结构力学_位移法.

1、第第9章位移法章位移法 本章教学本章教学基本要求基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力 本章教学内容的本章教学内容的重点重点：位移法的：位移法的基本未知量基本未知量；杆件的转角位；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用移方程；用典型方程法和直接平衡法建

2、立位移法方程；用典型典型方程方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。法计算超静定结构在荷载作用下的内力。 本章教学内容的本章教学内容的难点难点：对位移法方程的物理意义以及方程中：对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。 本章内容简介本章内容简介:9.1位移法的基本概念位移法的基本概念9.2等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程9.3位移法的基本未知量位移法的基本未知量 9.4位移法的基本结构及位移法方程位移法的基本结构及位移法方程9.5用用典型方程法典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力计算超静定结构在荷载作

3、用下的内力9.6用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化 时的内力时的内力9.7用直接平衡法计算超静定结构的内力用直接平衡法计算超静定结构的内力*9.8混合法混合法9.1位移法基本概念位移法基本概念力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建于上世纪初。力法于十九世纪末开始应用，位移法建于上世纪初。结构：结构：外因外因内力内力位移位移恒具有一定关系恒具有一定关系力力 法法以以多余未知力为基本未知量多余未知力为基本未知量，由，由位移条件位移条件建建 立力法方程，求出立

4、力法方程，求出内力内力后再计算后再计算位移位移。位移法位移法以某些以某些结点位移为基本未知量结点位移为基本未知量，由，由平衡条件平衡条件 建立位移法方程，求出建立位移法方程，求出位移位移后再计算后再计算内力内力。一、一、解决超静定问题的解决超静定问题的两种基本方法的对比两种基本方法的对比力法力法适用性广泛，解题灵活性较大适用性广泛，解题灵活性较大（可选用各种各样的基本结构）。（可选用各种各样的基本结构）。位移法位移法在解题上比较规范，具有通用性，在解题上比较规范，具有通用性， 因而计算机易于实现。因而计算机易于实现。位移法可分为：手算位移法可分为：手算位移法位移法 电算电算矩阵位移法矩阵位移法

5、2. 基本未知量不同基本未知量不同，这是力法与位移法最基本的区别。这是力法与位移法最基本的区别。力 法：以多余未知力为多余未知力为基本未知量位移法：以结点位移为结点位移为基本未知量1.优缺点优缺点3.适用范围不同适用范围不同力力 法法：超静定结构超静定结构位移法位移法：超静定结构，也可用于静定结构。超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。一般用于结点少而杆件较多的刚架。例：二、用位移法计算超静定结构的思路二、用位移法计算超静定结构的思路例如：用位移法求解如图所示的刚架。例如：用位移法求解如图所示的刚架。1.为了使问题简化，作如下计算假定：为了使问题简化，作如下计算假定：

6、1）在受弯杆件中，略去杆件的轴向）在受弯杆件中，略去杆件的轴向 变形和剪切变形的影响。变形和剪切变形的影响。2）假定受弯杆两端之间的距离）假定受弯杆两端之间的距离 保持不变。保持不变。由此可知，结点由此可知，结点1只有转角只有转角Z1，而无线位移。因节点，而无线位移。因节点1为为刚节点，汇交于结点刚节点，汇交于结点1的两杆杆端也应有同样的转角的两杆杆端也应有同样的转角Z1。ABCP荷载效应包括：荷载效应包括：内力效应内力效应：M、Q、N；位移效应位移效应：AABCP附加附加刚臂刚臂附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷限制结点位移，荷载作用下附加刚臂载作用下附加刚臂上产生上产生附加力矩。附加力矩。对

7、结点施加产生对结点施加产生相应的角位移，以相应的角位移，以实现结实现结点位移状态的一致性。产点位移状态的一致性。产生相应的附加约束反力。生相应的附加约束反力。ABC实现位移状态可分两步完成实现位移状态可分两步完成叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等； 由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的由于原结构没有附加刚臂：因此附加约束上的附加内力应附加内力应等于等于0，按此可按此可列出求解结点位移的基本方程。列出求解结点位移的基本方程。ABCPStep1：附加刚臂：

8、附加刚臂限制结点位移，荷限制结点位移，荷载作用下附加刚臂载作用下附加刚臂上产生上产生附加力矩。附加力矩。Step2：对结点施加产生：对结点施加产生相应的角位移，以实现结相应的角位移，以实现结点位移状态的一致性点位移状态的一致性，产产生相应的生相应的附加约束反力。附加约束反力。ABC使结点使结点1正好转动一个转角正好转动一个转角Z1时，使时，使所加的附加约束不再起作所加的附加约束不再起作用，其数学表达式为用，其数学表达式为：R1=0 上式意义：上式意义：外荷载和实际应有的转角外荷载和实际应有的转角Z1共同作用于基本结构时，共同作用于基本结构时，附加约束反力矩为零（刚臂不起作用）。附加约束反力矩为

9、零（刚臂不起作用）。根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加： R1R11R1P=0 （a) R11为强制使结点发生转角为强制使结点发生转角Z1时时 所产生的约束反力矩。所产生的约束反力矩。 R1P为荷载作用下所产生的为荷载作用下所产生的 约束反力矩。约束反力矩。R11=r11Z1Z1=1 为单位位移（转角为单位位移（转角Z11）产生的约束反力矩。）产生的约束反力矩。上式的物理意义是，上式的物理意义是，基本结构由于转角基本结构由于转角Z1和外荷载和外荷载FP共同作共同作用，在附加刚臂用，在附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零（使处所产生的约束反力矩

10、总和等于零（使a,b两图叠加后附加刚臂不起作用）。两图叠加后附加刚臂不起作用）。由此方程可得：由此方程可得：01111PRZr1111rRZP可见，只要有了系数可见，只要有了系数 r11及自由项及自由项R1P，Z1值很容易求得。值很容易求得。为了将式为了将式(a)写成未知量写成未知量Z1的显式，将的显式，将R11写为：写为：式（式（a）变为：）变为：11111ZrR11r为了确定上式中的为了确定上式中的 R1P 和和 r11 ，可先，可先用力法分别求出各单跨用力法分别求出各单跨超静定梁超静定梁在梁端、柱顶在梁端、柱顶1处转动处转动 Z1=1时产生的弯矩图及外荷时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的

11、弯矩图。载作用下产生的弯矩图。pl81求系数和自由项求系数和自由项1Mr11Z1=1lEIr7111）求）求r11和和M1P1AR1PP8Pl8PlMP图2）求求R1P 和和MP 现取现取 图、图、MP图中的结点图中的结点1为隔离体，由力为隔离体，由力矩平衡方程矩平衡方程 ，求出，求出 ：1M 01MlEIr711PlRP811将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得 EIPlZ5621最后，根据叠加原理最后，根据叠加原理 ，即可求出最后弯矩图即可求出最后弯矩图 。11ZMMMP7.解方程，画内力图解方程，画内力图 1. 在原结构产生位移的结点上设置

12、附加约束，使结点固定，在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定， 从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；. 人为地迫使原先被人为地迫使原先被“固定固定”的结点恢复到结构原有的位移。的结点恢复到结构原有的位移。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。综上所述，位移法的基本思路是：综上所述，位移法的基本思路是：PM=R1PR11=r11Z1=-R1P固定节点固定节点使之不动使之不动（

13、a）（b）释放节点，使节释放节点，使节点发生实际位移点发生实际位移9.2等截面直杆的转角位移方等截面直杆的转角位移方程程应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定应用位移法需要解决的首要问题就是，要确定杆件的杆端内力杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系与杆端位移及荷载之间的函数关系(杆件的转角位移方程杆件的转角位移方程)。利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。转角位移方程。一、杆端内力及杆端位移的正负号规定一、杆端内力及杆端位移的正负号规定1、杆端内力的正负号规定、杆端内力的正负号规定杆端弯矩：杆端弯矩：

14、对杆端而言，以对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。ABABMMBAABEI, l弦转角BAB2、杆端位移的正负号规定、杆端位移的正负号规定ABABMMBAABEI, l弦转角BAB1）杆端转角杆端转角（角位移）（角位移）:以顺时针为正，反之为负。以顺时针为正，反之为负。 2）线位移线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动 的线位

15、移为正，反之为负。例如，图中的线位移为正，反之为负。例如，图中AB为正。为正。 二、单跨超静定梁的形常数和载常数二、单跨超静定梁的形常数和载常数位移法中，常用到图示位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁三种基本的等截面单跨超静定梁，它们，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。a) 两端固定两端固定b)一端固定一端固定 一端铰支一端铰支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承由荷载或温度变化引起的杆端内力称为由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数载常数。其中的。其中的杆端弯杆端弯矩矩也常称为也常称为固端

16、弯矩固端弯矩，用，用 和和 表示；杆端剪力也常称为表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用固端剪力，用 和和 表示。表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入常见荷载和温度作用下的载常数列入表表中中(书书P5) 。 FABMFBAMFABFQFBAFQ由杆端由杆端单位位移单位位移引起的杆端内力称为引起的杆端内力称为形常数形常数，见书，见书P279，7-7式。表中引入记号式。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的，称为杆件的线刚度线刚度。 a) 两端固定两端固定b)一端固定一端固定 一端铰支一端铰支c) 一端固定一端固定 一端定向支承一端定向支承三、转角位移方程三、转角位移方程 1、两端固定梁、两端固定梁

17、由叠加原理可得：由叠加原理可得：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1A B AB P+t1t2Ai 4Bi 2liAB/6 Ai 2Bi 4liAB/6 FABMFBAM固端弯矩固端弯矩2、一端固定另一端铰支梁、一端固定另一端铰支梁 AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非独立角位移)1B033BAFABAABMMliiM3、一端固定另一端定向支承梁、一端固定另一端定向支承梁ABMlAAMqPFAEIABQFB(非独立线位移)BB1FBABABAFABBAABMiiMMiiM1）两端固定梁）

18、两端固定梁2）一端固定另一端铰支梁）一端固定另一端铰支梁3）一端固定另一端定向支承梁）一端固定另一端定向支承梁应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的静定梁的杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式，汇总如下：，汇总如下：FBABABAFABBAABMliiiMMliiiM642624033BAFABAABMMliiMFBABABAFABBAABMiiMMiiM用位移法求解超静定结构用位移法求解超静定结构例：试用例：试用位移法位移法-直接平衡法直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：1)基本未知量为

19、刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。 2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 ）EIil0ABM13316BAPMiZF l13BCMiZ0CBM3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。由图c的平衡条件： 得：0BM0BABCMM136016PiZF l1132PZF li 0ABM332BAPMF l332BCPMF l 0CBM4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图。9.3位移法的基本未知量位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量据位移法思路：先锁住节点不动（角位移或线位移），再放松据位移法思路：先锁住节点不动（角位移或线位移），再

20、放松节点使之发生实际位移，最后叠加。节点使之发生实际位移，最后叠加。所以，位移法选取所以，位移法选取结点的独立位移（独立角位移和独立线结点的独立位移（独立角位移和独立线位移）位移）作为其基本未知量，用广义位移作为其基本未知量，用广义位移Zi表示表示 二、确定位移法的基本未知量二、确定位移法的基本未知量1、基本未知量的总数目、基本未知量的总数目位移法基本未知量的总数目（记作位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角）等于结点的独立角位移数（记作位移数（记作ny）与独立线位移数（记作）与独立线位移数（记作nl）之和，即）之和，即 lynnn2、结点独立角位移数、结点独立角位移数结点独立角位

21、移数（结点独立角位移数（ny）一般等于）一般等于刚结点数刚结点数加上加上组合结组合结点（半铰结点）数点（半铰结点）数。但须注意，但须注意，1）当有）当有阶形杆截面改变处阶形杆截面改变处的转角或的转角或抗转动弹性支座抗转动弹性支座的的 转角时，应一并计入在内作为基本未知量。转角时，应一并计入在内作为基本未知量。2）至于）至于结构固定支座或定向支座结构固定支座或定向支座处处，因其转角等于零或，因其转角等于零或为已知的支座位移值；为已知的支座位移值；铰结点铰结点或铰支座处或铰支座处，因其转角不，因其转角不独立（也没必要），所以都独立（也没必要），所以都不作为位移法的基本未知不作为位移法的基本未知量量

22、。 FPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFC C C CnY= 4 FPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFC C C C3、结点独立线位移数、结点独立线位移数(1) 先简化结构先简化结构1）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引）除特殊指明外，梁与刚架一般不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩起的杆件的伸缩(假定假定1)2）不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近）不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近(假定假定 2) 因此，可认为这样的受弯直杆因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离两端

23、之间的距离在变形在变形后仍保持不变后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替线来代替 把刚架所有把刚架所有刚节点、固定支座、抗转动弹性支座均改为铰刚节点、固定支座、抗转动弹性支座均改为铰结（及所有节点或支座中结（及所有节点或支座中抗转动约束抗转动约束铰化）铰化），如果原体系，如果原体系有节点线位移则铰化后将变为几何可变体系，通过增设链有节点线位移则铰化后将变为几何可变体系，通过增设链杆使此可变体系杆使此可变体系变为几何不变体系（变为几何不变体系（具体问题可根据下述具体问题可根据下述“最终目的最终目的”增设增设）需要增设的最少链杆数）需要增设的

24、最少链杆数即为原结构独即为原结构独立节点线位移数目。立节点线位移数目。“最终目的最终目的”:是能够解出结构内力。是能够解出结构内力。一般增设目标：一般增设目标：是找出所有节点中可能发生线位移的节点，是找出所有节点中可能发生线位移的节点，通过增设支杆使之沿此方向不动，通过增设支杆使之沿此方向不动，即增设支杆后使所有节即增设支杆后使所有节点在任意方向上都没有线位移点在任意方向上都没有线位移(2)节点线位移确定方法节点线位移确定方法铰化结点，增设链杆铰化结点，增设链杆624lynnnEDABFGCCBADEFGFPADE21D11BBFGGCCBADE1ZBZ23ZZ4CGADEBCGZ65ZFFC

25、 C C C3、两点说明、两点说明说明说明1：当刚架中有需要考虑轴向变形（当刚架中有需要考虑轴向变形（ ）的）的 二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。二力杆时则考虑二力杆的轴向变形。EA例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形例如：下图结构要求考虑水平直杆的轴向变形，EA EAEAn= ny+nl =2+4=6EI=常数 , EA =常数 基基 本本 结结 构构说明说明2 2：当刚架中有当刚架中有刚性杆刚性杆时时( )( )的情况的情况1)刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量刚性杆两端的刚结点转角，可不作为基本未知量。 因为若该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随因为若该杆两端的线位移确

26、定了，则杆端的转角也就随 之确定；之确定；2)若刚性杆为竖直柱，则若刚性杆为竖直柱，则与基础相连的刚性柱与基础相连的刚性柱可视为地基可视为地基 扩扩大的刚片处理大的刚片处理(即：对其它相连杆件的约束作用相当即：对其它相连杆件的约束作用相当 于于固固定支座或固定铰支座定支座或固定铰支座) 。3)刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰铰 化结点化结点”时此类结点均不改为铰结，以反映刚片无任何时此类结点均不改为铰结，以反映刚片无任何 变形的特点。变形的特点。EI 综上所述，对于有刚性杆的刚架综上所述，对于有刚性杆的刚架:1）ny等于等于全为弹性杆

27、汇交全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和的刚结点数与组合结点数之和2）nl等于使等于使仅仅将弹性杆端将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变改为铰结的体系成为几何不变 所需增设的最少链杆数。所需增设的最少链杆数。 n=n y + n l=2+1=32ZZ10=EIEI =0EI =00=EI3Z123465a)a)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)“b)“铰化结点，增设链杆铰化结点，增设链杆”例例1、求图示结构的超静定次数和位移法基本未知量、求图示结构的超静定次数和位移法基本未知量 数目分别为（数目分别为（ ）（A）4；3 （B）4；4 （C）5；3 （D）5；4 三、求位移法基本未

28、知量举例三、求位移法基本未知量举例n= ny+nl =0+1=1 (若 : EI1=) (若 : EI1) n= ny+nl =2+1=3 基基 本本 结结 构构例例2 2：n= ny+nl =7+3=10 基 本 结 构例例3 3：节点节点任意方向任意方向的线位移都作为基本未知量的线位移都作为基本未知量n= ny+nl =4+2=6 基 本 结 构组合结点刚架有组合结点刚架有组合结点例例4 4：刚架有刚架有内力静定内力静定的杆件的杆件ABCDEABCDE 基 本 结 构n= ny+nl =2+1=3“铰化节点、增设链杆铰化节点、增设链杆”根据根据“最终目标最终目标”施加链杆，不施加链杆，不再

29、是变为再是变为“几何不变体系几何不变体系”这个一般目标。这个一般目标。E点竖向位移不独立，可以作为基本未知量，但没必要点竖向位移不独立，可以作为基本未知量，但没必要例例5 5：AABBDDCCEE 基基 本本 结结 构构n= ny+nl=2+0=2用位移法计算用位移法计算桁架结构桁架结构 基基 本本 结结 构构n= ny+nl =0+5=5位移法解决桁架结构未知量数目较多，手算可算但不位移法解决桁架结构未知量数目较多，手算可算但不具有优势，一般机算可；手算一般采用力法。具有优势，一般机算可；手算一般采用力法。例例6 6：ABCDEF原 结 构ABCDEF基 本 结 构ABCD213ABCD21

30、3n= ny+nl =2+1=3原 结 构铰化节点，增设链杆例例7 7：例例8 8：9.4位移法的基本结构及位移法方程位移法的基本结构及位移法方程 一、位移法的基本结构一、位移法的基本结构位移法的位移法的基本结构基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支杆）后得到的和附加支杆）后得到的三种基本超静定杆的综合体。三种基本超静定杆的综合体。1）所谓）所谓附加刚臂附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上一个能阻止其角位移结点和组合结点上，人为地加上一个能阻止其角位移(但但并不阻止其线位移并不阻止

31、其线位移)的附加约束，用黑三角符号的附加约束，用黑三角符号“ ”表表示。示。 2）所谓）所谓附加支杆附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。的附加约束。 2ZZ41Z3Z3ZZ3ACFGDHEBFCADGHEBa)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)基本结构基本结构二、位移法的基本体系二、位移法的基本体系 图图a所示刚架的所示刚架的基本未知量基本未知量为结点为结点A的转角的转角Z1。在结点在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的加一附加刚臂，就

32、得到位移法的基本结构基本结构（图（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为结构，称为基本体系基本体系（图（图c）。）。 APFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAa)原结构原结构c)基本体系基本体系b)基本结构基

33、本结构APFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAd) 锁住结点锁住结点三、位移法方程三、位移法方程 1）基本未知量只有节点）基本未知量只有节点A的角位移的角位移Z1，n=1.2 2）基本体系如图。基本体系如图。3）基本结构在结点位移）基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩刚臂上的反力矩F1为零（图为零（图c）由此建立方程：）由此建立方程： c) 基本体系基本体系01

34、111PFFF（一）无侧移结构（一）无侧移结构以一个基本未知量为例以一个基本未知量为例 e) 放松结点放松结点4iZ14iZ12iZ12iZ1Pl/8Pl/8Pl/8式中，式中，F11表示广义位移表示广义位移Z1所引起的刚臂内的附加力矩所引起的刚臂内的附加力矩; F1p表示广义荷载表示广义荷载FP或非荷载因素引起的刚臂内的附加力矩或非荷载因素引起的刚臂内的附加力矩第一个下标第一个下标 i 表示该第表示该第 i 个附加约束个附加约束(未知量未知量) 的位置或方向的位置或方向, 第二个下标表示引起反力矩的原因第二个下标表示引起反力矩的原因。设设 k11 表示由单位位移表示由单位位移 Z1=1 所引

35、起的附加刚臂上的反力矩，所引起的附加刚臂上的反力矩，则有：则有：F11=k11Z1，代入上式，得：代入上式，得：即为一个未知量的即为一个未知量的位移法基本方程位移法基本方程，其其实质是平衡条件实质是平衡条件 。0P1111FFF01P111FZkAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBA=14i4i2i2i1M4）求出系数）求出系数k11和自由项和自由项F1P，可利用可利用型常数表型常数表和和载常数载常数表表7-1，在基本结构上分别，在基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和图）和 Z

36、1=1引起的弯引起的弯矩图（矩图（ 图）。图）。再利用再利用节点平衡关系节点平衡关系求出系数求出系数 k11和自由项和自由项 F1P.1M在图在图 中取结点中取结点A为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得 11kABCFPF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAik811 0AM1M在在MP图中取结点图中取结点A为隔离体，由为隔离体，由 ，得，得 0AMlFFP1P81注意：刚臂内的反力矩以顺时针为正。注意：刚臂内的反力矩以顺时针为正。1MMP图图01P111FZk将将k11

37、和和F1P的值代入上式，解得的值代入上式，解得 ilFkFZ64P111P1结果为正，表示结果为正，表示Z1的方向与所设相同。的方向与所设相同。5）结构的）结构的最后弯矩最后弯矩可由可由叠加公式计算叠加公式计算，即，即P11MZMM32/516/16/32/58/8/00642442PPPPPPPlFlFlFlFlFlFilFiiiiMMMMCAACABBA11kABCFPF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAMP图图 1M图图M图图32/516/16/32/58/8/

38、00642442PPPPPPPlFlFlFlFlFlFilFiiiiMMMMCAACABBA例：图示刚架的例：图示刚架的基本未知量基本未知量为结点为结点C、D的水平线位移的水平线位移Z1。在。在结点结点D加一附加支座链杆，就得到加一附加支座链杆，就得到基本结构基本结构。基本体系基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。 1ZCADBEIEI=EA20kN/m6mZ11ZABDCABCD20kN/mF1=01ZCADBEIEI=EA20kN/m6mZ11ZABDCABCD20kN/mF1=001P111FZk（二）只有侧移结构（二）只有侧

39、移结构以一个基本未知量为例以一个基本未知量为例 基本结构基本结构 基本体系基本体系 基本结构在基本结构在结点位移结点位移Z1和和荷载共同荷载共同作用下，链杆上的反力作用下，链杆上的反力F1必定为零（图必定为零（图c）由此建立位移法方程）由此建立位移法方程 ：K11为为Z1=1时引起的链杆内的力；时引起的链杆内的力；F1P 为荷载为荷载P引起的链杆内的力引起的链杆内的力分别在分别在MP图和图和M1图中，要想图中，要想求链杆内的力需截取两柱顶端以求链杆内的力需截取两柱顶端以上部分为隔离体上部分为隔离体，如上图所示，由，如上图所示，由剪力平衡条件剪力平衡条件： 得得 kN45045QQ1PFDBFC

40、AFFF0 xFa)MP图图(kNm)b)M1图图 (1/m)c) M图图(kNm)分别作在分别作在Z1=1和荷载作用下的结构的内力图，如下图。和荷载作用下的结构的内力图，如下图。CDABDBACDBAC(90)-90CDF1PQFFCA=0DBFFQ1PF72EICDk11EI72EI124512EIZ1=111k(90)225135CDABDBACDBAC(90)-90CDF1PQFFCA=0DBFFQ1PF72EICDk11EI72EI124512EIZ1=111k(90)22513536727211EIEIEIk 将将k11和和F1P的值代入位移法方程式，解得的值代入位移法方程式，解得

41、EIZ16201 结构的最后弯矩图可由叠加公式结构的最后弯矩图可由叠加公式 计算后绘制。计算后绘制。 P11MZMM M图图 （三）有侧移结构（一般结构）的典型方程（三）有侧移结构（一般结构）的典型方程以图以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知量的典型方程。中如何建立求解基本未知量的典型方程。1、确定位移法基本未知量、确定位移法基本未知量： 基本未知量为基本未知量为: Z1、Z2 。2、选取位移法基本体系、选取位移法基本体系：如图：如图(b)所示所示3、将原结构的变形根据变形协调进行、将原结构的变形根据变形协调进行 分解，为以下三种变形的叠加：分解

42、，为以下三种变形的叠加： (b)基本体系基本体系1234=Z1Z2R1=0R2=0PPL2l2l1234EI=常数常数Z1Z2(a) 2134PR2PR1P=Z1R211342R111234R22R12Z21）将可能发生位移的节点全锁住将可能发生位移的节点全锁住，求荷载，求荷载P引起的局部变形。引起的局部变形。 锁住锁住 Z1和和Z2，使使1节点不转动且横梁也不水平移动。节点不转动且横梁也不水平移动。2）释放释放1节点此时仍然锁住节点此时仍然锁住Z2。使。使1节点产生实际位移节点产生实际位移Z1（基本（基本 未知量），此时在未知量），此时在1节点处需施加力节点处需施加力R11，对应的变形为实际

43、，对应的变形为实际 位移位移Z1单独引起的变形。单独引起的变形。3）再释放再释放Z2，此时要锁住，此时要锁住Z1，使使2节点或水平梁产生实际位移节点或水平梁产生实际位移Z2 （基本未知量），此时需在（基本未知量），此时需在2节点处需施加力节点处需施加力R22，对应的变形，对应的变形 为实际位移为实际位移Z2单独引起的变形。单独引起的变形。 4 4：用力的平衡条件建立用力的平衡条件建立位移法典型方程位移法典型方程。原结构原结构分解前分解前与与分解后再叠加分解后再叠加应使结构节点处所受的力相同应使结构节点处所受的力相同 ：在在1节点处没有刚臂约束，无外力矩，则应满足：节点处没有刚臂约束，无外力矩，

44、则应满足：R1=0；在在2节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：节点处无水平链杆，无水平外力，则应满足：R2=0。即：即： R1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0R1附加刚臂上的反力矩R2附加链杆上的反力PPR1=R11+R12+R1P=0R2=R21+R22+R2P=0式中第一个下标表示该反力的位置，式中第一个下标表示该反力的位置，第二个下标表示引起该反力的原因第二个下标表示引起该反力的原因。设以 r11、r12分别表示由单位位移：分别表示由单位位移：Z Z1 1=1=1、Z Z2 2=1=1所引起所引起的刚臂上的反力矩；的刚臂上的反力矩；以以r21、r22分别表

45、示由单位位移分别表示由单位位移Z1=1、Z2=1所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成所引起的所引起的链杆上的水平反力，则上式可写成: r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0这就是求解这就是求解Z Z1 1、Z Z2 2的方程即的方程即位移法基本方程位移法基本方程( (典型方程典型方程) )。它的它的物理意义物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本是：基本结构在荷载等外因和结点位移（基本未知量）的共同作用下，未知量）的共同作用下，每一个每一个人为增设的人为增设的附加约束附加约束中中的附的附加反力或反力矩都应等于零加反力或反力矩都应等于零( (，

46、即附加约束实际上不起作用，即附加约束实际上不起作用，为静力平衡条件为静力平衡条件) )。对于具有对于具有 n n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n n 个方程：个方程：r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0 (71）此为具有此为具有n个基本未知量的个基本未知量的位移法典型方程位移法典型方程。式中：。式中：rii 称称为主系数为主系数，主系数恒为正主系数恒为正；rij(ij) 称为称为副系数副系数；RiP称为称为自

47、由项自由项。副系数和自由项可能为正、负或零。副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理得副系数据反力互等定理得副系数 rij=rji (ij)。由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移所引起的附加约束中的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的刚度刚度系数系数。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程刚度方程，位移法也称为刚度法刚度法。5、典型方程中的系数和自由项的计算1）可借助于形常数和载常数(公式7-7和表7-1)，绘出基本结 构在Z1=1、Z2=1、Zi=1、 Zn=1以及荷载（或温变等）作以及荷载（或温变等）作 用下的弯矩图：用下的弯

48、矩图：M1、M2、Mi、Mn和和MP；2）对各图再利用）对各图再利用隔离体法隔离体法求求各基本未知量各基本未知量Zi处处附加约束中的附加约束中的 反力（或反力矩）反力（或反力矩）即为各系数和自由项。即为各系数和自由项。借助于型常数和载常数绘出基本结构在借助于型常数和载常数绘出基本结构在 以及荷以及荷载作用下的弯矩图载作用下的弯矩图 和和MP图图：1 121ZZ、21MM 、对上例：计算典型方程中的系数和自由项计算典型方程中的系数和自由项，1341342134211Z图1M4i2i3i图图2Mli 6li 6li 312ZPMP图8Pl系数和自由项可分为两类系数和自由项可分为两类： 1）附加刚臂

49、上的反力矩）附加刚臂上的反力矩 r11、r12和和R 1P； 2）附加链杆上的反力）附加链杆上的反力 r21、r22和和R2P。 r21r22R2P(a)(b)(c) r21R 1Pr12 r11134211Z图1M4i2i3i r21(a) r21 r11基本结构在基本结构在 作用下附加刚臂作用下附加刚臂及附加链杆的反力。及附加链杆的反力。11Z134Mi123Mi由由1 1结点平衡条件得：结点平衡条件得：1113127rmmi4i3i1117ri13246 ; 0QQFiFl 由由1212部分平衡条件得：部分平衡条件得：2113246()QQirFFl 12 6il0 216irl 单位位

50、移单位位移ZiZi=1=1作用下附加反力（刚度系数）的计算作用下附加反力（刚度系数）的计算对于附加刚臂上的反力矩对于附加刚臂上的反力矩 r11、r12和和R 1P：可分别在图可分别在图(a)、(b)、(c)中取结点中取结点1为隔离体，由力矩平衡方程为隔离体，由力矩平衡方程M1=0求得：求得：r11=7i ， r12= - 6i/l ， R1P=PL/8111 3i4i0R1P08Pl1341342134211Z图1M4i2i3i图2Mli 6li 6li 312ZPMP图8Pl r21r22R2P(a)(b)(c) r11r12R 1Pr12 r11li 6 8Pl。对于附加链杆上的反力对于附

51、加链杆上的反力r21、 r22 和和R2P ：可分别在图：可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部）中用截面法割断两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表分为隔离体，由表7-1查出杆端剪力，由方程查出杆端剪力，由方程X=0求得：求得：r21=Li 6222Li15rR2P=P/213421342134211Z图1M4i2i3i图2Mli 6li 6li 312ZPMP图8Pl r21r22R2P(a)(b)(c)121212 li 60 212li23li 2P0 r21r22R2PR 1Pr12 r11 r21r22R2P将系数和自由项代入典型方程：08

52、PLZLi 6iZ72102PZLi15ZLi 6221解此方程得：，iPL5529Z1iPL55222Z22所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设方向相同。6、解方程，求基本未知量r11Z1+ r12Z2+R1P=0r21Z1+ r22Z2+R2P=0得：7、最后弯矩图由叠加法绘制：P2211MZMZMM例如：杆端弯矩M31为8PLiPL55222Li 6iPL5529i 2M231PL552183M图图1234Pl552183PPl55260Pl55227Pl55227Pl55266M图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）。8、对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。包括平衡条

53、件和位移条件的校核。其方法与力法中所述一样，这里从略。其方法与力法中所述一样，这里从略。计算步骤计算步骤1) 确定结构的基本未知量的数目(独立结点角位移和线位移) 2) 2) 引入附加约束附加约束而得到基本体系。2) (令各附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加约束上的反力矩或反力均应等于零的条件)建立位移法的基本方程。3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。（注意各杆 i 的计算）4) 解典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。5) 按叠加

54、法绘制最后弯矩图。6）内力校核。 超静定结构计算的总原则超静定结构计算的总原则: :欲求超静定结构先取一个欲求超静定结构先取一个基本体系基本体系, ,然后让基本然后让基本体系在体系在受力方面受力方面和和变形方面变形方面与原结构完全一样。与原结构完全一样。 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件） 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁四、典型方程

55、法和直接平衡法四、典型方程法和直接平衡法关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两关于如何建立位移法方程以求解基本未知量的问题，有两种途径可循。种途径可循。 一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构一种途径，已如上所述，是通过选择基本结构，并将原结构与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即与基本体系比较，得出建立位移法方程的平衡条件（即Fi =0）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。）。这种方法能以统一的、典型的形式给出位移法方程。因此，称为因此，称为典型方程法典型方程法。 另一种途径，则是将待分析结构先另一种途径，则是将待分析结构先“拆散拆散”为许多杆

56、件单元，为许多杆件单元，进行单元分析进行单元分析根据根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力式转角位移方程，逐杆写出杆端内力式子；再子；再“组装组装”，进行整体分析，进行整体分析直接利用结点平衡或截直接利用结点平衡或截面平衡条件建立位移法方程面平衡条件建立位移法方程。因此，称为。因此，称为直接平衡法。直接平衡法。 例：试用例：试用力法力法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：将梁中间改为铰接，加多余未知力X1得基本体系如图（B）所示。 建立力法典型方程： 11110PX求系数和自由项：111121122(1)(1)23233LLLEIEIEI 代入典型方程得：120

57、316PF LLXEIEI最后弯矩： 1PM MXM211 11()24216PPpF LF LLEIEI 1332PF LX用力法求解超静定结构用力法求解超静定结构用位移法求解超静定结构用位移法求解超静定结构例：试用例：试用位移法位移法-典型方程法典型方程法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，加刚臂得基本体系如图(B)所示。 2)写出位移法典型方程：EIil3）绘出M1和MP图，求系数和自由项：136016PiZF l1132PZF li 0RZr1P111MPM1163PLR1P6ir111Z13i3i6ir1116

58、3PLR1P4）解方程得：5）叠加法绘弯矩图如图：M=M1*Z1+MP6）校核。用位移法求解超静定结构用位移法求解超静定结构例：试用例：试用位移法位移法-直接平衡法直接平衡法计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图计算图示连续梁结构，并绘出弯矩图。解：1)基本未知量为刚结点B点的角位移Z1，基本体系如图（B）所示。 2)用转角位移方程写出个杆端内力如下（其中 ）EIil0ABM13316BAPMiZF l13BCMiZ0CBM3)从原结构中取出图c隔离体，由平衡条件建立方程并求解。由图c的平衡条件： 得：0BM0BABCMM136016PiZF l1132PZF li 0ABM332BAPMF l33

59、2BCPMF l 0CBM4)回代入2）得各杆端弯矩，并绘最后弯矩图。9.5典型方程法计算荷载作用下超静定结构的内力典型方程法计算荷载作用下超静定结构的内力 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：r11Z1+ + r1iZi+ + r1nZn+R1P=0ri 1Z1+ + ri iZi+ + ri nZn+Ri P=0rn1Z1+ + rniZi+ + rnnZn+RnP=0 (81）此为具有此为具有n个基本未知量的个基本未知量的位移法典型方程位移法典型方程。式中：。式中：rii 为主系数为主系数，主系数恒为正主系数恒为正；rij(ij) 称为称为副系数副系数；RiP为

60、为自由项自由项。副系数和自由项可能为正、负或零。副系数和自由项可能为正、负或零。据反力互等定理得副系数据反力互等定理得副系数 rij=rji (ij)。计算步骤计算步骤1)1) 确定结构的确定结构的基本未知量的数目基本未知量的数目( (独立结点角位移和线位移独立结点角位移和线位移) ) 2)2) 引入引入附加约束附加约束而得到而得到基本体系基本体系。3) 3) 建立位移法的基本方程建立位移法的基本方程。4) 4) 绘出各单位结点位移作用下的弯矩图绘出各单位结点位移作用下的弯矩图MMi i和荷载作用下的和荷载作用下的弯矩图弯矩图MpMp，由平衡条件，由平衡条件求出各系数和自由项求出各系数和自由项