax2+bx+1（1）当 b=1 时，l 与 C 相交于 A，B 两点，其中 A 为 C 的顶点，B 与 A 关于原点对称，求 a的值；（2）若把直线 l 向上平移 k2+1 个长度得到直线 r，则无论非零实数 k 取何值，直线 r与抛物线 C 都只有一个交点求此抛物线的式；若 P 是此抛物线上任一点，过 P 作 PQy 轴且与直线 y=2 交于 Q 点，O 为原点求证：OP=PQ考点：二次函数综合题分析：直线与抛物线的

56、交点 B 与 A 关于原点对称，即横纵坐标对应互为相反数，即相加为零，这很使用于定理由其中有涉及顶点，考虑顶点式易得 a 值直线 l：y=kx 向上平移 k2+1，得直线 r：y=kx+k2+1根据无论非零实数 k 取何值，直线 r 与抛物线 C：y=ax2+bx+1 都只有一个交点，得 ax2+（bk）xk2=0 中=0这虽然是个方程，但无法求解这里可以考虑一个数学技巧，既然 k 取任何值都成立，那么代入最简单的 1，2 肯定是成立的，所以可以代入试验，进而可求得关于 a，b 的方程组，则 a，b 可能的值易得但要注意中，可能有的只能满足 k=1，2 时，并不满足任意实数 k，所以可以再代回

57、=中，若不能使其结果为 0，则应舍去求证 OP=PQ，那么首先应画出大致的示意图发现图中几何条件较少，所以考虑用坐标转化求出 OP，PQ 的值，再进行比较这里也有数学技巧， 动点 P 在抛物线 y= x2+1 上，则可设其坐标为（x， x2+1），进而易求 OP，PQ解答：（1）解：l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当 b=1 时有 A，B 两交点，A，B 两点的横坐标满足 kx=ax2+x+1，即 ax2+（1k）x+1=0B 与 A 关于原点对称，0=xA+xB=，k=1y=ax2+x+1=a（x+）2+1，顶点（，1）在 y=x 上，=1，解得 a= （2）解：无论非零实数 k 取

58、何值，直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点，k=1 时，k=2 时，直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点当 k=1 时，r：y=x+2，代入 C：y=ax2+bx+1 中，有 ax2+（b1）x1=0，=0，（b1）2+4a=0，当 k=2 时，r：y=2x+5，代入 C：y=ax2+bx+1 中，有 ax2+（b2）x4=0，=0，（b2）2+16a=0，联立得关于 a，b 的方程组，解得或r：y=kx+k2+1 代入 C：y=ax2+bx+1，得 ax2+（bk）xk2=0，=当时，=0，故无论 k 取何值，直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点当时，=，显然虽 k值的变化，不恒为 0

59、，所以不合题意舍去C：y= x2+1证明：根据题意，画出图象如图 1，8(2014 年资阳，第 22 题 9 分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/台）与采购数量 x1（台）满足 y1=20 x1（0 x120，x1 为整数）；冰箱的采购单价 y2（元/台）与采购数量 x2（台）满足 y2=10 x2（0 x220，x2 为整数）（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于 1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完在（1）的条件下

60、，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润考点： 二次函数的应用；一元一次不等式组的应用分析： （1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20 x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到 x 的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；由 P 在抛物线 y= x2+1 上，设 P 坐标为（x， x2+1），连接 OP，过 P 作 PQ直线 y=2 于 Q，作 PDx 轴于 D，PD=| x2+1|，OD=|x|，OP=，PQ=2y =2（ x2+1）=，POP=PQ点评：本题考查了二次函数、一次函数及图象，图象平移式变化，定理及勾股定理等知识，另涉及一些数学技巧，学生解