二阶常系数线性齐次微分方程

1、)(xfCyyByA 方程方程0)(xf若为二阶常系为二阶常系数线性微分数线性微分方程方程其中其中 、 、 是已知常数是已知常数,且且ABC0A0 CyyByA为二阶常系为二阶常系数线性数线性齐次齐次微分方程微分方程下面介绍方程下面介绍方程 解的结构解的结构.0 CyyByA第四节第四节 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程 定理定理5-15-1 若函数、若函数、 是方程是方程 的两个解，则的两个解，则)(1xy)(2xy0 CyyByA证明证明2211yCyCy2211yCyCy )()(2211xyCxyCy也是也是 的的解解，其中，其中 、 为任意常数为任意常数1C2C0

2、 CyyByA把、把、 代入方程代入方程 的左边，得的左边，得y y0 CyyByA112211221122()()()A C yC yB C yC yC C yC y11112222()()C AyByCyCAyByCy00021CC 、 线性无关线性无关，是指不存在不全为零的常，是指不存在不全为零的常数数 、 ,使使 ,即即)(1xy)(2xy1k2k0)()(2211xykxyk)()(12xyxy常数常数否则称否则称 、 线性相关线性相关)(1xy)(2xy 定理定理5-25-2 若函数、是若函数、是方程方程 的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则)(1xy)(2xy0 Cy

3、yByA)()(2211xyCxyCy是方程是方程 的的通解通解,其中其中 、 为任意常数为任意常数0 CyyByA1C2C,xey设设将其代入将其代入以上以上方程方程, 得得0)(2xeCBA, 0 xe故有故有02CBA特征方程特征方程AACBB2422, 1特征根特征根 由定理由定理5-2,求方程求方程 的通解的关键的通解的关键是先要求出它的是先要求出它的两个线性无关的特解两个线性无关的特解.0 CyyByA 由于方程具有线性常系数的特点由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数而指数函数的导数仍为指数函数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如故我们可假设方程有形如 的解的解.xey

4、的解法的解法0 CyyByA,11xeyxey22方程有方程有两个线性无关的特解两个线性无关的特解所以所以方程的通解为方程的通解为xxeCeCy2121,2421AACBBAACBB2422特征根为特征根为( () )当当 , ,特征方程特征方程有两相异实根有两相异实根042 ACB根据判别式的符号不同根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论分下面三种情况讨论(2) (2) 当当 , ,方程有两个相等的实根方程有两个相等的实根042 ACB12)(yxuy 设另一特解为设另一特解为xey11,221AB一特解为一特解为特征根为特征根为xxexuexuy11)()(12xxxexuexuexuy

5、111)()(2)(2112 若若 是原方程的解是原方程的解,应有应有)(2xy0222 CyyByA所以所以方程的通解为方程的通解为xexCCy1)(21,)(xxu 取取xxey12则则222yyy ，将将 代入以上方程代入以上方程,得得0)()2(1111211 xxxCueeuuBeuuuA因因 ,故故01xe0)()2(1211 CBAuBAuA000 uA所以所以0)( xuxCCxu21)(,)(1xiey xiey)(2,1ii2特征根为特征根为(3) (3) 当当 , ,方程有一对共轭复根方程有一对共轭复根042 ACB利用欧拉公式利用欧拉公式sincosiei可将可将 和和

6、 改写成如下形式改写成如下形式1y2y)sin(cos)(1xixeeeeyxxixxi)sin(cos)(2xixeeeeyxxixxi重新组合重新组合)(2121*1yyy ,cos xex )(2121*2yyiy ,sin xex 得方程的通解为得方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 不难看出不难看出 和和 线性无关线性无关*1y*2y求解求解二阶常系数齐次二阶常系数齐次线性线性微分方程的一般步骤微分方程的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程; （2）求出特征根）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,按下表写出方程按下表写出方程的

7、通解的通解. 通解通解0 CyyByA的根的根02CBA21不不相相等等实实数数根根21相相等等实实数数根根i、i21共轭复数根共轭复数根).sincos(21xCxCeyx xexCCy1)(21xxeCeCy2121 ( 4) 若问题要求出满足初始条件的特解若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件再把初始条件代入通解中代入通解中,即可确定即可确定 、 ,从而获得满足初始条件的特从而获得满足初始条件的特解解.1C2C例例5-13 5-13 求下列方程的通解求下列方程的通解034 ) 1 ( yyy0222 )2( yyy032 )3( yyy解解 (1)(1)特征方程为特征方程为0342

8、 rr所以方程的通解为所以方程的通解为 为任意常数为任意常数21231 C,CeCeCyxx 1, 321rr解得解得 为任意常数为任意常数21221 C,CexCCyx 所以方程的通解为所以方程的通解为221 rr解得解得 (2)(2)特征方程为特征方程为02222rr所以方程的通解为所以方程的通解为 (3)(3)特征方程为特征方程为0322 rr解得解得ir212, 1 为任意常数为任意常数2121, 2sin2cosCCxCxCeyx 解解 特征方程为特征方程为0542 即即0)5)(1(特征方程有两个不相等的实数根特征方程有两个不相等的实数根5, 121 xxeCeCy521所以所求方

9、程的通解为所以所求方程的通解为对上式求导对上式求导,得得xxeCeCy5215例例5-145-14 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 054 yyy 、 的特解的特解. .1)0(y2)0( y将将 、 代入以上二式代入以上二式,得得1)0(y2)0( y2121521CCCC解此方程组，得解此方程组，得21,2121CC所以所求特解为所以所求特解为xxeey52121解解 特征方程为特征方程为0962例例5-155-15 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 096 yyy 、 的特解的特解. .0)0(y1)0( y即即0) 3(2特征方程有两个相等的实数根特征方程有两个相等的实数

10、根321xxxeCeCy3231所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式求导对上式求导,得得xxxxeCeCeCy32323133130211CCC将将 、 代入以上二式代入以上二式,得得0)0(y1)0( y解此方程组，得解此方程组，得1, 021CC所以所求特解为所以所求特解为xxey3解解 特征方程为特征方程为01342特征根为特征根为i 322, 1)3sin3cos(212xCxCeyx所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为例例5-165-16 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 、 的特解的特解. .0)0(y1)0( y0134 yyy对上式求导对上式求导,得得3sin)23(3cos)23(21122xCCxCCeyx31, 021CC所以所求特解为所以所求特解为xeyx3si