第三章理想流体动力学

1、第三章第三章 理想流体动力学第三章 理想流体动力学流体运动学是用几何观点来研究流体运动，而不涉及力问题，本章将用力学观点来研究理想流体问题，研究速度和压力间关系。本章主要内容：1）欧拉运动方程、柏努利方程、动量方程及其应用。2）掌握柏努利积分和拉格朗日积分条件及每项的物理意义 第三章第三章 理想流体动力学3-1 欧拉运动微分方程 1方程导出方法1.取规则六面体微元进行讨论（学生看书）方法2.数学物理相结合在流场中，某一瞬时取出一微元体，现利用理论力学中的达朗伯尔原理对其力学分析。第三章第三章 理想流体动力学表面力：对于理想流体，只有法向应力，无剪切力 snpdVdspspnPnP（a） 质量力

2、 kjiZYXFdVFf（b）惯性力 dVdtdvI（c）由达朗伯尔原理得PfIOvF0dpdVdt即v1F-dpdt是任意取的，（3-1-1）第三章第三章 理想流体动力学2、方程各种形式：v1v1F-vvF-dppdtt1）矢量式：或（3-1-1）111xyzd vpXd txd vpYd tyd vpZd tz2 ） 分 量 式 ：（3-1-2）3）兰姆-葛罗米柯运动方程根据场论 vvvvvv-2122v21F2pt （3-1-3）第三章第三章 理想流体动力学（亦可以从分量式导得，以x向为例） 2222222xxxxxxyzyyxxzxxzxyzyzyxxzyzzydvvvvvvvvdtt

3、xytvvvvvvvvvvvvvtxxxyxzxvvvvvvtx同样可得其它二式，经合并，便可得（3-1-3）第三章第三章 理想流体动力学3、求解方程所需条件方程未知数共有五个V、为了使方程组封闭，还需补充两个方程，其中一个为连续方程，另一个为状态方程 状态方程(1)不可压 （2）正压流体 （3）斜压流体 c pfc/pc/pk 等熵绝热等温度化K-绝热系数T, pf对于斜压流体，又需补充一个方程；能量方程第三章第三章 理想流体动力学下面就一些条件下，方程形状作一讨论。 假定流体正压、质量力有势，则 正压流体：=f（）引入函数P，P满足 ,d pd pPPxyztfpPp1,dPdp1 即（a

4、） 第三章第三章 理想流体动力学质量力有势：根据理论力学，可以引入一个力势函数UFUXdxYdyZdzUFU ：（b）将（a）,（b）代入(3-1-3) ovvvPU2vt2（*）根据（*）中导出两个非常重要积分：柏努利积分和拉格朗日积分。 第三章第三章 理想流体动力学假设：（1）流体是理想的，运动是定常的（2）质量力有势（3）正压流体（4）沿流线积分,0t vFU)p(fpPolv d 由假设（1）得 由假设（2）得 由假设（3）得 由假设（4）得 3-2柏努利积分（定常运动、沿流线（涡线）积分）第三章第三章 理想流体动力学将（1）-（3）代入（*）得ovvPU2v2两边*dl(dl为流线段

5、或涡线段），则22l0202vdUPdvdUP lvv即 l2cPU2v（3-2-1） （3-2-2） 上式即为柏努利积分，C1为沿流线（涡线）积分常数 第三章第三章 理想流体动力学讨论： 1）重力场 gzU, gZ, 0YX l2cgz2vPlcUvppdpPc2,22）不可压流 3）等温变化气体 l nooopccPd pcpp11kokopcckpPdppk 4）等压变化气体 第三章第三章 理想流体动力学各种组合 (1)不可压重流体 l2l2cg2vpzcgz2vp 或(3-2-3)l2l2cv21pcg2vp 或l2c2vp1kk (2)不考虑质量力(空气) （3）绝热等熵气体 (3-

6、2-4)(3-2-5)第三章第三章 理想流体动力学假设（1）理想、无旋（2）质量力有势（3）正压流体由假设（2）vv0UFpPdpP 或由假设（1）由假设（3）代入（*）并注意到 tttv0PUvt22 tfPUvt22（3-3-1） 3-3拉格朗日积分（非定常无旋运动积分）第三章第三章 理想流体动力学令令 dttf tftt则,v（3-3-1）化为 022PUvt上式为拉格朗日积分（3-3-1） 如果流动又是定常的，则cpUvpUv2 0222即（3-3-1） Cl与C区别：Cl是沿流线（涡线）积分常数，沿同一流线（涡线）Cl相同，而C是通用常数（全场常数），即场中各点为同一常数。对于不可压

7、重力场 ,pP,gzU t2vpgz2再加定常条件 cg2vpz2第三章第三章 理想流体动力学第三章第三章 理想流体动力学3-4 两种积分意义及其应用 理想重流体定常运动中，柏努利积分和拉格朗日积分分别为 lcgvpz22cgvpz22（3-4-1） （3-4-2） 几何意义：每一项均表示高度zpg2v2几何位置高度压力高度，用水头表示:hp速度高度，用hv表示第三章第三章 理想流体动力学（3-4-1）表示在同一流线（涡线上） Hhvhpz（3-4-2）表示在全流场中，H处处相等 H总压头，hp静压头，hv动压头hv1hp1z1z2hp2hv2第三章第三章 理想流体动力学2、物理意义：每一项都

8、表示单位重量的某种能量 z单位重位能，用Ez表示 P/单位重压能，即单位重压力所作功，记以Ep 单位重动能，记以 Ev22vg（3-4-1）表示在同一流线（涡线）上 zpvEEEE（3-4-2）表示全场中E处处相等 第三章第三章 理想流体动力学结论：在定常运动中，同一流体质点的各能量之和保持不变，这是能量守恒定律在流体力学中具体应用。根据能量守恒定律观点，还可以将柏努利方程从只能在理想流中应用推广至粘性流体（真实流体中） fhgvpzgvpz2222222111hf单位重量损失的能量，称为水头损失 3-5测速计 第一章中，讲述了测压计原理，下面将讲述测速计原理各种测速仪基本原理就是柏努利积分。

9、1纹丘里管纹丘里管基本组成见图，它由一节截面两头大，中间小的水平管组成，大端直径等于所需测量的管道直径，中间截面的最小部分约为大端截面之一之半。 第三章第三章 理想流体动力学第三章第三章 理想流体动力学由连续方程 2211vsvs(a)由柏努利积分由测压计测量得 gvpgvpaBaA222221hppfBA由（a）、(b)、(c)得(b)(c)af22111ssgh2v（3-5-1） 第三章第三章 理想流体动力学实际流速V1V1，即有一个修正量 af22111ssgh2v（3-5-2） 流量 1 122212111faghQv sss（3-5-2） 第三章第三章 理想流体动力学2、毕托管首先介

10、绍驻点概念，如图所示，一物体置于来流中，在A、B两点速度为0，则A、B称为驻点。 选OA作为一条流线，在此流线上应用柏努利积分 :, , :,Aop vApoA2pv21p即 总压即总压由静压p动压组成。 2vv21p（3-5-3） 第三章第三章 理想流体动力学只要知道便可求出远前方来流速度： pp2vA上面便是毕托管原理，它分为开式、组合式两种（3-5-4） 第三章第三章 理想流体动力学022aBAApgvpafaABghppgv22（3-5-5） afghv2实际 （3-5-6） 第三章第三章 理想流体动力学3、热丝测速计 上面讲述的测速计主要用于测量平均流速（量），如果要测量实际流动中不

11、规则脉动速度时，必须采用热丝测速计。热丝测速计基本原理为：利用热丝导电性能随流速变化特性，通过电流（压）变化来推算流速。热丝直径0.0250.01mm,长6.512.5mm,材料：白金丝、镍丝、钨丝等 4、激光多普勒流速计测速原理：利用多普勒效应工作。以具有一定频率的入射激光束照射流体，运动的流体所散射的光束产生频率的偏移，如果把散射光和入射光在光电倍增管的光电阴极上复合进行混频，测定所产生的拍频，便可推算出流体速度。第三章第三章 理想流体动力学第三章第三章 理想流体动力学应用举例例1设水箱的水位保持9m，通过管径D=75mm的管道把水引至距地面0.6m处，如图所示，计算管道内流量有多少？设想

12、在截面3处安装一收缩口，如附图。问这收缩口的直径d小于怎样的一个数值后，将影响管道内流量？ 第三章第三章 理想流体动力学解 1）取流线121111:0,9avppzm2222 :?, , 0.6avppzm应用柏努利积分2221zv21zs/m84.12zzg2v212s /dm57d4vQ3222第三章第三章 理想流体动力学32)vppv3231apzv21zp2vm/ .N4 .2332p s/m04.19v3mm7.61v4Qd3第三章第三章 理想流体动力学例2图示为一射流泵，泵进口处和喉部直径分别为d,d,已知通过泵的流量为Q，并由压力表测得进口处压强为pI,若不计射流泵管路中能量损失

13、，求竖管中液面应升高多少？第三章第三章 理想流体动力学取流线III，列出方程g2vpg2vp2IIabII2IabIaIabIppphppaIIab44222211821IIIIIIIddgQvvghpI4I4II22pd1d1gQ8h第三章第三章 理想流体动力学例3由水池通过虹吸管引水到D点，A点为管进口处，取过A的水平面为基准面，B点与水池液面等高，C点为虹吸管中最高点，；D为管出口处，若不计流动中水头损失，求A、B、C、和D点各断面上位能，压能和动能及总机械能。第三章第三章 理想流体动力学解： 根据连续方程 ODCBAvvvvv取流线III，列出方程 g2vpzg2vpz22222111

14、m4z,m6z, 0vppp211, a21 mzzgvgvgvgvgvDCBA0 . 22222221222222第三章第三章 理想流体动力学对IA列出方程 g2vpzg2vpz2AAA2111 m0 . 426g2vzpzp2AA11A（考虑相对压力） 同理 m0 . 20 . 266g2vzzp2BB1Bm5 .3.25 .76g2vzzp2cc1c上述计算表明：虹吸管顶部C点真空度最大 第三章第三章 理想流体动力学各点高度 位置 位置高度（z） 压力高度（p/） 速度高度 总水头高 A0426B6-226C7.5-3.526D4026第三章第三章 理想流体动力学例4.有一流动，其速度分

15、量为:0,4,3zyxvyvxv试求其运动微分方程,并求其当表面上(0,0)处压力的为零时，处于表面以下1m处A(2,2)点压力。 第三章第三章 理想流体动力学解 v11)Fdpdt即 zp1Zdtdvyp1Ydtdvxp1XdtdvZyx1911610pxXxpyYypgz 190116010pxxpyypgz2）利用（1）得 ydyxdxdpdzg1691cgzy8x29p22第三章第三章 理想流体动力学（0，0，0）处，p=0,c=0(2,2,1)处， pa10632188 . 9p4或者利用拉格朗日积分求（请学生练习） ex3-(3,5,6,7,8,9)第三章第三章 理想流体动力学例5

16、已知流场速度分布为 00 xyrvyvrrrvxv 或在处，试求区域内压力分布。 0r0pp 0rr 解1）判断流动连续性 0vrrvrkv满足 这是定常、有旋运动。 若采用柏努利积分，流线为，为圆周线，无法求得整区域内压力分布。故只能采用欧拉方程。 第三章第三章 理想流体动力学ypYdtdvxpXdtdvyx11即 dpydyxdx2crcyxp2222222即 讨论： pv?第三章第三章 理想流体动力学3-7动量定理、动量矩定理对于不可压理想流体Euler方程和连续方程构成了一封闭的方程组，可以求得v,p四个未知数，当然对于具体问题还必须加上适当的初始条件和边界条件。初始条件和边界条件总称

17、为问题的定解条件，如果已经求得满足条件的Euler方程解，即) t , z, y, x(ppt , z, y, xvv（3-7-1） 通过物面积分，就可以求出作用在物体上的力（矩） 第三章第三章 理想流体动力学但Euler方程是一个非线性方程，在一般情况下，对它积分是困难的，只有在几种特殊情况下，才能获得解析解。如前面柏努利积分、拉格朗日积分，而且它们仅是速度和压力之间关系式，只有在速度分布已知情况下，才能用于确定压力分布。本节将讨论动量（矩）定理，从而根据边界条件直接求解作用在物体上力（矩），它无须知道流体内部速度分布，亦无须区分内部流动是有旋的还是无旋的，只要知道速度，压力等物理量在某些边

18、界上的分布就可以求出作用在物体上合力（矩）。动量（矩）定理不仅适用于理想流体，而且还可以应用于粘性流，亦可以用它来校核由微分方程求得的结果。 第三章第三章 理想流体动力学动量（矩）定理局限性：仅适用于定常，或平均流动为定常流。下面将根据理论力学中质点系动量（矩）定理iimdtdpv导出流体力学中动量（矩）定理。 第三章第三章 理想流体动力学1定常运动的微流管动量定理在流场中取出一微流管，由于流动是定常的，流管就如真实管子一样。 设微流管两端截向分别为s1、s2，方向以外法线方向为正，两端平均速度v1、v2为经过dt后，微流管由ABCD移至A，由于公共部份ACD之间动量不变，dt时间内动量变化为

19、 222211 11vvvCDC DABA Bnnd mKKS vtS vt (3-7-2)第三章第三章 理想流体动力学根据质点系动量定理：质点系动量变化等于外力冲量，即dtmdpv （3-7-3）故定常运动微流管定理为： pvv11n1122n22svsv（3-7-4） 式中以流出为正，流进为负，由坐标轴方向定 nvnvpv,结论：在定常条件下，对于微流管，通过其两端截面单位时间内流出的动量减去流入的动量等于作用在整个流管上质量力和表面力的合力。第三章第三章 理想流体动力学2定常运动一般形式动量（矩）定理根据（3-7-3） dSpdVdVdtdnFvd()vnvsd Vddd Vd Vd t

20、d td td md Vtd td Vd Vtd Vd s vvvvvvvvvvvv(3-7-5) ssdspdVdSnFvnv因为所以(3-7-6) 上式即为一般形式动量定理，称控制体，称控制面 第三章第三章 理想流体动力学补：控制体、控制面概念控制体：被流体流过的、相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积。控制面：控制体的边界面，它总为封闭面。控制面特点：1）控制体的边界（控制面）相对于坐标系来说是固定不变的；2）控制面上可以有质量交换；3）在控制面上受到控制体以外物体，加在控制体内物体上的力；4）在控制面上可以有能量交换。在流体力学中，系统是指由确定的流体质点所组成的流体团 系统：包含确

21、定不变的物质的任何集合，系统外的一切称为外界，系统的边界是系统和外界分开的真实的和假想的表面 第三章第三章 理想流体动力学系统边界特点：1）系统边界随流体一起运动；2）在系统边界处没有质量交换；3）、4）同控制体。控制面选取基本原则：（1）边界面或流面，这些面上没有流体进出，因而动量通量为零，（2）速度及压力分布已知的面。第三章第三章 理想流体动力学第三章第三章 理想流体动力学同样道理：可以得到动量矩定理：ssndSdVdSvp-nrFrvr（3-7-7） 第三章第三章 理想流体动力学3-8动量及动量矩定理的应用例1如图所示，不可压流体定常流过弯管，截面各为A1、A2，求流体作用于弯管上的力R

22、，已知进出口截面流面流动均匀，忽略质量力，且已知V1、A1、A2、P及出口截面方向。图第三章第三章 理想流体动力学解：取如图所示坐标系，控制制体如图所示（Redcolor） 已知 jininsincos,21sincos,22221111jinpinpppppnn流体为不可压，根据连续方程： 221121222111AvAvAvAv即由柏努利方程： 2vp2vp222211由（b）、（c）得 2121122112AA1v21ppAAvv（a） （b） （c） （d） 第三章第三章 理想流体动力学dSpdVdSvssnnFv应用动量定理： 式中 12111222vvvv(cossin)bnnnn

23、ssssvdsvdsvdsvdsvv Av A v iij121122nnnnR-co ssinbsssd Vgd Vpd spd spd spd sp ApA Fkiij将其代入（*）得 22111221122c o ss inR -( c o ss in)vAvApApAiijiij22211111222 222222R Rcoscos i sinsin jp Av Av Ap v Ap Av A sinsin)(21sincos)(21coscos22121221221212212212222212112111AAvAAAvApRAAAvApAAvAvApRyx所以（*） 第三章第三章

24、理想流体动力学例2小孔出流反推力（小孔面积为S）解 选取如图所示坐标系及控制面，已知 BA0BSS, h,p,S 根据边续方程 vSvSBAABASS 0vA 根据柏努利方程 202A0v21pghv21pgh2v 第三章第三章 理想流体动力学 由动量定理 ssndSpdVdSvnFvivvvBSnnsSSSsnSvdSvdSvdSvBDCBA2式中V为流体体积 （*） （a） （b） （c） 因 0000ADCBSSSSpdSpdSp dSjjnjinVdSppdSpSSB)(0000nn()ABCDAABBBDSSSSSSSSSSSp dsp dsp dSp dSp dSp dSp dSV

25、 jnnijjjFVdV将（a）,(b),(c)代入（*）BsyxBRRdSppSvjiii)(02BxSvR2根据作用力与么作用力 BBxxghSSvRR22第三章第三章 理想流体动力学例3.一流体束对平板斜冲击。设宽b为二元流，以速度Vo向平板AB冲击，流速和平板夹角为，求理想流体对平板作用力及作用点位置。解：取坐标系及控制面如图 已知 及2, 21100bv,b,v,b,v 因流体周围与大气相接触，因此除了档板AB表面SAB外，均受到P2作用 第三章第三章 理想流体动力学由连续方程 221100vbvbvb柏努利方程 222a20121a20p2vp2vp2vp2v210vvv210bbbab 由动量方程 vnnssvdsp ds*第三章