自动控制理论课件：第七章 线性离散系统3

1、7.1 离散系统的基本概念7.2 采样过程和采样定理7.3 信号恢复与信号保持7.4 Z变换理论7.5 线性离散系统的脉冲传递函数7.6 线性离散系统的稳定性与稳态误差7.7 动态响应与闭环零极点分布的关系第七章 线性离散系统7.1 离散系统的基本概念1.定义：当控制系统存在定义在离散时间上的信号时，称为离散系统。2.特点：数字校正比模拟校正效果好，控制规律灵活易于改变有效一直噪声，抗干扰能力强一台计算机可分时控制若干系统，设备利用率高7.1 离散系统的基本概念3.采样开关的工作方式等周期采样多阶采样多速采样随机采样7.2 采样过程和采样定理一、采样过程 采样过程相当于一个脉冲调制过程。7.2

2、 采样过程和采样定理二、采样定理 如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，其最后频率为m ,则只要采样周期T满足： 信号e(t)就可以完整地从采样信号e*(t)中恢复过来。 即采样频率7.2 采样过程和采样定理三、采样周期的选择1.经验数据7.2 采样过程和采样定理三、采样周期的选择2.计算公式： 频域： 时域：7.3 信号恢复与信号保持一、理想的信号恢复：将e*(t)送入理想滤波器中二、零阶保持器：采用恒值外推规律。7.3 信号恢复与信号保持二、零阶保持器7.3 信号恢复与信号保持三、一阶保持器：线性外推7.3 信号恢复与信号保持三、一阶保持器7.4 Z变换理论一、 Z变换的定义 连续函数

3、f(t)的拉氏变换： f(t)的采样信号为： 其拉氏变换： 令 得：二、 Z变换的求法1、级数求和法：逐项进行Z变换2、部分分式法：和拉氏变换对应3、留数计算法：1、级数求和法设连续函数为 ，对应离散函数 :逐项拉氏变换:即： 这就是离散时间函数 进行 变换的级数表达式。2、部分分式法设连续函数为 ，对应拉氏变换为 。若是有理公式，且无重极点，则可将 写成部分分式之和： 式中： 为 的极点数目； 为 的极点； 为常系数。只要求出 及 ，就可以按下式求出 所对应的 变换式 ，即综上所述，已知 求 时，既可以按下面的虚线箭头的步骤求取 ，又可以按实线箭头的步骤求取 。 采样z变换拉氏变换部分分式3

4、、留数计算法设连续函数 的拉氏变换式 及其全部极点 为已知，则可用留数计算法求其 变换。式中 为 在 时的 留数。当 具有一阶极点 时，其留数 为当 具有 阶重复极点 时，相应的留数为三、 Z变换的性质1.线性定理2.平移定理3.初值定理4.终值定理5.复数位移定理6.卷积定理1、线性定理设线性函数为则有上式表明， 变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。2、平移定理 平移定理又叫做实数位移定理。其含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平移称为超前，向右平移称为滞后。平移定理如下所述。 如果函数 是可拉氏变换的，其 变换为 ，则有以及式中 为正整数3、初值定理

5、设函数 的 变换为 ，并且 存在，则有4、终值定理设函数 的 变换为 ，函数序列 为有限值 ，并且极限 存在，则函数序列的终值为：5、复数位移定理如果函数 是可拉氏变换的，对应的 变换为 ，则有 6、卷积和定理设存在式中， 为正整数当 为负数时， 则卷积和定理可以表示为式中四、 Z反变换在离散系统中应用 变换，是为了把 的超越方程或者描述离散系统的差分方程转换为 的代数方程，然后写出离散系统的脉冲传递函数，再用 反变换法求出离散系统的时间响应。 所谓 反变换，是已知 变换表达式 ，求相应离散序列 的过程。记为进行 变换时，信号序列仍是单边的，即当 时,四、 Z反变换1.幂级数展开法2.部分分式

6、法3.留数计算法1、幂级数展开法按 变换定义将象函数 展开成 的无穷幂级数设函数 是 的有理函数，可表示为 的多项式之比利用长除法，所得商按 的升幂排列1、幂级数展开法如果所得到的无穷幂级数是收敛的，则按 变换定义可知，上式中的系数 就是采样脉冲序列 的脉冲强度 。因此，根据上式可以直接写出 的脉冲序列表达式 2、部分分式法 部分分式法又称查表法，其基本思想是根据已知的 ,通过查 变换表找出相应的 ,或者 ；采用部分分式法可以求出离散函数的闭合形式，其方法与求拉普拉斯反变换的部分分式法相似。稍有不同的是，由于 在分子中通常含有 ，因此先将 除以 ，然后再展开为部分分式，最后将所得结果的每一项都

7、乘以 ，即得 的部分分式展开式。3、留数计算法由 变换的定义用 同乘上式两端得由复变函数理论可知3、留数计算法 积分曲线 可以是包含 全部极点的任何封闭曲线， 表示函数 在极点 处的留数 对于一阶极点 的留数为 对于 阶重复极点 的留数为7.5 线性离散系统的脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义二、开环系统的脉冲传递函数三、闭环系统的脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，线性系统（或环节）输出脉冲序列的 变换与输入脉冲的 变换之比，称为系统（或环节）的脉冲传递函数（或 传递函数），即 由上式可以求得采样系统的离散输出信号一、脉冲传递函数的定义 然而对大多数实际系统

8、来说，其输出往往是连续信号 ，而不是采样信号 。此时可以在系统输出端虚设一个理想采样开关，如图中虚线所示，它与输入采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。7-10 两种采样系统框图一、脉冲传递函数的定义 如果系统的实际输出 比较平滑，且采样频率较高，则可用 近似描述 。必须指出，虚设的采样开关实际上是不存在的，它只是表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出连续函数 在采样时刻上的离散值 。一、脉冲传递函数的定义 由线性连续系统的理论可知，当线性部分的输入信号为单位脉冲信号 时，其输出信号称为单位脉冲响应以 表示。当输入信号为如下的脉冲序列时根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和，即在 时刻，

9、输出的脉冲值为一、脉冲传递函数的定义 系统的单位脉冲响应是从 时才开始出现的信号，当 时， 。因此，当 时，上式中的 上式中求和的上限可以扩展为 ，于是可得 根据卷积定理，可得上式的 变换为 由此可见，系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应 经过采样后的离散信号 的 变换，可表示为第七章 线性离散系统7.5.2 开环系统的脉冲传递函数 当开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系统的情况不完全相同。即使两个开环离散系统的组成完全相同，但由于采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会截然不同。 因此对于开环系统的脉冲传递函数，应注意以下两种不同的情况。第七章 线性

10、离散系统1、串联环节之间有采样开关 设开环离散系统如图 所示，在两个串联连续环节 和 之间，有理想采样开关隔离。根据脉冲传递函数定义，可得于是有因此，开环系统脉冲传递函数 （7-26） 上式表明，有理想开关隔开的两个连续环节串联的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积。第七章 线性离散系统2、串联环节之间无采样开关 设开环离散系统如图 所示，在两个串联连续环节 和 之间，没有理想采样开关。显然，系统连续信号的拉氏变换为式中， 为输入采样信号的拉氏变换，即把输出 离散化，并根据采样拉氏变换的性质第七章 线性离散系统 为采样函数的拉氏变换。则有 （7-27） 式中一般来说对式 取 变换

11、，得到式中 定义为 和 乘积的 变换。第七章 线性离散系统 于是开环系统的脉冲传递函数为 （7-28） 上式表明，没有理想采样开关隔开的两个线性环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应 变换。 对比式 和 可知， 变换不串联性。第七章 线性离散系统7.5.3 闭环系统的脉冲传递函数 在连续系统中，闭环传递函数与相应的开环传递函数之间有着确定的关系，所以可以用一种典型的结构图来描述一个闭环系统。 在离散系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，结构形式就不一样，所以没有惟一的典型结构图因而系统的闭环脉冲传递函数就没有一般的计算公式，只能根据系统的具体结构来求取。第七章 线

12、性离散系统 一般地，闭环脉冲传递函数是闭环离散控制系统输出信号的 变换与输入信号的 变换之比，即第七章 线性离散系统7.6 线性离散系统的稳定性与稳态误差7.6.1 离散系统的稳定条件 为了把连续系统在 平面上分析稳定性的结果移植到在平面上分析离散系统的稳定性，需先研究 平面与 平面的映射关系。 变量 到变量 的变换，即 （7-29）因为将上式代入式 得式中第七章 线性离散系统次要带主要带次要带图7-13 S平面、Z平面与W平面的映射关系第七章 线性离散系统7.6.2 离散系统的稳定性判据 连续系统的劳思稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统的稳定性的。但是，在离散系统中需要判断

13、系统特征方程的根是否都在 平面上的单位圆内。因此，连续系统中的劳思判据不能直接套用，必须引入另一种 域到 域的线性变换，使 平面上单位圆，映射成 平面上的左半平面，这种新的坐标变换，称为双线性变换或 变换。第七章 线性离散系统 根据复变函数的双线性变换方法，设则 （7-31）上式中 和 均为复变量。可以用下式表示 将以上两式代入式 ，可得第七章 线性离散系统 对于 平面上的虚轴，实部 ，即 这就是 平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。单位圆内 ，对应于 平面 负数的虚轴左半部单位圆外对应于 平面上实部 为正数的右半部。 平面上的单位圆和 平面上虚轴的映射图形如7-13所示。 综上所述，把 代

14、入闭环采样系统的特征方程，进行 变换之后，即可应用劳思稳定判据。第七章 线性离散系统7.6.3 线性离散系统的稳定误差 计算方法有两种：一种方法是应用 变换终值定理来计算，所得到的稳定误差是 那一点的稳定误差值，它是一个数值，即稳态误差的终值，故也称为终值误差；另一种方法是应用误差脉冲传递函数获得动态误差系数，进而得到稳态误差，它从 开始计时，误差变量对于时间 的函数，它代表在 的稳态情况下，稳态误差的变化过程，其中也包括不随时间变化的恒值过程。第七章 线性离散系统 设离散控制系统结构如图7-15所示，其中 为连续部分传递函数。图7-15 单位反馈离散系统第七章 线性离散系统 由图7-15系统

15、的结构可得，系统在输入作用下的误差脉冲传递函数为所以设系统稳定，即 的全部极点都在 平面的单位圆内。应用 变换的终值定理。可得终值误差 （7-32） 中有 个 的极点的系统称之为 型系统，即当 等于0、1、2时，对应的系统分别称为0型、 型、 型系统。 也成为无差度。第七章 线性离散系统 图7-15所示的不同型别的离散系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差如下：1、单位阶跃输入时的稳态误差 当系统输入是单位阶跃函数 时，其 变换函数所以，有式 知，稳态误差为上式代表离散系统在采样瞬间的终值位置误差。式中 称为静态位置误差系数。第七章 线性离散系统2、单位斜坡输入时的稳态误差 当系统输入是单位斜

16、坡函数 时，其 变换函数所以系统稳态误差为上式也是离散系统在采样瞬间的终值位置误差，可以仿照连续系统，称之为速度误差。式中 称为静态速度误差系数。第七章 线性离散系统3、单位加速度输入时的稳态误差 当系统输入为单位加速度函数 时，其 变换函数 ，因而稳态误差为 当然，上式也是系统的终值位置误差，并成为加速度误差。其中 称之为静态加速度误差系数第七章 线性离散系统 不同型别单位反馈离散系统的稳态误差，如下表系统型别位置误差速度误差加速度误差0型I型II型III型表7-4 单位反馈离散系统的稳态误差第七章 线性离散系统7.7 动态响应与闭环零、极点分布的关系 设线性离散系统的闭环脉冲传递函数为式中

17、， 表示 的零点， 表示 的极点， 是常系数， 和 分别表示 的分子多项式和分母多项式。假定 无重极点。 第七章 线性离散系统 当输入信号是阶跃信号，即 时，离散系统输出信号的 变换为将 展开成部分分式，得到式中上式中等号右端第一项的 反变换是 的稳态分量，第二项的 反变换为 的瞬态分量。第七章 线性离散系统 根据 在单位圆内的位置，可以确定 的动态响应形式，下面分几种情况进行讨论。1、正实轴上的闭环单极点 在这种情况下，显然有 ，其对应的暂态分量 为一指数函数。（1）当 时，闭环极点在 平面上单位圆外的正实轴上，上述指数函数为发散型函数；而其相应的动态响应 是按指数规律发散的脉冲序列。 第七

18、章 线性离散系统（2）当 时，闭环极点在 平面上的单位圆周上，上述指数函数成为一恒值函数；而其相应的动态响应 为一等幅脉冲序列。（3）当 时，闭环极点位于 平面上单位圆内的正实轴上，上述指数函数为衰减型函数；而其相应的动态响应 是按指数规律衰减的脉冲序列，且 越接近原点，衰减越快。第七章 线性离散系统2、负实轴上的闭环单极点 在这种情况下，显然有 。（1）当 时，极点 分布在单位圆外的负实轴上，上述指数函数将振荡发散，系统不稳定；而相应的动态响应 是振荡发散的脉冲序列。（2）当 时，极点 分布在单位圆内的负实轴上，上述指数函数将振荡收敛，相应的动态响应 是振荡收敛的脉冲序列系统稳定。（3）当 时，极点 位