数学物理方法：第十二章 格林函数法

1、第十二章 格林函数法数学物理方法 d 函数 数学物理方法由物理学家狄拉克首先引进。讨论物理学中的一切点量质点点电荷瞬时力脉冲等定义 d 函数是指具有以下性质的函数：物理意义：集中的量的密度函数以一维举例讨论如图，设在无穷直线上 区间内有均匀的电荷分布，总电量为一个单位，在区间外无电荷，则电荷密度函数为把 d 函数看作弱收敛函数的弱极限。若 f(x) 在 内连续，由中值定理有对于 有对于 在 连续，有或者表示的是任意阶可微函数的极限，通常意义下没有意义，只在积分运算中才有意义。当 时，得到点电荷的密度函数此积分应理解为 从数学角度看，d 函数的引入简化了先对函数序列进行微积分计算，后取极限的过程

2、。对于任意一个在 x = 0 点连续并且有连续导数的函数，f(x) 有 有关d 函数的等式应该在积分意义下理解。令两边微商，得因为傅里叶反演，得拉普拉斯变换以上是一维情况下的 d 函数。二维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为 线电荷三维： 处有一个单位点电荷，密度分布函数为 面电荷 例题求证： ，其中 为拉普拉斯算符， ， 。要证明 ，就是要证明积分意义下证明 当 时，有三式相加，可得 当 时， 不可导，将 V 取为整个三维空间令 ，上式积分与 a 无关可知因此即定解问题的解 定解条件 方程的非齐次项 理论物理研究中的常用方法之一 若函数 u (x, y, z) = u ( r ) ，v

3、(x, y, z) = v ( r ) ， dr = dxdydz 在 区域 V 及其边界面 S 上连续，规定 S 的外法线方向为正。预备知识 格林第一公式格林第二公式证明格林第一公式高斯公式 方向导数 证明由格林第一公式知： 将上式中的 u 和 v 交换位置得： 格林第二公式(1)(2)： 格林公式通常指格林第二公式，在格林函数法求解定解问题时常要用到。在区间 a, b 上，考虑边值问题：定义 格林函数12.1 格林函数的概念（i）G1和 G2 在所定义的区间上满足方程： （ii）G 满足边界条件（iii）G 在 x0 点连续（iv）G以 x = x0为一不连续点，其跳跃是满足条件（i）（i

4、v）所定义的函数 G 称为与该边值问题相联系的格林函数。以上是以微分方程为例定义的格林函数，下面从偏微分方程的角度理解格林函数的概念。非齐次方程的定解问题以静电场为例，静电势的定解问题为： 非齐次项为 d 函数的非齐次方程的定解问题稳定问题的 G 函数 = 定解问题的解非齐次项为 d 函数的原数理方程同类型边界条件的边界条件对称性12.2 稳定问题格林函数的一般性质证明为了便于讨论，将格林函数分为两部分：点源附近的发散行为三维情况二维情况一维情况一维情况二维情况三维情况格林函数在点源附近的发散行为随着维数的降低而减弱用傅里叶积分变换法求解解一记 12.3 三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数对方

5、程实施三重傅里叶积分变换，可得：则 则其中又知： 可写为： 两边同乘以 r ：解二亥姆霍兹方程是波动方程分离掉时间因子 得到的 12.4 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数一些基本概念：（1）称定解问题 的解为 三维泊松方程的格林函数。通过积分直接求解，可 得三维泊松方程的格林函数为（2）称定解问题 的解为 二维泊松方程的格林函数。通过积分直接求解，可 得二维泊松方程的格林函数为（4）称定解问题 的解为二维泊松方程 的迪利科莱格林函数。易知（3）称定解问题 的解为三维泊松 方程的迪利科莱格林函数。易推得迪利科莱格林函数可用本征函数展开法和电像法求解一些已求得的迪利科莱格林函数：下面以圆域的迪利科莱格林函数为例，求解过程本征函数展开法电像法本征函数展开法解一将展开式代入原方程，问题转化为求解圆内泊松方程第一边值问题格林函数的级数解为：解二对空间的几何形状有相当严格的限制电像法：将边界上产生的感生电荷等价为一个点电荷将接地圆内的点电荷问题等价的转化为无界空间中的两个点电荷优点：可以给出有限形式的解缺点：适用范围有限若等价电荷位于 r1(x1, y1) 处，则 r1 必在真实电荷 r0 的半径延长线上，位于圆外（感生电荷的电势在圆内出处连续）设等价电荷的电量为 e ，则圆内的电势为与电势零点的选择有关采用极坐标