自动控制理论：第二章 控制系统的数学模型

1、 第二章 控制系统的数学模型 2.1 引 言 2.2 线性系统的微分方程 2.3 线性系统的传递函数 2.4 控制系统的结构图 2.5 信号流图与梅森公式1.数学模型： 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。(静态模型和动态模型) 静态模型：静态条件下（变量的各阶导数为零），各变量间关系的数学关系。2.1 引言2.建模方法： 3.常用数学模型 微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图）频率特性 状态空间表达式(或状态模型)(现代控制理论课程)实验法（实验辨识法）解析法（理论推导法）4.数学模型的意义：求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应 频率响应拉氏变换拉氏反变换

2、估算估算计算傅氏变换S=j频率特性是分析系统性能指标、设计系统的主要途径2.2 线性系统的微分方程线性系统：能用线性微分方程描述其输入输出关系。大多数控制系统在一定的限制条件下，用线性微分方程来描述。本节要点：用微分方程的方法建立系统数学模型，其实质是根据系统内部机理建模，并由此了解常用数学模型的特点。 1）确定系统的输入、输出变量； 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程； 3）联立方程，消去中间变量，写出只含有系统输入、输出变量的微分方程； 等式的左边是输出变量，右边是输入变量 4）将系统方程变换成标准形式。微分方程的列写步骤： 2.2.1 电路系统

3、例2.1列写R-L-C电路的微分方程。（忽略输出端负载效应）RLCi(t)ur(t)uc(t)解:消去中间变量i(t)，系统的微分方程为，线性定常二阶微分方程令，方程整理成标准形式系统输入量：ur(t)，输出量uc(t)例2.2弹簧质量阻尼器系统，求质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。 y(t)Fk fmFf为阻尼器的阻尼力, Fk为弹簧的弹性力，可表示为代入式（2-1）整理得线性定常二阶微分方程解: 输入量 ，输出量为位移 y(t) ，由牛顿定律得力平衡方式 F(t)-Ff(t)-Fk(t)=ma（2-1）2.2.2 机械系统 基本元件是质量、弹簧和阻尼器，基本定律是牛顿运动定律和力

4、矩平衡定律。2.2.3 其他系统机电、热工和化工对象等系统都可以通过物理、化学机理建立数学模型。解： 为输入量，电机转速 为输出电磁力矩 -安培定律电枢回路： -基尔霍夫力矩平衡： -牛顿定律（空载）电枢反电势 -楞次定律消去中间变量 i, M , E ，得：反电势系数电动机转矩系数转动惯量例2.3电枢控制直流电动机系统，求数学模型。RLu(t)iSM 若电感L很小，可以忽略，简化为一阶微分方程，若电阻R和惯量J都很小，又简化为 转速 和电枢电压 成正比。电动机作为测速发电机使用线性二阶微分方程电磁时间常数机电时间常数静态增益,令得 线性系统输入量与输出量之间的数学表达式可以用一个线性常系数微

5、分方程表述。具有以下特点： 物理、化学过程不同的系统，但数学模型的推导过程和建立的数学模型却很相似。 微分方程的阶次与系统中储能元件的个数和要求的精度有关，方程中的系数是与系统的结构和参数有关,具有一定的物理意义。 上述系统是按线性系统理论建立的微分方程,为线性系统或非本质非线性系统。 本质非线性在第八章中介绍。 说明 2.2.4 线性系统微分方程的通用形式 输出信号、输入信号的最高求导次数线性定常系统微分方程的一般形式系统输入量系统输出量系统若为常系数，上式描述的系统为线性定常系统(LTI)若为时间的函数（或其中之一），为线性时变系统， ， ， 其中除上式两边，得标准形式为 T1、T2、，T

6、n 为时间常数，反映惯性的大小K0 为传递系数（或静态放大系数）本节小结本节主要讲述线性系统的数学模型 微分方程如何写成不同系统的微分方程 物理机理、原理微分方程的通用形式微分方程: 1）描述时间域系统动态性能的数学模型， 2）系统参数、结构变化，必须重新求微分方程， 3）分析和设计系统不够方便。传递函数： 1）复数域输入输出关系的数学模型， 2）仅用于线性定常系统，也表征系统的动态特 性， 3）当系统参数、结构变化时，不必重新建立数学 模型。传递函数是经典控制理论中最基本、最重要的概念。2.3 控制系统复数域数学模型2.3.1传递函数的定义系统零初始条件时，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量

7、拉氏变换的比。传递函数的标准形式微分方程一般形式：拉氏变换： 首1标准型： 尾1标准型： 传递函数：定义：传递函数的性质1) G(s)是复变量s的有理真分式函数，且nm；2) G(s)只与系统自身的结构参数有关,与 输入信号无关； 3) G(s)与系统微分方程直接关联， 置换即可；4) G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应，即G(s) = L g(t) ；5) G(s) 与 s 平面上的零极点图相对应. 设输入信号是单位脉冲函数，即 的定义： 输出量的拉氏变换等于系统的传递函数，即且拉氏反变换传递函数的零点和极点 0 jS零点用“”表示，极点用“”表示。分子多项式的根zi为传递函数的零点；分母

8、多项式的根pj为极点（系统特征根） K*称为传递系数或根轨迹增益。传递函数的首1标准型(零极点式) 传递函数的尾1标准型(时间常数式)系统增益传递函数的零极点图零初始条件定义的G(s) ：反应系统的零状态特性有两方面的含义:零输入作用是指t= 0 以后,输入才作用于系统，系统输入量及各阶导数在t= 0 时的值均为零；输入作用加入之前，系统相对静止，系统输出量及各阶导数在t=0时的值也为零。说明(1) 输入 u r (t)(2) 初始条件(3) 系统的结构参数 一般规定 r(t) = 1(t) 规定0 初始条件 自身特性决定系统性能影响系统响应的因素系统的输出量：即为系统的输出响应（系统响应）是

9、由传递函数的定义,传递函数：解:零初始条件下取拉氏变换：RLs1/CsI(s)Ur(s)Uc(s)RLCi(t)ur(t)uc(t)例2.6 试列写RLC电路的传递函数 G(s)=Uc(s)/Ur(s).已知:ur(t)Ur(s), i(t)I(s), uc(t)Uc(s), RR, L Ls, c 1/cs例2.7 求例2.4直流电动机控制系统的传递函数。解： 已知系统的微分方程设初始条件为零，对上式拉氏变换传递函数忽略电枢电路电感L，系统的微分方程为传递函数传递函数为忽略电枢电路电阻R和转动惯量J，微分方程为RLiSM （1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息 （2）适合于描述单

10、输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。线性/非线性，定常/时变系统的辨析传递函数的局限性 例2.8 某系统在零初始条件下的阶跃响应为 试求：（1） 系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3） 系统的特征根； （4） 画出对应的零极点图； （5） 求系统的单位脉冲响应； （6） 求系统微分方程； （7） 当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。 解.（1） (2) (3) -=-=-ttee42141ll(5) (6) (4)零极点图如图示（7）其中初始条件引起的自由响应部分 2.3.2 典型环节的传递函数典型环节： 任意一个系统是由许多元件

11、、以不同结构和不同的运动原理构成的。研究各元件运动规律和数学模型，并将它们划分成几种典型的数学模型，这些典型的数学模型即典型环节。常见典型环节 比例环节、惯性环节、积分环节、 微分环节、振荡环节、迟后环节 比例环节（放大环节） 常见物理系统：机械杠杆（无弹性形变的）放大器（非线性和时间延迟可忽略）电路分压器、测速电机电压与转速关系传动链速度比等输出量等于输入量乘以比例系数传递函数传递函数：2.惯性环节特点：有储能元件，对突变的输入信号不能立即复现微分方程：输出量的拉氏变换：常见物理系统：单容液位系统电热炉温度随电压变化系统和单容充放气系统直流电机的励磁回路T为时间常数，惯性环节： 可见，c(t

12、)是非周期单调升的， 所以惯性环节又叫作非周期环节。阶跃输入：阶跃响应：R2C-+R1RC两个实例：3. 积分环节（无差环节）特点：输入量输出量之间呈积分关系初始值为零，上式的解为T为时间常数，传递函数：微分方程：如图是运算放大器构成的积分环节。传递函数为CR积分环节实例：RC图中， 为转角， 为角速度。可见， 为比例环节， 为积分环节。电动机（忽略惯性和摩擦）齿轮组分为理论微分环节和实际微分环节理论微分环节：仅理论上存在，实际中不能单独实现 如纯微分环节，一阶微分和二阶微分环节T为时间常数，传递函数：微分方程： 微分环节（超前环节）一阶微分、二阶微分环节的传递函数不满足nm的条件，实际工程中

13、不会单独存在。如下式存在，所以纯微分环节不能单独存在。单位阶跃输入信号 ，纯微分环节输出量的拉氏变换，其拉氏反变换 ，在实际工程中不实际微分环节（复合微分环节）满足nm的基本条件，可以付诸实际使用。如图示 振荡环节（二阶环节）微分方程:T为时间常数, 为阻尼比。传递函数为有两个贮能元件的系统弹簧阻尼系统,机械旋转系统,RLC电路常见物理系统：为无阻尼振荡频率。 滞后环节（延迟环节） 输出量输入量之间关系满足下列方程为滞后时间，其传递函数为常见物理系统： 传输延迟、测量点与混合点之间信号延迟 轧钢板的厚度控制系统 晶闸管整流装置 流体管传输和热交换系统等x(t)ty(t)t小 结传递函数的性质传

14、递函数的定义传递函数的标准形式传递函数的局限性 (1) G(s) 是复函数； (2) G(s) 只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s) 与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L g(t) ； (5) G(s)与s平面上的零极点图相对应。控制系统模型微分方程（时域）传递函数（复域） 结构图（方框图）是描述元部件或系统动态特性的图示模型。1.信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。2.4.1 结构图的组成 结构图包括：信号线、引出点、函数方框、比较点2.4 控制系统的结构图2. 引出点（测量点）：信号引出或测量的位置 同一信号线上引出的信

15、号，其性质、大小完全一样。3. 函数方框(环节方框) ：对信号进行的数学变换 方框具有运算功能。 注意量纲和符号!相邻比较点可以互换、合并、分解;服从代数运算的交换律、结合律和分配律。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的!4比较点（求和点、综合点）1.用符号“”或 “ ” 及相应的信号箭头表示。2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。结构图是系统原理图与数学方程两者的结合，具有以下特性： 是系统动态特性的一种数学模型，描述系统中各元件间的相互关系、系统中信号的传递和变换。 脱离了物理系统的模型! 是系统数学模型的图解形式! 只能进行加减乘除运算。微分方程则要通过拉氏变换成代数方

16、程，才能用结构图描述系统的动态特性。 可以将复杂原理图简化，了解每个元部件对系统性能的影响。说明2.4.2 结构图的简化复杂系统的方框图也复杂，结构图的简化可以将多环节，互相交叉的结构图转化为简单形式，简化前后系统传递函数不变。以下五种典型情况最常使用。1、串联方框的简化2、并联方框的简化3、反馈连接方框的简化5、引出点移动4、比较点的移动C(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)变换前C(s) G2(s)G1(s)R(s)变换后1、串联方框的简化多个方框串联时，总传递函数等于各方框传递函数之积。C(s) G1(s)G2(s)G3(s)R(s)G3(s)C2(s)G2(s)G1(s)C1(

17、s)R(s)C(s)变换前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s) (-) G1(s) G2(s) G3(s) C(s)2、并联方框的简化 G1(s)+G2(s)-G3(s)变换后 R(s) C(s)多个方框并联，总传递函数等于各方框传递函数之代数和。3、反馈连接方框的简化 C(s)=G(s)E(s) E(s)=R(s) H(s) C(s) C(s)=G(s)R(s) H(s)C(s) = G(s) R(s) G(s) H(s)C(s)R(s)C(s)E(s)G(s)H(s) 是系统的闭环传递函数。图中“+”表示反馈与输入量极性相同，正反馈连接； “-”表示反馈与输入量极性相反，负反馈连接

18、。整理得R(s)C(s) 比较点前移G(s)(-)B(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s)移动前C(s)R(s)G(s)(-)B(s)4 比较点移动比较点后移C(s)=G(s)R(s)-B(s)移动前串接一个与所越过的方框有相同传递函数的方框。C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(-)C(s) = G(s)R(s)-G(s)B(s)移动后G(s)B(s)C(s)R(s)(-)移动后C(s)串接一个与所越过的方框有相同传递函数成倒数的方框。5、引出点移动：G(s)R(s)C1(s)C2(s)引出点前移：移动前C1(s)=G(s)R(s) C2(s)=G(s)R(s)C1(

19、s)=G(s)R(s）C2(s)=G(s)R(s)移动后 G(s)R(s)C(s)R(s)引出点后移：移动前C (s)=G(s)R(s) R(s)=R(s)移动前后输出是等效的C (s)=G(s)R(s）移动后G(s)G(s)C2(s)C1(s)R(s)在分出支路中串接有相同传递函数的方框。 G(s)C(s)R(s)R(s)在分出支路中串接有相同传递函数倒数的方框。R(s)V1(s)V2(s)E1(s)C(s)(-)V2(s)V1(s)(-)C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)(-)或 交换或合并相加点C(s)=E1(s)+V2(s) = R(s)-V1(s)+V2(s) =

20、R(s)+V2(s)-V1(s)结构图的基本形式串 联并 联反 馈G1G2RCG2G1RCRCG1G1G21+RCG1G2RCG1G2RCG1G2G2G1G1G2结构图的基本形式G1G2+G2G1G21结构图等效变换方法1 三种典型结构可直接用公式2 相邻比较点可互换位置、可合并3 相邻引出点可互换位置、可合并注意事项：1 不是典型结构不可直接用公式2 引出点比较点相邻，不可互换位置G1G2G3H1错！G1G2G3H1G2H1G1G3无用功G1G2G3H1G2向同类移动比较点移动G1G2G3H1G1引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果,行吗？

21、G1G4H3G2G3H1G1G4H3G2G3H1H3H1作用分解例2.10 结构图化简。(1) 结构图化简(方法一)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RYG4G3H2Y R(b)G4Y R(c) RY(d)(a) RYG1G2G3H2G4(-)H2G3H1H2+G3H1(-)(2) 结构图化简(方法二)H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RY(b)(3) 结构图化简(方法三)G1G2G3H1/G1G4RY(-)(a)G4G1G2G3YR(-)(b)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY等效为单位反馈系统(4)其它等价法则R(s) (-)C(s)G(s)H

22、(s)G(s)H(s) (-)C(s)R(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)C(s)R(s)G(s) -H(s)E(s) 负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s) =R(s)+(-1)H(s)Cs) =R(s)+-H(s)C(s) E(s)结构图小结方框图的组成串联方框图的化简并联方框图的化简反馈方框图的化简比较点、引出点的移动2.5信号流图与梅森公式2.5.1 信号流图 信号流图源于梅逊（S. J. MASON），是利用图示法描述线性代数方程组的一种方法。 根据统一的公式，可以比结构图更容易求得系统的传递函数。组成: 信号流图由节点和支路组成节点: 表示系统的变

23、量或信号支路: 连接两个节点的定向线段，用支路增益表示两个变量的关系。信号沿箭头单向传递。axyY=ax通路：沿箭头方向穿过各相连支路的路径x1x2x3x4x5, x1x2x5 输入节点(源节点) x1 ：只有输出支路，代表系统的输入量；输出节点(阱节点 ) x5：只有输入支路，代表系统的输出量；混合节点：有输入又有输出的节点；基本性质前向通路：输入到输出通路上通过任何节点仅一次的通路；回路：起点终点重合，过任何节点仅一次的闭合通路；不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。信号流图与结构图的对应关系 信号流图 结构图 源节点 输入信号 阱节点 输出信号 混合节点 比较点 支路 环节 支路增益

24、 环节传递函数 前向通路 回路 互不接回路2.5.1 信号流图的绘制 小圆圈标出传递的信号，得到节点；线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。(节点)G(s) C(s) R(s)C(s)R(s) G(s)(节点)(支路)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (-)(a) 结构图C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流图1. 结构图信号流图(信号流图结构图)节点只表示变量的相加。 例2.12 绘制结构图对应的信号流图(1) 。Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-

25、11/R11/C1s1/C2s1/R2Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-) (-) (-)E (s)系统信号流图例2.13结构图 信号流图控制系统结构图例2.14信号流图结构图 将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程； 每个变量指定一个节点； 将方程按照变量的因果关系排列；连接各节点，并标明支路增益。2. 由系统微分方程绘制信号流图信号传递流程：C1 ui R1 R2 uo i1i例2.15绘制图示信号流图。解：微分方程拉氏变换得 整理Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s) uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1信号流图 第

26、k条前向通路的余子式(把与第i条前向通路接 触的回路去除，剩余回路构成的子特征式2.5.3 梅森公式Mason公式:信号流图 梅森公式 计算总增益 特征式 前向通路的条数 第k条前向通路的总增益 所有单独回路的回路增益之和 两两互不接触回路的回路增益乘积之和 互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益 乘积之和 解：三个回路例2.16 已知系统信号流图，求传递函数。两条前向通路 R G1 G2 G3 H2 -H2 -H1 C G4例 2.17 求C(s)/R(s)例 2.18 求C(s)/R(s)例 2.19 求C(s)/R(s)四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1+前向通路两条信号流图afbgchefhgahfced(1g)bdabc例 2.20例 2.21 求C(s)/R(s)例 2.22 求C(s)/R(s)信号图小结信号图的组成信号图与方框图的转换梅森公式2.6 闭环系统的传递函数 实际的控制系统不仅受到控制系统的作用，还会受到干扰信号的作用。如图所示为一个具有扰动作用的闭环系统。 图中R(s)是控制输入信号，N(s)为扰动信号，C(s)是系统输出信号，E(s)代表误差信号，若将R(s) 、N(s)看做系统的外作用。 C(s) 、E(s)看做是系统的输出。，则系统可看做