拉普拉斯反变换的部分分式展开

1、小组成员：小组成员：杨朦朦杨朦朦、王曼、薛久明、刘影王曼、薛久明、刘影一、部分分式展开法一、部分分式展开法象象函数通常可表示为两个实系数的函数通常可表示为两个实系数的s的多项的多项式之比，即式之比，即s的一个有理分式的一个有理分式)(sF式中式中m和和n为正整数，且为正整数，且nm。)()(sDsNnnnmmmbsbsbasasa.110110分解定理分解定理把把F(s)分解成若干简单项之和，分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为这种方法称为部分分式展开法，或称为分解分解定理定理。用部分分式展开有理分式用

2、部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有时，需要把有理分式化为真分式。理分式化为真分式。若若n=m，则，则)()()(0sDsNAsF若若nm，则为真分式。，则为真分式。真分式用真分式用部分分式部分分式展开，展开，需要对分母多项式作因式分解，需要对分母多项式作因式分解，求出求出D(s)=0的根。的根。 D(s)=0的根可以是的根可以是单根单根共轭复根共轭复根重根重根三种情况。三种情况。nnnmmmbsbsbasasasDsNsF.)()()(110110二、二、D(s)=0具有单根的情况具有单根的情况如果如果D(s)=0有有n个单根，设个单根，设n个单根分别是个单根分别是p1、p2、pn。于是

3、于是F(s)可以展开为可以展开为nnpsKpsKpsKsF.)(2211将上式两边都乘以将上式两边都乘以(s-p1)，得，得)()(1sFps令令s=p1，得，得K1=(s-p1)F(s)s=p1).)(221nnpsKpsKps1K确定待定系数的公式为确定待定系数的公式为Ki=(s-pi)F(s)s=pi同理可求得同理可求得K2、K3、Kn例：求例：求F(s)的原函数的原函数sssssF10712)(23解：解：sssssF10712)(23D(s)=0的根为的根为p1=0p2=-2p3=-51K=0.1)5)(2(12ssss0)5)(2(12ssss2K=0.52)5(12ssss3K=

4、-0.65)2(12ssssK1=0.1K3=-0.6K2=0.5综综上可知：上可知：- 0.6e-5tf(t)= 0.1 + 0.5e-2t56 . 025 . 01 . 0)(ssssF三、三、D(s)=0的具有共轭复根的情况的具有共轭复根的情况p1=a+jp2=a-jK1=(s- a-j)F(s)s= a+jK2=(s- a+j)F(s)s= a-jnnpsKpsKpsKsF.)(2211例：求例：求F(s)的原函数的原函数523)(2ssssF解：解：D(s)=0的根为的根为p1=-1+j2p2=-1-j21K=0.5-j0.521213jsjss4525 . 0je先变形先变形s2+

5、2s+5=0 s2+2s+1+4=0 (s+1)2+4=0523)(2ssssFp1=-1+j2p2=-1-j22K=0.5-j0.521213jsjss4525 . 0jexjxejxsincos欧拉公式欧拉公式四、四、D(s)=0具有重根的情况具有重根的情况D(s)应含应含(s-p1)n的因式的因式现设现设D(s)中含有中含有(s-p1)3的因式，的因式，p1为为D(s)=0的三重根，的三重根，其余为单根，其余为单根，F(s)可分解为可分解为niiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1上式两边都乘以上式两边

6、都乘以(s-p1)3 ，则，则K11被单独分离出来被单独分离出来)()(31sFpsniiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(1、K11的求法的求法11K121)(KpsniiipsKps231)()(1321)(Kps上式两边对上式两边对s求导求导 ，则，则K12被分离出来被分离出来)()(31sFpsdsd1)()(3112pssFpsdsdKniiipsKpsKKpsKpssFps23111121132131)()()()()()(2、K12的求法的求法131)(2Kps12KniiipsKpsdsd231)()(1)()(21312213pssFpsd

7、sdK3、K13的求法的求法用同样的方法可得用同样的方法可得niiipsKpsKpsKpsKsF231112112113)()()()(f(t)=tpeK113tpteK112tpetK121121nitpiieK24、 D(s)=0具有具有q阶重根，其余为单根的分解式阶重根，其余为单根的分解式niiiqqqpsKpsKpsKpsKsF211121)1(111)()(.)()(式中式中K11 =12K13K1)()()!1(11111psqqqqsFpsdsdqK( s-p1 )qF(s)|s = p11)()(1psqsFpsdsd1)()(21122psqsFpsdsd例：求例：求F(s)的原函数的原函数32) 1(1)(sssF解：解：D(s)=0的根为的根为p1=-1为三重根为三重根p2=0为二重根为二重根2212231121213) 1() 1(1)(sKsKsKsKsKsF首先以首先以(s+1)3乘以乘以F(s)得得231)() 1(ssFs121ssK11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1=1122213121ssdsdK14621ss=3121ssds