数理方程与特殊函数杨春PPT学习教案

1、会计学1数理方程与特殊函数杨春数理方程与特殊函数杨春2本次课主要内容(一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性狄氏问题格林函数 (二)、三维空间中狄氏问题格林函数(三)、平面中的三个格林公式第1页/共39页3定理1 (唯一性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是唯一的。 120()0SSvvuu (一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性证明：设u1与u2是定解问题 0,( , , )( , , )SSux y zVux y z 的两个解。令v=u1-u2,则：由调和函数性质知：在VS上：1212()0SSVVvuuuu第2页/共39页41110,( , , )SSux y zVuf定理2 (稳定性定理) 拉氏

2、方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明：设在边界S上给出两个函数f1与f2,且： 12ff拉氏方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即： 2220,( , , )SSux y zVuf令： 那么：12vuu120,( , , )SSvx y zVvff 由调和函数极值原理，v在VS上的极值只能在S上取得，所以 第3页/共39页521uu即证明了稳定性。 定理3 拉氏方程的牛曼问题的解，若不管任意常数的差别，是唯一的。 证明：设u1与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：Snuu110Snuu220令：12vuu第4页/共39页6则：00Svvn由第一格林公式：SVVu v dSuv

3、dVu vdV 取 21uuvu222121212()()()()()()uuuuuuuvxyz 第5页/共39页7由条件：0SSvu v dSudSn 0Svn0)()()(221221221dVzuuyuuxuuV所以：第6页/共39页8121212()()()0uuuuuuxyz12vuuc于是得到：定理4 拉氏方程的牛曼问题的解，对边界条件不稳定。证明：设f1与f2是拉氏方程对应的两个不同的边界条件，又设u1与u2是对应于两个边界条件的解。由定理3，两个解相差一个常数，因此，无论边界条件相差如何小，第7页/共39页9解的相差可能不会任意小，即解不稳定。 (二)、三维空间中狄氏问题格林函

4、数 1、狄氏问题格林函数的引出泊松方程狄氏问题为：( , , ),( , , )( , , ),(xxyyzzSSuuuuf x y zx y zVux y z 连续）(1)、解的积分表达式设u(x,y,z)为定解问题的解，令v(x,y,z)为VS上调和函数。第8页/共39页10由第二格林公式：由定解问题得：由第三格林公式，如下定解问题SVuvvudSv uu v dVnn Vv udV( , , )*SVuvvudSvf x y z dVnn第9页/共39页11的解为：(),(),()SSSuf MMVuuMv Mn011111()44SVu MvdSfdVrn rr结合*可得如下等式：01

5、1111()44SVSVu MvdSfdVrn rruvvudSvfdVnn第10页/共39页121114414SVuvvuvudSrnrnnvfdVr 1114414SVuuvvuudSrnnn rnvfdVr 114414SVuvuvdSrnnrvfdVr第11页/共39页13000(,)(,)(,)*SVG M MuG M MudSG M MfdVnn其中：001(,)( , , )4MMG M Mv x y zr容易验证：00(,)()G M MM M如果令G(M,M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理0(,)0SG M M第12页/共39页14定理：泊松方程狄氏解为：其中G(M,M0

6、)满足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 推论：拉氏方程狄氏解为：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn00(,)()SG M Mu MdSn定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。第13页/共39页15定义：若G(M,M0)满足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 则称G(M,M0)为定义在VS上的三维狄氏格林函数。(1)、方程G(M,M0 )= -(M-M0)的解物理意义是：空间M0点处有一电量为(真空中的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势，其大小为G(M,M0)=1/4r；(2)、狄氏格林函数的定义

7、与性质 狄氏格林函数的物理意义rMM0第14页/共39页16(2)、狄氏格林函数定解问题的解的物理意义为：接地导电壳内M0处有正点电荷，该电荷与它在边界面上产生的感应电荷在壳内M处产生的电势叠加为定解问题的解，其大小为G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。 根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格林函数，只需要求出感应电荷产生的电势v (x ,y , z)即可！rMM0 下次课里我们将根据其物理意义，采用物理方法-电像法来求格林函数。第15页/共39页17性质1：狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。当MM0时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相

8、同。狄氏格林函数的性质性质2：在边界上格林函数恒等于零。性质3：在区域V内，有：0010(,)4MMG M Mr第16页/共39页18证明：由格林函数定义：其中：001(,)()4MMG M Mv Mr0()0,14SSv MM MVvr 由于在边界S上有：v0，所以，由极值原理，在整个VS上v0。所以：00011(,)()44MMMMG M Mv Mrr 下面证明：0(,)0G M M第17页/共39页19一方面：以M0为心在V中作球V,球面设为S0(,)0()14SSSSSG M MMVVGGv则：M0MSVxyz00lim(,)SSG M M 第18页/共39页20由极值原理：0(,)0

9、G M M 另一方面，容易知道：对任意的0, 在VS-V中的点M，函数G(M,M0)不能为零。 所以，我们有：0(,)0G M M 至此，证明了：0010(,)4MMG M Mr第19页/共39页21性质4 Green函数具有对称性(物理上称为互易性 )，即 );();(1221MMGMMG证明： (课后自学) 如图所示，以M1,M2为球心，为半径作 球K1 与K2，其边界分别记为S1,S2。S1S2M1M2S令：U=G(M,M1) ,V= G(M,M2) ,在VS-K1-K2上利用格林第二公式得：12SSSVVUUVdSU VV U dVnn第20页/共39页22注意到，在 VS-K1-K2

10、上,U与V是调和函数，且在S上有U|S=V|S=0，于是有：(1) 对于：120*SSVUUVdSnn1SVUUVdSnn11SSVUUdSVdSnn第21页/共39页23而：1121(,)(,)SSVG M MUdSG M MdSnn1121(,)()4MMSG M Mv MdSrn111221(,)(,)()4MMSSG M MG M MdSv MdSrnn所以：10lim0SVUdSn第22页/共39页24而对于所以：1SUVdSn112(,)(,)SG M MG M MdSn1121(,)()4MMSG M Mv MdSnr111221(,)(,)()4MMSSG M MdSG M M

11、v M dSnrn1120lim(,)SUVdSG M Mn第23页/共39页25所以： 1120lim(,)SVUUVdSG M Mnn (2) 对于2SVUUVdSnn22SSVUUdSVdSnn第24页/共39页26而：所以：20lim0SUVdSn2210lim(,)SVUUVdSG MMnn由*得：1221(,)(,)0G MMG MM即得：);();(1221MMGMMG第25页/共39页27等式);();(1221MMGMMG的物理意义是：把电量为的点电荷放在M1处在M2处产生的电势应等于把它放在M2处时，在M1处产生的电势。(三)、平面中的三个格林公式首先证明一个定理：设闭区域

12、D由分段光滑的曲线L围成，且f( x, y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：2222DLfffdxdydsxyn第26页/共39页28证明：注意到：sincosdxdsdyds xLnyD所以：LLfffdsdxdynyx第27页/共39页29由平面曲线格林公式：(1) 第一格林公式设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则：DLvuvuv d xd yud sn2222DLfffd x d yd sxynLLvvvudsudxudynyx证明：第28页/共39页30LLvvvudsudxudynyx所以由平

13、面曲线格林公式：Duvuv dxdy(2) 第二格林公式证明：由第一格林公式：LDvuuvdSu vv u dxdynn 在第一格林公式条件下：第29页/共39页31证明：由第一格林公式：(1)DLvuvuv d xd yud sn(2 )DLuuvvu d xd yvd sn由(1)-(2)得：(3) 第三格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，令：LDvuuvdSu vv u dxdynn 第30页/共39页32011(,)ln2M Mvxyr0001111()lnln2211ln2M MM MLDuu MudSrnnrudr

14、则：证明：由于v(x,y)在D内只有唯一奇点M0,所以，以M0为心，为半径作圆K,其边界为L第31页/共39页33由第二格林公式：M0LLxyoLLDKvuuvdSu vv u dnn 注意到，在D-K内，有v= 0,于是得：第32页/共39页34而：1ln2LLLvuvuuvdSudSrdSnnnn0000,M MM MLLxxyyvudSuvdSnrr 12LudSLLDKvuuvdSv udnn 第33页/共39页35而：001lim()2LudSu M01limln02LurdSn所以：0001111()lnln2211ln2M MM MLDuu MudSrnnrudr由第三格林公式可得如下结论：第34页/共39页36定理：平面泊松方程洛平问题的解为：0001111()lnln2211ln( ,)2M MM MLD