岩土塑性力学(2015-06-03).

1、微生物岩土工程的发展报告微生物岩土工程的发展报告岩土塑性力学岩土塑性力学一、一点的应力与应变对于均质、形状规则的梁、杆等结构，其受力和变形问题可直接用力的平衡方法及力与变形的关系来解决。可以通过静力学，材料力学，结构力学来解决。 如何描述地基中一点的应力和应变如何描述地基中一点的应力和应变 对于非均质、形状不规则的物体，例如地基的受力稳定和变形问题，无法可直接用力的平衡方法及力与变形的关系来解决。为此需要研究各点的应力和变形状态。但点没有面积，无法直接研究。为了研究该点的受力和变形问题，围绕该点做一个微元体（单元体，六面体）。以下的研究都围绕这个微元体展开以下的研究都围绕这个微元体展开。dxd

2、zdyAA(x,y,z)当dx、dy、dz0时，即为该点应力我们习惯用六个面上的应力（应力（单位面积上的作用力）的六个应力分量（ x、 y、 z、 xy、 yz、 zx）（共（共9个，因为剪力互等略去三个）个，因为剪力互等略去三个）或三个主应力（ 1、 2、 3）及三个主方向（cos 、cos、cos）来表示一点的应力状态；用六个面上的应变分量（x、y、z、xy、yz、zx）或三个主应变（1、2、3）及三个主方向（cos、cos、cos）来表示一点的应变状态。（土力学中以压力为正，（土力学中以压力为正，以下我们主要讨论有效应力）以下我们主要讨论有效应力）在平衡状态，看不见的三个面上的应力与相对

3、的面上的应力相等可以证明，总存在三个正交的主应力面，其上的剪应力均为0二、解决工程力学问题的一般方法及基本方程F1 平衡方程（最基本的方程）平衡方程（最基本的方程）当外部荷载变化时（见，单元体初始应力都会变化。单元的应力变化应满足平衡方程平衡方程（我们关心的其实就是物体受荷时的应力变化量）。平衡方程对于任何力学都是必需满足的条件。当单元正应力方向与坐标方向相同时，应力的增量和外荷载之间必须满足平衡方程。2. 几何方程（应变与变形的关系）几何方程（应变与变形的关系）当外部荷载变化时，单元的产生变形，变形与单元原尺度的比值为正应变，形状的变化称为剪应变。应变变化应满足几何方程几何方程（也就是应变的

4、定义）。如果考虑应变的高阶项，就变成几何非线性的大变形问题，非常复杂。dvdudxdy3. 物理方程物理方程荷载变化后，对于某种材料，应力和应变应满足一定关系，这就是物理方程物理方程。将应力和应变都写成向量形式，则物理方程为（向量与矩阵的表示方法）1DKD或者对于任一分量，有以下几种假定的应力-应变关系4. 破坏准则：破坏准则：在外部荷载施加后，单元体产生的各应力之间必须满足一定的关系，即有的应力组合是可能的，有的应力组合是不可能存在的，这与材料的特性有关系。应力只可能在某区域内变化。例如：土的抗剪强度（莫尔圆、强度线为界）231231不可能的应力组合区域可能的应力组合区域强度线三、平面应变下

5、土体极限平衡理论（门派：（门派：经典土力学的基本方法）经典土力学的基本方法）1 平衡方程平衡方程2. 几何几何方程方程 自然满足自然满足3. 物理物理方程方程刚刚塑性假定塑性假定1D矩阵D的主元或者为（刚性）或为0（自由变形）f极限平衡法指考虑土体的抗剪强度和力的平衡，要么不变形，要么自由变形，因此只能解决稳定问题，不能计算变形。因此只能解决稳定问题，不能计算变形。（重力作用的情况）（重力作用的情况）4. 破坏准则破坏准则强度线所以土力学解决稳定问题只依靠平衡方程和摩尔库仑破坏准则（一）土压力问题（作用在（一）土压力问题（作用在挡墙上的极限土压力）挡墙上的极限土压力）土推墙-主动土压力墙推土-

6、被动土压力（二）地基极限承载力问题：地基能够承受的极限荷载（二）地基极限承载力问题：地基能够承受的极限荷载 条形基础整体平衡模式条形基础整体平衡模式极限平衡法，极限平衡法，Prandtl 与与 Reissner 的解答的解答为了考虑土自重对地基承载力的贡献，为了考虑土自重对地基承载力的贡献，Taylor加上了第三项（近似，加上了第三项（近似，只能通过试验或试算确定）只能通过试验或试算确定）（三）边坡稳定问题（三）边坡稳定问题力矩极限平衡力矩极限平衡+破坏准则破坏准则（土坡的极限高度和坡度）（土坡的极限高度和坡度）四、弹性力学（门派之二）（门派之二）如果不考虑变形只能解决稳定问题。土力学依赖弹性

7、力学的结果来计算土中的应力和变形。1. 弹性力学:单元体首先满足平衡方程和几何方程2. 由此可推得半无限空间弹性体（假定地球不是圆的）在点荷载作用下地基中任意点（实际上是微元体）的应力（Boussinesq解）一点的应力只和其位置坐标有关！积分此时可得到不同形状的荷载在地基中引起的应力。实测结果表明，用Boussinesq解计算的地基应力与实测值非常接近，我们用分层总和法时就用的这样得到的应力。半无限空间弹性体在条形荷载作用下地基中任意点的应力半无限空间弹性体在圆形荷载作用下地基中任意点的应力3. 应力应变关系应力应变关系 对于弹性力学，单元受力后发生变形，单元体的应力应变关系应满足虎克定律定

8、律：。知道应力就可以计算应变。 D TzxyzxyzyxTzxyzxyzyx2,2,2,式中及分别为应力和应变列向量，即： ;1212;121211111211112111zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxEEEEEE虎克定律的各种形式定律的各种形式：用应变表示应力虎克定律的矩阵形式定律的矩阵形式 1210121001210001000110001112111SymED从理论上说，各方向的变形量可以通过积分虎克定律的各项求得。例如，对于均质半无限空间体，竖向沉降可以通过下式求得：由于地基土不是均质的，所以很少用这个公式计算。但所采用的单向分层总和法，基本概念还是按照弹性体计算的，

9、只不过不同土层采用了不同的计算模量和初始空隙比。4. 土力学中的沉降计算方法土力学中的沉降计算方法5. 土力学中常用的一下模量的关系和用法土力学中常用的一下模量的关系和用法1. 理论上，联立平衡方程、几何方程和虎克定律，加理论上，联立平衡方程、几何方程和虎克定律，加上边界条件，可以解弹性体的受力和变形问题。但上边界条件，可以解弹性体的受力和变形问题。但实际上对于即使非常简单的问题要求得解析解是非实际上对于即使非常简单的问题要求得解析解是非常困难的，通常要采用有限元方法来解决。常困难的，通常要采用有限元方法来解决。2. 弹性力学弹性力学没有破坏准则，任何应力组合都是可能的没有破坏准则，任何应力组

10、合都是可能的。但实际材料总会破坏或变形过大，因此不同材料都但实际材料总会破坏或变形过大，因此不同材料都要建立破坏准则。要建立破坏准则。6. 弹性力学的解法弹性力学的解法7.非线性弹性本构关系非线性弹性本构关系双曲线模型双曲线模型模型参数的确定方法：岩土材料都是非线性的。如果假定为弹性非线性（弹性模量随应力水平变化）更接近实际情况。邓垦等根据康纳(Kondner)的建议，将三轴剪切试验中当3=常数时的131关系近似的用双曲线来表示1131ba （1）由图（b）可以得到初始切线模量Ei21131)(baaddEtaEi1bbabau111111131ab1311(1-3)f115%(1-3)u（3

11、）土样达不到极限值时就已经破坏（例如应变达到15%），可以得出破坏时的应力值由此定义破坏比Rf定义（对不同3的值可能不同，取平均值）uffR3131强度的极限值破坏时的强度（2）还可以得到极限应力（4）摩尔-库仑破坏准则bu1)(31f)(31ffiRE3111311ifftERddE231311311（6）初始模量）初始模量 Ei与固结压力3的关系可用Janbu公式表示naaiippKE3（5）切线模量iklgaiaipnKPE3lglg)lg(需要做至少两个土样，得出不同的3和Ei，来得到n和KinaaiftppKCRE32331sin2cos2sin11（7） 综合起来，可得到切线模量的

12、表达式要确定切线模量Et，需要通过至少二个土样的试验来确定?，C，Ki，n及Rf共五个试验常数。（8） 当卸载与再加载时，关系接近直线。在不同固结压力3下，做加荷卸荷试验，确定相应的弹性模量Eur。通过至少两个土样的试验数据在类似坐标系下求出如下关系式：naaururppKE3式中Kur及n分别为卸载再加载时的模量系数与指数；确定方法与Ki及n的方法相同。目前目前poisson比比 t的的确定确定一般都采用经验值，而不用上式计算。一般都采用经验值，而不用上式计算。1131dh3lgFGhsin2cos2sin11/1/lg331331313CRppKdpFGddfnaaiat（9）切线pois

13、son比 t的确定：邓肯张模型的确定方法如下：（10）作业：求切线模量 首先准备三个土样，在不同固结压力下做固结排水试验，或做固结不排水试验同时测孔隙水压力，取得应力与应变的数值，例如下表给出两个不同固结压力下的试验结果，按下表整理试验数据。然后按前面的定义计算。1. 张量：张量：在坐标系中有多个分量的量。例如一点的应力和应变。张量是一个比标量和矢量更为普遍的概念。2. 应力张量应力张量及其分解及其分解应力张量的矩阵记法以主应力为坐标，则任何一点的应力对于应力空间的一点。可以证明，有些应力（或应变）的组合并不随坐标系而变化，称为不变量。应用这些不变量，可以使一些公式的表达更为简洁，而且物理意义

14、明确。四、应力空间及应力不变量=zyzyxzxyxmmmzyzyxzxyxSSymSSSSSSymSym000应力张量应力张量 球张量球张量 偏偏张量张量 zxzxmzzyzyzmyyxyxymxxSSSSSS,)(31zyxm球张量分量偏张量分量只产生体积变形（只改变只产生体积变形（只改变单元体单元体体积）体积）只产生剪切变形（只改变只产生剪切变形（只改变单元体形状）单元体形状）321321000000000SSymSSSymSymmmmmmmmiizyxiimSSSS332211321)(31)(3131或偏主应力偏主应力特例：主应力状态特例：主应力状态3. 应变张量应变张量及其分解及其分

15、解mmmzyzxzyzyxyxzxyx000000mzyzxzyzmyxyxzxymx212121212121应变张量 应变球张量 应变偏张量3zyxmzxzxyzyzxyxymzzmyymxxeeeeee2121213. 应力不变量应力不变量围绕一点的应力，如果我们取不同方向的单元体，六个面上的应力是不同的。但有些应力的组合，可以证明，无论单元体的方向如何不同，其值不变，称为应力不变量。2223222212)(3xyzzxyyzxzxyzxyzyxzymyzyxzxyxzxyzxyxzzyyxmzyxSIII321313322123211)(III正应力第一不变量正应力第一不变量正应力第二不

16、变量正应力第二不变量正应力第三不变量正应力第三不变量正应力不变量的主应力表达式正应力不变量的主应力表达式正应力不变量正应力不变量偏应力不变量偏应力不变量2223222222222222222212)(21)(6)()()(61)(0 xyzxzyyzxzxyzxyzyxzxyzxyzyxzxyzxyzyxzyxzxyzxyxzzyyxzyxSSSSSSJSSSSSSSSSSSSSSSJSSSJ)2792(271)3(31)()()(61)(032131321322121323222113322123211IIIISSSJIISSSSSSJSSSJ偏应力第一不变量偏应力第一不变量偏应力偏应力第二

17、不第二不变量变量偏应力不变量的主应力表达式偏应力不变量的主应力表达式这些不变量都是可以证明的。定义这些不变量的目的，主要是使这些不变量都是可以证明的。定义这些不变量的目的，主要是使有些公式的表达式更为简洁。其中有些公式的表达式更为简洁。其中I1和和J2要经常用到。要经常用到。偏应力第三不变量偏应力第三不变量4. 应变不变量应变不变量kijkijxyzzxyyzxzxyzxyzyxijijzxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxzyxeeeeeeeeeeeeeeeJeeeeeeeeeeeJeeeJ31221)(23)()()(61)(6)()()(61022232222222222222

18、15. 弹性体弹性体变与形变定律变与形变定律mvmmzyxvKKK3弹性体积变形弹性体积变形定律：定律：平均应力只引起材料的体积变化（增大或缩小），不会引起材料的形状变化（畸变或剪变形）；而且体应变与平均应力成正比。弹性形变弹性形变(畸变畸变)定律：定律：偏应力或剪应力只引起材料的形状变化（畸变），不会引起材料的体积变化；而且形状变化的大小与偏应力或剪应力成正比。ijijijijijijijijGGeSGGSe 2 2或或213EK体积压缩模量mmmmmmKGeSKGeSKGeS323232333222111mmmmmmGGeSGGeSGGeS3333222211112 22 22 2或主应力

19、，主应力，主应变主应变关系关系偏偏主应力和偏主应力和偏主应变主应变关系关系应力与应变方向间的关系应力与应变方向间的关系1. 偏主应力Si与主应力 i同轴；2. 偏主应变ei与主应变 i同轴；3. 偏主应变ei与偏主应力Si同轴；4. 主应变 i i与主应力 i i同轴。 1. 研究的必要性研究的必要性 地基在自重作用下处于稳定状态。当有外荷载作用时，地基中的应力将发生变化。当地基中某一点（由包含该点的单元体表示该点的应力状态）的应力组合达到某一界限值时，该点处的土体即处于屈服或破坏状态，变形急剧增长。但由于周围土体的约束限制作用，土体变形不能无限制发展。 在实际工程中，不容许地基中出现任何屈服

20、或破坏是不现实的，也是不经济的。实际上，在上部结构物作用下，地基中总会有一定范围内的土体处于屈服或破坏状态。如果屈服或破坏范围不超过一定的深度或未形成贯通的破坏面，结构物就处于稳定状态。反之，地基就会出现较大的变形，使结构物产生过度沉降或歪斜，直至发生破坏。 因此，研究地基中任一点的屈服与破坏条件与准则是非常重要的。应力达到A点之前为弹性状态；A点应力称为初始屈服应力；应力达到A点，应力再增加，产生不可恢复的塑性应变，称为后继屈服状态；相继屈服只有在塑性加载过程中才会出现，所以相继屈服又称为加载屈服；应力达到C点，轴向应变达到15%，土体破坏；对理想塑性材料，屈服即破坏。应力在A点和C点之间卸

21、荷再加荷，不产生塑性应变，称为硬化。何谓破坏何谓破坏：地基中某点应力的应力组合处于强度线上这条强度线是如何确定的？三轴试验：粘土轴向应变=15%时，规定土样破坏。开裂脆性(拉)tE软化E10PeA1残余强度(压)压碎EB硬化理想塑性C韧性D三轴试验：3为定值1-3 2. 基本概念基本概念123破坏曲面加载曲面屈服曲面 在复杂应力条件下，屈服条件一般是应力（或应变）状态的函数；应力空间中的屈服面。（对于理想塑性材料，屈服面即是破坏面。） 加载条件一般是加载应力（或应变）与硬化参量的函数；应力空间中的加载面 而破坏条件一般是破坏应力（或应变）与破坏参量的函数；应力空间中的破坏面 3. 复杂应力条件

22、下的以主应力表达的一点的屈服条件、复杂应力条件下的以主应力表达的一点的屈服条件、加载加载条件与破坏条件条件与破坏条件0),(321f0),(321H0),(321ff地基中一点的应力初始处于应力空间的某个地基中一点的应力初始处于应力空间的某个位置，当外荷载变化时，其围绕该点的单元位置，当外荷载变化时，其围绕该点的单元体产生的变形特性不同体产生的变形特性不同。当应力变化在当前屈服面内部变化时，只发当应力变化在当前屈服面内部变化时，只发生弹性变形；生弹性变形；当一点的应力到达屈服面，再加载时，对理当一点的应力到达屈服面，再加载时，对理想塑性材料假定，只产生塑性变形；对于硬想塑性材料假定，只产生塑性

23、变形；对于硬化材料假定，既产生弹性变形又产生塑性变化材料假定，既产生弹性变形又产生塑性变形形.4. Coulomb-Mohr屈服与破坏准则屈服与破坏准则在岩石力学与土力学中，我们已经很熟悉土的剪切破坏定律Coulomb-Mohr准则。事实上，如果将岩土材料视为理想塑性，也可以把Coulomb-Mohr破坏准则视为屈服准则。以下我们将Coulomb-Mohr屈服或破坏准则剪称为C-M准则。0cos2sin)()(231231cf以应力表达的Coulomb-Mohr准则（破坏时主应力之间的关系）gtc2+(113)30c1c0cos2sin)()(3131cf（a）主应力空间中的形状主应力空间中的一些概念：主应力空间中的一些概念：空间对角线，或等倾线，或静水压力线空间对角线，或等倾线，或静水压力线（1=2=3）偏偏平面：与等倾线垂直的平面平面：与等倾线垂直的平面平面：过原点的偏平面平面：过原点的偏平面M-C准则的性质准则的性质1：在主应力空间：在主应力空间，M-C准则