数值模拟梁单元PPT学习教案

1、会计学1数值模拟梁单元数值模拟梁单元任一个节点 i 的位移用列阵表示为： Tiiiiiff i称为节点i的节点位移。对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力 和弯矩 ，称为广义力。iZiM TiiiiiMZMZQ iQ称为节点i的节点载荷。梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。任一个节点任一个节点 i i 的的载荷用列阵表示为：第1页/共31页v单元有单元有2个节点，个节点，节点局部编号：节点局部编号：i，j 。每节点有每节点有2个位移分个位移分量，单元共有量，单元共有4个位移分量个位移分量4个自由度个自由度；v单元节点位移分量单元节点位移分量：v分析一个从上述梁结构中分析一个

2、从上述梁结构中取出的典型梁单元取出的典型梁单元 e。单元长度单元长度l，弹弹性模量性模量E，截面惯性矩为截面惯性矩为J。 Tjjiieff称为单元称为单元e的单元节点位移列阵（向量）的单元节点位移列阵（向量）。 e第2页/共31页v结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该梁单元的作用力，称为单元节点力。对该梁单元的作用力，称为单元节点力。每节点每节点2 2个节点力分个节点力分量量：剪力剪力q q，弯矩弯矩m m（分别与节点的分别与节点的2 2个位移分量对应）。个位移分量对应）。v单元节点力分量单元节点力分量： Tjjiie

3、mqmqp称为单元称为单元e的单元节点力列阵（向量）的单元节点力列阵（向量）。 epv注意注意：v如图所示，如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向一致轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！正方向的定义不同！v节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。的外力。 （参见参见P5的的1115行行）第3页/共31页（2）单元特性研究）单元特性研究v结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的，结构中的一个梁单元的变形是由节点

4、位移决定的，对于一个受对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这，这个关系就是单元的弹性特性（刚度特性）。个关系就是单元的弹性特性（刚度特性）。v下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵性质建立梁单元的特性下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵性质建立梁单元的特性 根据前面的分析，在弹性、小变形前提下，显然，根据前面的分析，在弹性、小变形前提下，显然，单元保单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系，用矩阵形式表示，用矩阵形式表示为：为：jjiijjiiffaaaaaaaaaaaaaaaamq

5、mq44434241343332312423222114131211简记为：简记为： eeekp梁单元的刚度方程梁单元的刚度方程第4页/共31页上式中上式中 称为称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数，其中每个元素都是常数。 ek 方便起见，方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号节点力和节点位移分量用新的符号表示表示，刚度方程为：，刚度方程为：4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss为了为了分析单元刚度矩阵元素的物理意义分析单元刚度矩阵元素的物理意义，上式中令：，上式中令：00014321uu

6、uu413121114321aaaassss（这里这里1，2，3，4是单元是单元自由度序号自由度序号） 可见，某列刚度系数就是相应节点位移分量为可见，某列刚度系数就是相应节点位移分量为1，其他位移分，其他位移分量皆为量皆为0时的所有节点力分量时的所有节点力分量单元刚度矩阵元素的物理意义单元刚度矩阵元素的物理意义由刚度方程可得由刚度方程可得：第5页/共31页现根据刚度矩阵的物理意义确定刚度系数现根据刚度矩阵的物理意义确定刚度系数： 0001e设设则梁单元变形如右图则梁单元变形如右图：413121114321aaaassss按材料力学梁变形公式求节点力如下按材料力学梁变形公式求节点力如下：挠度挠度

7、：EJlsEJlsu23122311转角转角：EJlsEJlsu221220联立解出联立解出：21221131612alEJsalEJs再由梁单元的静力平衡条件得：再由梁单元的静力平衡条件得：41221431313612alEJslssalEJss 至此已求出刚度矩阵至此已求出刚度矩阵的第一列元素的第一列元素。第6页/共31页再设：再设： 0010e则梁单元变形如右图则梁单元变形如右图：423222124321aaaassss由刚度方程可得：由刚度方程可得：4321444342413433323124232221141312114321uuuuaaaaaaaaaaaaaaaassss同理，由梁

8、的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：lEJalEJa4622212lEJalEJa2642232第7页/共31页同样的方法可以解出其余同样的方法可以解出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵列元素，从而求出单元刚度矩阵： 2222346266126122646612612lllllllllllllEJke 显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质：具有如下性质： 1）对称性；）对称性； 2）奇异性；）奇异性； 3）主对角元素恒正。）主对角元素恒正。 eeekpv刚度矩阵

9、求得后，单元特性就完全确定。刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定。第8页/共31页（3）单元刚度方程的分）单元刚度方程的分块块v采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程程按节点进行分块按节点进行分块。单元节点力列阵分块单元节点力列阵分块 ejieppp ejie单元节点位移列阵分块单元节点位移列阵分块分块形式的单元刚度矩阵：分块形式的单元刚度矩阵： ejjjiijiiekkkkk上述每一子块均为上述每一子块均为21子列阵。子列阵。 每一子块均为每一子块均为22子矩阵子矩阵第9页/共31页因此，单元刚度方程分块形式表示为：因此，单元刚度方程分块形式

10、表示为：上式按分块形式展开，得两个矢量方程（共上式按分块形式展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：个代数方程）： ejeijeieiieikkp ejejjeiejiejkkpv上述上述按分块形式表示的单元节点力与节点位移之间的关系在按分块形式表示的单元节点力与节点位移之间的关系在结构的整体分析时更简洁结构的整体分析时更简洁。ejiejjjiijiiejikkkkpp第10页/共31页离散结构的整体分析121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp343344433433343kkkkpp设已知分块形式的各单元特性设已知分块形式的各单元特性：第11页/共

11、31页 离散结构的各节点作为隔离体，分析其受力平衡离散结构的各节点作为隔离体，分析其受力平衡。单元节点力单元节点力的反作用力的反作用力外载荷外载荷单元节点力单元节点力单元节点力单元节点力v 以节点以节点2为例为例，分析其受力与平衡。，分析其受力与平衡。 节点节点2的受力分为两类：的受力分为两类： 1）外载荷：）外载荷： 2）单元（）单元（1）和（）和（2）上节点力的反作用力）上节点力的反作用力：22,MZ22221212,mqmq第12页/共31页由节点由节点2的静力平衡条件得的静力平衡条件得： 221222221212222ppmqmqMZQ单元节点力的反作用力外载荷单元节点力单元节点力 节

12、点节点2 2的外载荷等于节点的外载荷等于节点2 2对其所有相连单元对其所有相连单元的节点力之和！的节点力之和！也就是节点也就是节点2 2所受外载荷所受外载荷 要分配到相连的单元上。要分配到相连的单元上。 2Q第13页/共31页v由前面给出的单元（由前面给出的单元（1 1）、（）、（2 2）分块）分块形式单元刚度方程代入节点形式单元刚度方程代入节点2 2的平衡方的平衡方程：程：121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp 32232222122112122122)(kkkkppQ 121221112112kkp 232232222222kkp第14页/共3

13、1页v同理，由节点同理，由节点3的平衡可得：的平衡可得： 43343333233223233233)(kkkkppQv由节点由节点1、4的平衡得：的平衡得： 21121111111kkpQ 43443343344kkpQ43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk 将上面将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：第15页/共31页 QK上式简写为：上式简写为： Q K 结构节点位移列阵（结构节点位移列阵（ 8 1 1） 结构节点载荷列阵（结构节点载荷列阵（ 8 1 1

14、） 结构总刚度矩阵（结构总刚度矩阵（8 8 8） 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK第16页/共31页 关于结构总刚度矩阵的讨论关于结构总刚度矩阵的讨论第17页/共31页 关于结构有限元平衡方程的讨论关于结构有限元平衡方程的讨论43214321344343334333233232223222122121112111000000QQQQkkkkkkkkkkkk第18页/共31页 iiiiMYXQ iiiivu Q第19页/共31页fTqm第20页/共31页（2 2）建立单元特性方程）建立单元特性方程v在小变形假设下，在小

15、变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。分别。分别研究两种变形模式下的刚度特性。研究两种变形模式下的刚度特性。v利用前面所学的杆单元和简单梁单元的节点力与节点位移关利用前面所学的杆单元和简单梁单元的节点力与节点位移关系（单元刚度方程），进行联立，整理成矩阵形式得到下列系（单元刚度方程），进行联立，整理成矩阵形式得到下列组合变形下的平面梁单元刚度方程：组合变形下的平面梁单元刚度方程：第21页/共31页第22页/共31页i 1000cossin0sincos第23页/共31页 Tjjjiiievuvu节点力矢量与节点位移矢量节点力矢量与节点位移矢量满足相同的坐标变

16、换关系满足相同的坐标变换关系 TjyjxjiyixiemPPmPPp 第24页/共31页 eeeTeeTkTp eeekp eeTeeTkTk 1 TTT第25页/共31页、平面刚架的整体分析平面刚架的整体分析平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。析相同。根据每个节点外载荷与结构的节点力平衡导出系统的平衡方根据每个节点外载荷与结构的节点力平衡导出系统的平衡方程。再引入约束条件后求解。程。再引入约束条件后求解。总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到： emekK1 QK第2

17、6页/共31页 ziyixiiiiiwvu zjyjxjjjjjwvu jie第27页/共31页 局部坐标系下单元刚度特性分局部坐标系下单元刚度特性分析析v三维梁单元的三维梁单元的变形模式变形模式为：为：轴向拉伸、轴向拉伸、2 2个主平面内弯曲个主平面内弯曲、扭转变形的组合、扭转变形的组合。v前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部局部坐标系下单元的扭转刚度方程坐标系下单元的扭转刚度方程：v由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形的刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维