控制系统的稳定PPT学习教案

1、会计学1控制系统的稳定控制系统的稳定第1页/共45页(, )0eexf x tex 0 x 4.1 4.1 李雅普诺夫稳定性概念李雅普诺夫稳定性概念 平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程，令 所求得的解 x ,便是平衡状态。 （1）只有状态稳定，输出必然稳定； （2）稳定性与输入无关。2) 2) 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义： 如果对于任意小的 0，均存在一个 ，初始状态满足 时，系统运动轨迹满足lim ，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。 表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为：0),(0texx0extxtx),;(00exx

2、02021100)()(neneexxxxxx3) 3) 一致稳定性：一致稳定性： 通常与、t0 都有关。如果与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。 第2页/共45页textxtx0),;(lim00 称此平衡状态是渐近稳定的。 5 5）大范围稳定性：）大范围稳定性： 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。 此时 。 ,( ),Sx 6 6）不稳定性）不稳定性 ： 不论取得得多么小，只要在 内有一条从x0 出发的轨迹跨出 ，则称此平衡状态是不稳定的。 ( )S( )S注意注意：

3、按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。第3页/共45页稳定性定义的平面几何表示 （a）李雅普诺夫意义下的稳定性 （b）渐近稳定性 （c）不稳定性第4页/共45页Axx 0)Re(ini, 1 第5页/共45页4.3 4.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫稳定性直接判别法 nxx,1( , )V x t( )V x( , )V x t( )V xPxxT第6页/共45页( )V x)0( x0)(xV0)0(V2221)(xxxV( )V x0)(xV0)0(V(

4、 )V x)()(2221xxxV( )V x( )V x( )V x0)0(V( )V x0)(xV0)(xV0)(xV( )V x( )V x( )V x221)2()(xxxV( )V x( )V x21)(xxxV二次型函数二次型函数 是一类重要的标量函数，记nnnnnnTxxppppxxPxxxV111111)(其中，P 为对称矩阵，有 。 jiijpp第7页/共45页0, 0, 011112221121111nnnnppppppppp 则 正定，且称 P为正定矩阵。当 P的各顺序主子行列式负、正相间时，即 ( )V x0) 1( , 0, 011112221121111nnnnnp

5、pppppppp则 负定，且称 P为负定矩阵。若主子行列式含有等于零的情况，则 为正半定或负半定。不属以上所有情况的 不定。( )V x( )V x( )V x第8页/共45页 正正。的的所所有有主主子子行行列列式式均均为为即即正正定定阵阵矩矩正正定定的的充充分分必必要要条条件件是是二二次次型型一一赛赛尔尔维维斯斯特特准准则则即即为为实实对对称称矩矩阵阵其其中中单单项项式式的的纯纯量量函函数数各各项项均均为为自自变变量量的的二二次次二二次次型型则则二二次次型型及及赛赛尔尔维维斯斯特特准准三三PPPXXxVPPPPPPPPPPPxPXTTjiijnnnnn,)(.1)(,x x x xXV(x)

6、:.n 1 2 11 12 11n2 1T 二次型赛乐维斯特准则二次型赛乐维斯特准则第9页/共45页正定正定即即负定负定矩阵矩阵负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是二次型二次型PPPXXxVpPPPPPPPPPPTnnnnn ,)(2.0 0 0 2111211n222112112111第10页/共45页征值。征值。不足之处是需要计算特不足之处是需要计算特来确定来确定的特征值的特征值可根据可根据的正定性的正定性对称矩阵对称矩阵为此为此负半定及不定性较困难负半定及不定性较困难的正半定的正半定特别是特别是性性的正定的正定来确定矩阵来确定矩阵依据其主子行列式的值依据其主子行列式的值的所有主子行列

7、式较多的所有主子行列式较多由于较高阶数的由于较高阶数的正半定正半定即即负半定负半定是矩阵是矩阵负半定的充分必要条件负半定的充分必要条件二次型二次型的所有主子行列式非负的所有主子行列式非负即即正半定正半定是矩阵是矩阵正半定的充分必要条件正半定的充分必要条件二次型二次型, ,)(4.,)(3.PPPPPPPPXXxVPPPXXxVTT 第11页/共45页有的为负有的为负正正它的特征值有的为它的特征值有的为不定的充分必要条件是不定的充分必要条件是不大于零不大于零是它的特征值均为是它的特征值均为负半定的充分必要条件负半定的充分必要条件不小于零不小于零是它的特征值均为是它的特征值均为正半定的充分必要条件

8、正半定的充分必要条件它的特征值均为负它的特征值均为负负定的充分必要条件是负定的充分必要条件是它的特征值均为正它的特征值均为正正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是二二,5.4.3.2. 10)(PPPPPP 定理：定理：第12页/共45页 0192 11 10010 x x 1 1- 2-1- 2 1 2- 1 10 x x242210 xV(x)2132 132 1323121232221 xxxxxxxxxx解解323121232221242210 xV(x).)(. 1xxxxxxxxxV 的的正正定定性性确确定定二二次次型型例例正定正定V(x) 051 1- 2-1- 2 1 2-

9、1 103 第13页/共45页4.3.2 4.3.2 李雅普诺夫第二法诸稳定性定理李雅普诺夫第二法诸稳定性定理 ),(txfx 0), 0(tf( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t定理定理1 1 若（1） 负定；则原点是渐近稳定的。 负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。( , )V x t( , )V x t 定理定理2 若（1）正定；（2）负半定，且在非零状态不恒为零；则原点是渐近稳定的。( , )V x t( , )0V x t ),;(00txtx0),(txV负半定表示在非零状态存在 ，但在从初态出发的轨迹 上，不存

10、在的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。( , )V x t( , )V x t0),(txV 定理定理3 3 若（1）正定；（2）负半定，且在非零状态恒为零；则原点是李雅普，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态沿状态轨迹能维持诺夫意义下稳定的。而不运行至原点。( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t( , )V x t 定理定理4 4 若（1）正定；（2）正定；则原点是不稳定的。正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。正定，当正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳参考定理2

11、可推论：推论：定。第14页/共45页注意：注意：李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。( , )V x t( , )V x t( , )V x t),;(00ttxtxV0),(txV0 x0),(txV0),(txV具体分析具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数，通常选二次型函数，求其导数再将状态方程代入，最后根据是否有恒为零：令将状态方程代入，若能导出非零解非零解，表示对，若导出的是全零解，表示只有原点满足的条件。的定号性判别稳定性。的条件是成立的；)(2221121xxxxx)(2221212xxxxx01x 02x 02x01x)()(2221xxxV221122)(xxxx

12、xV)(2)(2221xxxV( , )V x t( , )V x t例例4-14-1 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。 解解 令及，可以解得原点（）是系统的唯一平衡状态。，则 将状态方程代入有 显然负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。鉴于只有一个平衡状态，该非线性与t 无关，系统大范围一致渐近稳定。取李雅普诺夫函数为 系统是大范围渐近稳定的。因判断判断在非零状态下第15页/共45页21xx 212xxx021 xx22212)(xxxV)(2)(212xxxxV021 xx0)(xV012xx0)(xV)(xV( , )V x t2221)(xxxV222)(xxV02x01

13、x0)(xV0)(xV)(xV例例4-24-2 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 ，解解 令得知原点是唯一的平衡状态。选则当时，；当时，故不定，不能对稳定性作出判断，应重选选 ，则考虑状态方程后得对于非零状态（如）存在，对于其余非零状态，故根据定理2，原点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。负半定。) 0(21kkxx 12xx021xx2221)(kxxxV022)(1221xkxxkxxV0)(xV例例4-34-3 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 ，解解 由可知原点是唯一平衡状态。选，考虑状态方程则有 对所有状态，故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。第16页/共45页21xx 21

14、2xxx2221)(xxxV222)(xxV)(xV1x0, 021xx0)(xV0)(xV)(xV例例4-44-4 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 解解 原点是唯一平衡状态。选，则，与故存在非零状态（如使而对其余任意状态有，故根据定理4的推论，系统不稳定。无关，)正半定。121zz2122zzz 解解 111zz是系统的唯一平衡状态，方程中的常数项可以看作是阶跃输入作用的111xz，221xz得到 21xx 212xxx原状态方程在Z状态空间（1，1）处稳定性判别问题就变成变换后状态方程在 X2221)(kxxxV 对其求导考虑状态方程得到22222122)(xxxxV系统原点是大范围

15、一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态（1，1）处是大结果。作坐标变换选状态空间原点处稳定性的判别问题。围一致渐近稳定的。注意：注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。例例4-54-5 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。第17页/共45页例例4-64-6 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。 2xaxx解解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令0 x 得知系统有两个平衡状态，0 x和xa 对位于原点的平衡状态，选2( )V xx232( )222()V xaxxx ax于是，当0a时，系统在原点处的平衡状态是局部()xa根据定理4，当0a 时原点显然是不稳

16、定的0a时原点也是不稳定的0)(, 0 xVx从状态方程直接看出。xa，作坐标变换zxa，得到新的状态方程 2zaz z因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间xa 处的平衡状态，当0a 时是局部一致渐近稳定的；当0a 时是不稳定的，0a 时也是不稳定的。一致渐近稳定的。或系统发散，也可以当对于平衡状态当有第18页/共45页4.4 4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析4.4.1 4.4.1 连续系统渐近稳定的判别连续系统渐近稳定的判别 设系统状态方程为 Axx ，A平衡状态。可以取下列正定二次型函数作为李雅普诺夫函数 PxxxVT)(xA

17、PPAxxPxPxxxVTTTT)()(QAPPAT( )TVxx Qx 根据定理1，只要Q正定（即)(xV 负定）则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性线性P，存在满足 式的Q为非奇异矩阵，故原点是唯一求导并考虑状态方程令得到定常连续系统定常连续系统渐近稳定的判定条件判定条件可表示为：给定一正定矩阵正定矩阵。( )V x(#)(#)先指定正定的Q阵，然后验证P阵是否正定。注：注：()第19页/共45页定理定理5 5 （证明从略）系统xAx渐近稳定的充要条件充要条件为：给定正定实对称矩阵给定正定实对称矩阵Q正定实对称矩阵正定实对称矩阵P使 式成立。，存在存在 该定理为系统的渐近稳定性判断带来实

18、用上的极大方便。() -x1(s)=y(s)x3(s)u(s)x2(s)K例例4-74-7 试用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的值范围。1ks 12s 1s例4-7 系统框图解解 由图示状态变量列写状态方程 uKxKx0010120010稳定性与输入无关，可令0u。由于0detKA，A非奇异，原点为唯一的平衡状Q为正半定矩阵态。取 100000000Q则23)(xQxxxVT，)(xV负半定。令0)(xV，有03x，考虑状态方程中 313xKxx，解得01x；考虑到21xx ，解得02x，表明唯有原点存在0)(xV第20页/共45页令 QPAPAT1000000001012001011

19、002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK展开的代数方程为6个，即 0213 Kp，02121123ppKp，0131233ppKp 0422212 pp，03222313ppp，0223323 pp解得 KKKKKKKKKKKKKKKP2126212021221232126021261212122使P正定的条件为：1220K及0K 。故06K时，系统渐近稳定。由于是线性定常系统，系统大范围一致渐近稳定。第21页/共45页（二）应用定理判稳步骤：一个李氏函数，为系统的系统渐近稳定，且，是否正定。若判据，判由。，求

20、出由。，取设。，通常确定系统的平衡状态PxxxVPPSylvesterPIPAPAIQPxxxVxxTTTee)(0)4() 3()()2(0) 1 (。试确定该系统的稳定性唯一的平衡状态，为非奇异，原点是一个设二阶系统的方程为例Axxxx2121223084第22页/共45页函数是这个系统的一个李氏并且且满足，矩阵，存在一个正定的对称的一个正定对称矩阵要条件是：对任给处大范围渐近稳定的充系统在设离散系统为)()()(00)() 1(kPxkxkxVQPPGGPQxxkGxkxTTee)()1()()2(, 0)()()(01kxvkxVkxVPkPxkxkxVPT表示变量的变化率用差分来为实

21、对称矩阵。数为，设所选的一个李氏函）证明：（4.4.2 4.4.2 离散系统渐近稳定的判别离散系统渐近稳定的判别 第23页/共45页为系统李氏函数。且：，系统渐近稳定，是否正定。若）、判断（解出，由）、取（）、确定（、判稳步骤)()()(032;12kPxkxkxVPPPIPPGGIQxTTe值范围。为渐近稳定的，确定使系统平衡状态试用李雅普诺夫直接法。且设线性离散系统为例kxkkGkGxkxe00,020100010)() 1(94第24页/共45页是渐近稳定的。正定，系统在平衡状态，矩阵分母试当（求得，代入是正定的，解：设PkkkkkkkkPIPPGGIQT)0(2)2(1)23)2(10

22、)2(1)2(12000110001000122222第25页/共45页4.4.3线性时变系统稳定性分析线性时变系统稳定性分析方程黎卡提，。设RiccatitPtAtPtPtAtQxVtQxtQxxtAtPtPtPtAxxtPxxtPxxtPxxVtPtxtPtxtxVtxtAxTTTTTTTT)()()()()()(0)(0)()()()()()()()()()()(0)(, 0)()()(),()()(第26页/共45页4.5 4.5 李雅普诺夫稳定性分析的应用李雅普诺夫稳定性分析的应用一、线性定常系统设计一、线性定常系统设计（古典校正） 不稳定系统（校正）稳定pbuxx)pApA(x)b

23、uAx(pxpx)buAx(xpxpxx)x(V)x(Vppxx)x(VbuAxx:SISOTTTTTTTT2201、正定，、0)(2200)(2pbxkpbuxpbkxupApAQQxVTTTT同时选，选第27页/共45页，即状态反馈。是状态变量的线性组合而此时系统渐近稳定pbkxuT使系统达到渐近稳定。来校正的稳定系统。试确定属于李氏意义下，系统处于临界振荡，为所示，对应微分方程、设系统的结构图如图例,)(10. 411tuuxx uxuxxxxxVIpIxxpxxxxxVuxxxxTT21221222112212)22)(,)(（则选解：状态方程第28页/共45页正常数，当kkx)x(V

24、kxu02222，系统渐进稳定外，其值均为不恒等于除00ex)x(V: ) t (kx) t ( r) t (u) t ( r2：则若存在二、系统动态性能估算二、系统动态性能估算xxxVxxQxxxVxxPQQxxxpApAxxVppxxxVxAxxTTTTTTTTeminmaxminmaxminmaxminmax)(,0)(0,)()()2(0,)() 1 (0则。最小的特征值中，最大同样设则：最小特征值为最大特征值为的特征值中，设渐进稳定时，在线性系统第29页/共45页第30页/共45页所需的时间。到到式，即可估算出和利用所需时间到从曲线之间。条特征的时间曲线总包含在两由上图，可见)T(xV)(xV)x(V)()()()T(xV)(xVlnT)()T(xV)(xVlnTTTTT)T(xV)(xV)t (xVssmaxminminssminmaxmaxsmaxssminsss02120100第31页/共45页三、应用李氏直接法求系统参数最优化三、应用李氏直接法求系统参数最优化最优化问题。为参数的可调用参数值的问题达到极小