第三章 IIR数字滤波器的设计

1、Digital Signal Processing 模拟滤波器的设计技术十分成熟 设计满足相应指标的模拟滤波器 模拟滤波器转换成数字滤波器 基于函数逼近理论的计算机优化设计法 Digital Signal Processing q巴特沃思模拟低通滤波器 NcBjH22)(11)(Digital Signal Processing 巴特沃思滤波器幅频特性特点 2)(jHB5 . 0)(2jHBdBjHBc3)(lg102直流增益等于1, 前（2N+1）阶导数等于零c当通带和阻带频响具有单调下降特性 Digital Signal Processing 巴特沃思滤波器设计阶次估计 通带和阻带指标：)

2、,(pp),(ss0.10.1ln (101)/(101)2ln/pspsN0.10.5(101)ppcNpBpjHdB, 0)(lg20)(ssBdBjH),()(lg20Digital Signal Processing 巴特沃思滤波器设计传递函数计算 2*()()()()()( )()BBBBBBBsjHjHjHjHjHjHsHsNcBBjssHsH2)(11)()(NpNjcpNppNcBessssH2)21(1,)()(201211( )( ).BNNHsD saa sa sa sDigital Signal Processing 例3-1-1试设计一个巴特沃思型模拟低通滤波器，要求

3、在20rad（弧度）/s（秒）处的幅频衰减不大于2dB，在30rad（弧度）/s（秒）处的幅频衰减不小于10dB )10,30(),(),2 ,20(),(sspp0.10.10.21ln (101)/(101)ln (101)/(101)3.37,42ln 20/302ln/pspsNN取0.10.20.5 40.52021.387(101)(101)ppcN2341( )12.61313.41422.6131H sssss3243641( )( )1 0.12227.4643 102.6712 104.78 10BBssHsHsssssDigital Signal Processing q

4、切比雪夫I型模拟低通滤波器 2221()1(/)jCINcHeVj Digital Signal Processing 切比雪夫I型滤波器幅频特性特点 通带区域内幅频特性等纹波波动波动次数与阶次N成正比过渡带和阻带单调下降 211/ 1Digital Signal Processing 切比雪夫滤波器设计阶次估计 通带和阻带指标：),(pp),(sscp2120log1p0.1101p22ln(1)ln(/(/)1)spspbbN0.1101/sbDigital Signal Processing q其它类型模拟低通滤波器 切比雪夫II型低通滤波器 椭圆形低通滤波器 2121()1(/)jCI

5、INcHeVj2221()1( )jENHeUDigital Signal Processing 和 之间的转换就是要找到一个等效或变换法则 )(sH)(zHq响应匹配法 Digital Signal Processing 冲激响应匹配法 11( )( ),( )NNkkkkkkkkAAH sHs Hsspsp1( )( )( )kp tkkkh tLHsA eu t( )( )( )ksp nTkkt nT skh nh tA eu n1( )( ),1k sk sp Tkkkp TAHzZ h nzeezmax111( )( ),1ksksNNpTkkp nTkkAH zHzzeezDig

6、ital Signal Processing 冲激响应匹配法S平面极点与Z平面极点映射关系 11zeApsAsknTpkkk121 2,()(1)ksp nTkkskAzA TespzsknTpskkkezzzTApsA,)1 ()1 (5 . 0)(31113Digital Signal Processing 例3-2-1用冲激响应匹配法将模拟滤波器 转换成数字滤波器，并绘出两者的幅频特性曲线。（设采样角频率 ） 21( )1H sss10s12-0.5000 0.8660 ,-0.5000 - 0.8660 ,pi pi1120.274( )1 1.2490.533zH zzzDigita

7、l Signal Processing 冲激响应匹配法中的近似因素 ( )( )st nTh nh tsskssjTkjHTeH2, )(1)(1()(),jssH eH jTT 采样过程中的频谱混叠Digital Signal Processing q双线性变换 冲激响应匹配法s平面和z平面的变换关系 Digital Signal Processing 双线性变换s平面和z平面的变换关系 Digital Signal Processing 双线性变换s平面至S1平面的变换 12tan()2ssTT112 11ssjTTsejTe112 11sss Ts TsesTe双线性变换s1平面至Z平面

8、的变换 tsez1双线性变换s平面至Z平面的完整变换关系 11112zzTss11112)()(zzTsssHzHDigital Signal Processing 双线性变换过程中的频率畸变 (,)pp),(psppT112(tan)2tan,22psppspsTTT 22tan()tan(),22pspppssTTT112(tan)2tantan,22psppsppsTTT 预畸变(,)ppDigital Signal Processing 例3-2-4已知模拟滤波器 ， 带宽为2000弧度/秒，试对通带频率不预畸变和预畸变两种情况下，用双线性变换法将模拟滤波器转换成数字滤波器。并绘出其幅

9、频特性曲线。2000( )2000H ss3dBDigital Signal Processing q其它变换 匹配Z变换 离散算法映射 1()1sTsez 11)()()(kkNiipszsKsH( )H ss1( ) ( )(1)sy nx nx nTsTzzXzYzH11)()()(11/sszTDigital Signal Processing q IIR数字滤波器的设计过程 A：数字或模拟域频响指标B：原型模拟频响指标C：原型模拟低通滤波器频率变换D：实际模拟低通滤波器E：实际数字滤波器F：原型数字低通滤波器G：实际数字滤波器原型模拟低通滤波器设计频率变换频率变换模拟滤波器的离散化模

10、拟滤波器的离散化ABCDE ABCFG Digital Signal Processing q模拟频率变换 pppssppssp21201221,),(ppppppBB202Bsss20221201221,),(ppppppB220B202sBss变换关系频率边界频率映射平面映射lp2lplp2hplp2bplp2bs通带映射至通带：阻带映射至阻带原则 Digital Signal Processing 例3-3-1试设计一个巴特沃思型带通滤波器。带通滤波器的边界频率 为 rad/s，要求通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于20 dB。 1122,16,18,32,38psps2116ppB2

11、021608pp 2210576ss 2201/33.78ss211.014sssB0.32ln (101)/(101)165.42ln(1/1.014)NDigital Signal Processing q数字频率变换 原型低通数字滤波器转换成实际数字滤波器 pzz1)(5 . 0sin)(5 . 0sinpdpdp()1zz)(5 . 0cos)(5 . 0cospdpd),(21pp2122211zzzz122,11kkkk212121tan0.5tan0.5()cos0.5()cos0.5()dppppppk),(21pp212221)1zzzz1221,11kkk, k同上变换关系

12、频率边界平面映射映射参数lp2lplp2hplp2bplp2bsDigital Signal Processing q二阶IIR型数字陷波器202202)(sssH1201201 2cos()( )1 2 cos()(21)zzH zbbzbz1211tan()2ppb,0p指标Digital Signal Processing 例3-3-3设信号采样频率为500HZ，试设计一个二阶陷波器，滤除信号中可能存在的50HZ工频干扰。05020.2500 1020.04 ,1/2500p 1/ 1(0.02 )0.94081btg12120.94081(1 1.618)( )1 1.522260.8

13、8162zzH zzzDigital Signal Processing q二阶IIR数字谐振器的设计 202)(sssH21201( )(1)1 2 cos()(21)zH zbbzbz121tan()21ppb,0p指标Digital Signal Processing 例3-3-4 双音多频（DTMF）按键电话机中，每个按键对应两个频率，如图3-3-7所示。每按一个键，产生一个特定频率的高频信号和一个特定频率的低频信号。接收端首先通过一对高通/低通滤波器，将DTMF码信号分成高频组和低频组，然后通过一组带通滤波器，确定双音信号中的高音频率和低音频率，从而确定发送端哪个键被按下。1209H

14、z1336Hz1477Hz697Hz770Hz852Hz941Hz123456789*0#Digital Signal Processing 确定数字滤波器的数学模型 确定合适的误差准则 据模型、误差准则和理想滤波器的要求，求解模型参数 Digital Signal Processing q IIR数字滤波器的频域优化设计 二阶级联数字模型误差准则 模型参数求解 1212121121( )1Lkkkkkb zb zH zAa za z21( ,()()()iiipMjjjdiAW eH eHe 111211121212,.,)LLLLbbaabbaa ( ,0AA ( ,0,1,2,.,4iAiL4L+1个非线性方程组常采用迭代方法求解 Digi