高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题含答案---副本

1、用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（）求首项与通项；（）设，证明：.解: ()由 Sn= eq f(4,3)an eq f(1,3)2n+1+ eq f(2,3), n=1,2,3， , 得 a1=S1= eq f(4,3)a1 eq f(1,3)4+ eq f(2,3) 所以a1=2 再

2、由有 Sn1= eq f(4,3)an1 eq f(1,3)2n+ eq f(2,3), n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= eq f(4,3)(anan1) eq f(1,3)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= eq f(4,3)(4n2n) eq f(1,3)2n+1 + eq f(2,3) = eq f(1,3)(2n

3、+11)(2n+12) = eq f(2,3)(2n+11)(2n1) Tn= eq f(2n,Sn) = eq f(3,2) eq f(2n, (2n+11)(2n1) = eq f(3,2)( eq f(1,2n1) eq f(1,2n+11)所以, = eq f(3,2) eq f(1,2i1) eq f(1,2i+11) = eq f(3,2)( eq f(1,211) ) 1）化简得：,故数列是以为首项, 公比为的等比数列.故 数列的通项公式为：.观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的

4、前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数，所以对任意整数，有。本题的关键是并项后进行适当的放缩。3.（07武汉市模拟）定义数列如下：求证：（1）对于恒有成立； （2）当，有成立； （3）分析：（1）用数学归纳法易证。 （2）由得： 以上各式两边分别相乘得： ，又 （3）要证不等式，可先设法求和：，再进行适当的放缩。又原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。用放缩法处理数列和不等问题一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：真题演练1：设数列的前项的和,，（）求首项与通项；（）设，证明：.二先放缩再求和1放缩后成等比数列，再求和例2等比数列中，前n项的和为，且成等差数列设，数列前项的和为，证明：3放缩后成等差数列，再求和例4已知各项均为正数的数列的前项和为