矢量分析与场论天津大学流体力学基础实用教案

1、2矢端曲线(qxin)为了能用图形来直观地表示矢性因数A)的变化状态(zhungti)，把A的的起点取在坐标原点这样，当 t 变化时，矢量A(t)的终点就描绘出一条曲线)；这条曲线叫矢性函数A的的矢端曲线，亦叫做矢性函数A(t)的图形当我们(w men)把A(t)的起点取在坐标原点O，A(t)实际上就成为其终点M的矢径矢径有这样一个特点，就是它的三个坐标 正好对应地等于它的终点M的三个坐标x ,y, z此式就是曲线L以t为参数的参数方程和矢量方程是一一对应的例如：已知圆柱螺旋线的参数方程为其矢量方程为其矢量方程为第1页/共285页第一页，共285页。3矢性函数(hnsh)的极限和连续性矢性函数

2、就有类似于数性图数中的一些极限(jxin)运算的法则第2页/共285页第二页，共285页。 (2) 矢性函数连续性的定义：若矢性函数 A(t)在点 t。的某个(mu )邻域内有定义， 而且有则称A(t)在tt。处连续。 若矢性函数(hnsh)A在某个区间内的每一点处都连续，则称它在该区间内连续第3页/共285页第三页，共285页。 第二节 矢性函数的微分法1 矢性函数的导数 矢性函数A(t)(矢量的起点相同)，当数性变量从t变到 t十t时( t十t0) ，对应(duyng)的矢量分别为 与叫做矢性函数(hnsh)A(6)的增量，记作A，据此，我们就可给出矢性函数的导数(do sh)定义定义：矢

3、性函数A(t)在点t处的增量A与对应的 t之比如图(15)，则第4页/共285页第四页，共285页。此式把求矢性函数(hnsh)的导矢，归结为求三个数性函数(hnsh)的导数 例如(lr)：圆柱螺旋线的矢量方程为 则其导矢 第5页/共285页第五页，共285页。第6页/共285页第六页，共285页。3矢性函数(hnsh)的微分设有矢性函数AA(t)，我们把dAA(t)dt (dtt)称为(chn wi)矢性因数A(t) 在t处的微分第7页/共285页第七页，共285页。这说明(shumng)，矢径函数对(其矢端曲线)的弧长S的导数 为一单位矢量第8页/共285页第八页，共285页。 设矢性函数

4、AA(t)，BB(t)及数性函数(t)在t的某个范围内可导，则下列公式(gngsh)在该范围内成立4 矢性函数的导数(do sh)公式第9页/共285页第九页，共285页。定长矢量A(t)与其导矢互相(h xing)垂直特别对于单位矢量A。A。(t)有第10页/共285页第十页，共285页。第三节 矢性函数(hnsh)的积分 1 矢性函数的不定积分 定义(dngy)：若B(t)A(t)，则称B(t)为A(t)的一个原函数A(t)的原函数的全体，叫做A(t)的不定积分，记作 dttA )( 由于矢性函数的不定积分和数性函数的不定积分在形式上完全类似，因此，数性函数不定积分的基本(jbn)性质对矢

5、性因数来说仍然成立。第11页/共285页第十一页，共285页。 矢性函数(hnsh)的定积分矢性函数的定积分(jfn)概念也和数性困数的完全类似因此，也相应地具有数性函数定积分(jfn)的基本性质。第12页/共285页第十二页，共285页。 在许多科学、技术问题中，常常要考察某种物理量（温度；密度、电位、力、速度等等)在空间的分布和变化规律为了揭示和探索这些(zhxi)规率，数学上就引进了场的概念第二章 场 论 第一节 场1 场的概念 如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的场如果这物理量是数量(shling)就称这个场为数量(shl

6、ing)场，若是矢量就称这个场为矢量场，例如温度场、密度场、电位场等为数量(shling)场，而力场、速度场等为矢量场 2数量场的等值面 由数量场的定义可知，分布在数量场中各点处的数量u是场中之点M的单值函数uu(M)，当取定了oxyz坐标系以后，成为(chngwi)点M的坐标(x,y,z)的函数 一个数量场，可以用一个函数来表示第13页/共285页第十三页，共285页。在数量场中，为了宣观地研究物理量M在场中的分布(fnb)状况，需要考察场中有相同物理量的点，也就是使u(M)取相同数的点值的各点。 这个(zh ge)方程，一般在几伺上表示一曲而，这个(zh ge)曲面，称为数员场的等值面例如

7、温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面；电位场中的等值面，就是由电位相同的点须组成的等位面。 若在(12)式中给常数c一系列不同的数值，就得到(d do)一系列不同的等值面，参看图(21)，这族等值面充满整个数量场所在的空间，而且互不相交通过数量场的每一点存一个等值面；一个点只在第14页/共285页第十四页，共285页。比如地形图上的等高线，地面气象图上的等压线等等，就是平面数量场中等值线的例子 数量场的等值面或等位线，以直观地帮助(bngzh)我们了解物理量在场中的分布状况第15页/共285页第十五页，共285页。第16页/共285页第十六页，共285页。第17页/共285页第十

8、七页，共285页。第18页/共285页第十八页，共285页。第19页/共285页第十九页，共285页。第20页/共285页第二十页，共285页。第21页/共285页第二十一页，共285页。第22页/共285页第二十二页，共285页。第23页/共285页第二十三页，共285页。 2梯度 方向导数给我们解决了函数u(M)在给定点处沿某个(mu )方加的变化率问题然而从场中给定点出发，有无穷多个方向函数u(M )，沿其中的哪个方向其变化率最大，最大的变化率又是多少呢?方向(fngxing)导数的公式中：第24页/共285页第二十四页，共285页。 (1)梯度的定义：若在数量场u(M)中的一点M处，存

9、在矢量G，其方向为函数u(M)在该点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值则称矢量G为函数u(M)在该点处的锑度，记作gradM，即 gradMG 梯度的这个定义是与坐标系无关(wgun)的，它是由数量场中数量u(M)的分布所决定的它在直角坐标系中的表示式为第25页/共285页第二十五页，共285页。(2) 梯度的性质：从(27)式我们可以得到梯度的 两个重要性质： 1) 方向(fngxing)导效等于梯度在该方向(fngxing)的投影，即有： 2) 数量场中每一点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且 指向函数(hnsh)u(M)增大的方向因梯度具有上述性质，它是数量场中的一个重

10、要概念如果我们把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来(q li)，就得到一个矢量场，称为由此数量场产生的梯度场 (3) 哈米尔顿(Hamllton)算子为了方便，我们引入一个矢段微分算子 叫做哈米尔顿算子记号是一个微分运算符号，但同时又要当作矢量看待其运算规则是：第26页/共285页第二十六页，共285页。第27页/共285页第二十七页，共285页。第28页/共285页第二十八页，共285页。第29页/共285页第二十九页，共285页。第30页/共285页第三十页，共285页。第三节 矢量(shling)场的通量及散度 具有连续转动切线的曲线，称为光滑曲线； 具有连续转动法线的曲面，称为

11、光滑曲面 为了简便起见，我们把由有限多段不相交的光滑曲线连成的曲线，叫做简单曲线；而由有限多块不相交的光滑曲面连成的曲面叫做简单曲面 假定(jidng)：以后所讲到的曲线都是简单曲线；所讲到的曲瓦也都是简单曲面 另外，为了区分曲面的两侧，取其中的一面作为曲面的正侧，并规定曲面的法矢M是指向正侧的；如果曲面是封闭的，则取其外侧为正侧这种取定正侧的曲面，叫做有向曲面 1通量 先看一个例子，设有流速场V(M)，其中流体是不可压缩的(即流体之密度是不变的)，为了简便，假定其密度为1，设S为场中一有向曲面，计算在单位时间内流体从正侧穿过(chun u)S的流星Q第31页/共285页第三十一页，共285页

12、。 为此，在S上取一曲面元素dS, 同时又以dS表示其面积，M为dS上任一点，出于dS甚小，可以将其上每一点处的速度矢量V与法矢n都近似地看作不变，见都与M点处的V与n相同,这样，流体穿过dS的流量(liling)dQ，就近似地等于以dS为底面积，而以Vn为高的柱体体积 .第32页/共285页第三十二页，共285页。第33页/共285页第三十三页，共285页。第34页/共285页第三十四页，共285页。第35页/共285页第三十五页，共285页。第36页/共285页第三十六页，共285页。 一般应理解为：在单位时间(shjin)内流体向正侧穿过曲面S的正流量与负流量的代数和所以，当Q0时，就表

13、示向正侧穿边S的流量多于沿相反方向穿过S的流量；同理，当Q0或Q0，则表示向正侧穿过好的流量少于或等于沿相反方向穿过S的流量。 如果好为一封闭曲面，则流量 表示从内穿出S的正流量与从外穿入S的负流量的代数和从而当Q0时，就表示流出多于流入，此时在S内必有产生流体的泉源。当然，也可能还有排泄流体的漏洞，但所产生的流体必定多于排泄的流体因此，在Q0时，不论S内有无漏洞，我们总说S内有正源；同理，当Q0时，我们就说S内有负源 依此在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭(fngb)曲面S的通量，我们也视其为正或为负而说S内有正源或负源至于其源的实际意义为何，应视具体的物理场而定第37页/共285页第三

14、十七页，共285页。第38页/共285页第三十八页，共285页。2散度 由上述可知，在矢量场A(M)中，对于穿出闭曲面S的通量，我们可以视其为正或为负得知S内有正源或负源但仅此还不能了解源在S内的分布情况以及源的强弱程度等问题(wnt)为此,我们引入矢量场的散度概念第39页/共285页第三十九页，共285页。 由此定义(dngy)可见散度divA为一数量，表示场内一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度因此，当divA之值不为零时，其符号为正或为负，就顺次表示在该点处有散发通量之正源或有吸收通量的负源，其绝对值IdivAI就相应地提示征该点处

15、散发通量或吸收通量的强度；当div A之值为零时，就表示在该点处无源由此，称div=0的场为无源场(2) 散度在直角坐标泵中的表示式 散度的定义(dngy)是与坐标系无关的其在直角坐标系中的表示式为：第40页/共285页第四十页，共285页。第41页/共285页第四十一页，共285页。第42页/共285页第四十二页，共285页。第43页/共285页第四十三页，共285页。第44页/共285页第四十四页，共285页。第45页/共285页第四十五页，共285页。第46页/共285页第四十六页，共285页。第47页/共285页第四十七页，共285页。第48页/共285页第四十八页，共285页。第49

16、页/共285页第四十九页，共285页。第50页/共285页第五十页，共285页。第51页/共285页第五十一页，共285页。第52页/共285页第五十二页，共285页。第53页/共285页第五十三页，共285页。 2旋度 从上面我们看到，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如数量场中的方向导数与方向有关一样然而在数量场中，我们提出了一个梯度矢量(shling)，在给定点处，它的方向表出了最大方向导数的方向，其模即为最大方向导数的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的方向导数。 希望也能找到这样一种矢量(shling)，它与环量面密度的关系，正如梯度与方向导数之间的关系一样。 为此，我

17、来看环量面密度的计算公式(412)容易看出，它和方向导数计算公式(22)很类似若把其中三个数第54页/共285页第五十四页，共285页。 上式表明，在给定点处，R在任一方向n上的投影，就结出该方向上的环量面密度。从而(cng r)可知，R的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值这说明矢量R完全符合我们所希望找到的那种矢量，我们把它叫做矢量场A的旋度。定义如下：1 旋度的定义(dngy)：若在矢量场A中的一点M处存在这样的一个矢量R，矢量场A在点M处沿其方向的环量面密度为最大。这个最大的数值，正好就是IRI，则称矢量R为矢量场A在点M处的旋度，记做rotA，即简言之，旋度矢量在

18、数值和方向上表示了最大的环量面密度施度的上述定义，是与坐标系无关(wgun)的上面(413)式中的矢量R是它在直角坐标系个的表示式就是说，在直角坐标系中有:第55页/共285页第五十五页，共285页。第56页/共285页第五十六页，共285页。第57页/共285页第五十七页，共285页。第58页/共285页第五十八页，共285页。第59页/共285页第五十九页，共285页。第60页/共285页第六十页，共285页。第61页/共285页第六十一页，共285页。第62页/共285页第六十二页，共285页。第63页/共285页第六十三页，共285页。第64页/共285页第六十四页，共285页。第65

19、页/共285页第六十五页，共285页。 2) 平面调和场我们先介绍平行平面场的概念： 如果某个矢量(shling)场具有这样的几何特点，就是场中所有的矢量(shling)都平行于某一平面，而且在垂直于 的任意直线的所有点上，场中矢量(shling)的大小和方向都相同，则称这种矢量(shling)场为平行平面场，通常把平行平面场简称为平面场现在来看平面调和场，平面调和场是指既无源又无旋的平面矢量(shling)场和空间调和场的概念完全类似，但它比起空间调和场来说，具有某些特殊性质：第66页/共285页第六十六页，共285页。第67页/共285页第六十七页，共285页。 这两个方程即是二维拉普拉斯

20、方程由此可知：函数u与v均为满足二维拉普拉斯方程的调和函数。又因二者由(521)式联系着，并称其为共轭调和函数，（5.21)式为共轭调和条件(tiojin)应用达个条件(tiojin)，就可以从u与v中的一个求出另一个来，第68页/共285页第六十八页，共285页。第69页/共285页第六十九页，共285页。第70页/共285页第七十页，共285页。第71页/共285页第七十一页，共285页。第72页/共285页第七十二页，共285页。二、复数(fsh)表示法 1 复平面 一个(y )复数zx十iy由一对有序实数(x，y) 确定，所以在平面上取直角坐标系XOY，就可以用坐标为(x，y)的点表示

21、复数zx+iy(于是复数就与平面上的点一一对应。实数与x抽上的点一一对应，X轴称为实轴； 纯虚数iy与y轴上的点一一对应，y称为虚轴。第73页/共285页第七十三页，共285页。第74页/共285页第七十四页，共285页。第75页/共285页第七十五页，共285页。第76页/共285页第七十六页，共285页。第77页/共285页第七十七页，共285页。第78页/共285页第七十八页，共285页。第79页/共285页第七十九页，共285页。第80页/共285页第八十页，共285页。第81页/共285页第八十一页，共285页。第82页/共285页第八十二页，共285页。第83页/共285页第八十三

22、页，共285页。第84页/共285页第八十四页，共285页。第85页/共285页第八十五页，共285页。第86页/共285页第八十六页，共285页。第87页/共285页第八十七页，共285页。第88页/共285页第八十八页，共285页。第89页/共285页第八十九页，共285页。第90页/共285页第九十页，共285页。第91页/共285页第九十一页，共285页。第92页/共285页第九十二页，共285页。4 平面(pngmin)点集和区域一、点集摄念 按照其一法则在全体复数内选取有限个或无限个复数组成(z chn)一个复数集t，这个集合中的复数在复平面上对应的点就组成(z chn)一个点集，

23、即点集是内复平面上有限个或无限个点组成(z chn)的整合第93页/共285页第九十三页，共285页。第94页/共285页第九十四页，共285页。第95页/共285页第九十五页，共285页。第96页/共285页第九十六页，共285页。975 复变函数(hnsh)的定义称为为函数值对应的与上的定义义wzzEfivuwzEffiyxzE ),( , , , , . 复复变变数数简简称称复复变变函函数数的的函函数数复复变变数数是是那那末末称称之之对对应应与与就就有有一一个个或或几几个个复复数数的的每每一一个个复复数数中中对对于于集集合合按按这这个个法法则则存存在在确确定定的的法法则则如如果果有有一一

24、个个的的集集合合是是一一个个复复数数设设 1.复变函数复变函数(hnsh)的的定义定义:).( zfw 记作记作第97页/共285页第九十七页，共285页。982.单单(多多)值函数值函数(hnsh)的定义的定义:. )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果zfwz3.定义集合定义集合(jh)和函数值集合和函数值集合(jh): ; )( )( 定定义义域域的的定定义义集集合合称称为为集集合合z

25、fE.( , )( 值域）称为函数值集合称为函数值集合值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于EfwzE()| , ( ) f EwzE f zw 第98页/共285页第九十八页，共285页。994. 复变函数(hnsh)与自变量之间的关系:例如例如(lr),(lr), , 2zw 函数函数, ivuwiyxz 令令2)( iyxivu 则则,222xyiyx : 2数数对对应应于于两两个个二二元元实实变变函函于于是是函函数数zw ,22yxu .2xyv : )( 相当于两个关系式相当于两个关系式之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(

26、yxvvyxuu . 的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx( )( , )( , ),wf zu x yiv x y 若令若令z=rei ,则则 w=f(z)=u(r, )+i v(r, )222222222cossincos siniz rewzrrurvr 第99页/共285页第九十九页，共285页。第100页/共285页第一百页，共285页。101复变函数(hnsh)的几何意义（1）. 引入引入:. , , , , 的的点点集集之之间间的的对对应应关关系系上上必必须须看看成成是是两两个个复复平平面面的的几几何何图图形形表表示示出出来来因因而而无

27、无法法用用同同一一平平面面内内之之间间的的对对应应关关系系和和由由于于它它反反映映了了两两对对变变量量对对于于复复变变函函数数yxvu第101页/共285页第一百零一页，共285页。102（2）复变函数的几何）复变函数的几何(j h)意意义义:).()( )( )( , , 或或变变换换的的映映射射函函数数值值集集合合平平面面上上的的一一个个点点集集变变到到定定义义集集合合平平面面上上的的一一个个点点集集是是把把在在几几何何上上就就可可以以看看作作那那末末函函数数值值的的平平面面上上的的点点表表示示函函数数而而用用另另一一个个平平面面的的值值平平面面上上的的点点表表示示自自变变量量如如果果用用

28、FwEzzfwwwzz 取两张复平面，分别取两张复平面，分别(fnbi)称为称为z平面和平面和w平平面面第102页/共285页第一百零二页，共285页。103. ),( , )( 的的原原象象称称为为而而映映象象的的象象称称为为那那末末中中的的点点映映射射成成被被映映射射中中的的点点如如果果wzzwwFzfwzE . )( 所所构构成成的的映映射射函函数数这这个个映映射射通通常常简简称称为为由由zfw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C 第103页/共285页第一百零三页，共285页。104 . )1构构成成的的映映射射函函数数zw xyouvoiz3

29、21 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC (3). 两个两个(lin )特殊特殊的映射的映射:. ibawwibazz 的点的点平面上平面上映射成映射成平面上的点平面上的点将将第104页/共285页第一百零四页，共285页。105xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . , 映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起平面平面平面和平面和如果把如果把zwwz o1w 2w 1z 2z 且是全同图形且是全同图形(txng

30、).第105页/共285页第一百零五页，共285页。106 . )22构成的映射构成的映射函数函数zw . 1 ,43, 1 1,21, 321321 wiwwwzizizz平面上的点平面上的点映射成映射成平面上的点平面上的点显然将显然将xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z第106页/共285页第一百零六页，共285页。107 . 2构成的映射构成的映射函数函数zw 根据复数根据复数(fsh)的乘法公式可知的乘法公式可知, . 2的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw xyouvo 2 . 2 的角形域的角形域平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为的角形域映射成的角形域映射成平面

31、上与实轴交角为平面上与实轴交角为将将 wz第107页/共285页第一百零七页，共285页。108 : 2数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函函数函数zw .2,22xyvyxu ,2, 2122cxycyxxyz 曲线曲线标轴为渐近线的等轴双标轴为渐近线的等轴双和坐和坐线线平面上的两族分别以直平面上的两族分别以直它把它把(如下如下(rxi)页图页图)., 21cvcuw 平面上的两族平行直线平面上的两族平行直线分别映射成分别映射成第108页/共285页第一百零八页，共285页。109xyouvoW 将第一图中两块阴影部分映射将第一图中两块阴影部分映射(yngsh)成成第二图中同一个长方

32、形第二图中同一个长方形.第109页/共285页第一百零九页，共285页。110 : 的象的参数方程为的象的参数方程为直线直线 x ) (.2,22为参数为参数yyvyu : 得得消去参数消去参数 y),(4222uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口开口(ki ku)相左的抛物线相左的抛物线.(图中红色图中红色曲线曲线) : 的象为的象为同理直线同理直线 y),(4222uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口开口(ki ku)相右的抛物线相右的抛物线.(图中蓝图中蓝色曲线色曲线)第110页/共285页第一百一十页，共285页。1116. 反函数的定义反函数的定义(dngy): .)( , )( ,

33、 )( 点点或或几几个个中中的的一一个个必必将将对对应应着着每每一一个个点点中中的的那那末末平平面面上上的的集集合合数数值值集集合合为为函函平平面面上上的的集集合合的的定定义义集集合合为为设设EwFEfFwEzzfw . )( , )( , )( ,)( 1的逆映射的逆映射为映射为映射也称也称的反函数的反函数它称为函数它称为函数函数函数或多值或多值上就确定了一个单值上就确定了一个单值于是在于是在zfwzfwwfzF 记作：第111页/共285页第一百一十一页，共285页。112根据根据(gnj)反函数的定义反函数的定义,Fw ),(wfw 当反函数当反函数(hnsh)为单值为单值函数函数(hn

34、sh)时时, .),(Ezzfz . . )() ( ,)( )( )( )( 是是一一一一对对应应的的合合与与集集也也可可称称集集合合是是一一一一对对应应的的射射映映那那末末称称函函数数都都是是单单值值的的逆逆映映射射与与它它的的反反函函数数映映射射如如果果函函数数FEzfwwzzfw 今后不再今后不再(b zi)区别函数与映射区别函数与映射.第112页/共285页第一百一十二页，共285页。113解解例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ;4 , 20 )1( r线段线段, , iiewrez 设设,2, 2 r则则,2 , 40 4

35、, 20 映射为映射为故线段故线段r还是还是(hi shi)线段线段.xyouvo 2zw第113页/共285页第一百一十三页，共285页。114例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw ; 4 )2(22 yx双曲线双曲线, ivuwiyxz 令令ivu 则则,222xyiyx ,22yxu 解解, 4422 uyx . 轴的直线轴的直线平行于平行于vxyo 2zwuvo22 4第114页/共285页第一百一十四页，共285页。115例例1 1: 2上的象上的象平面平面下求下列平面点集在下求下列平面点集在在映射在映射wzw 解解. 20 ,4

36、0 )3( r 扇形域扇形域, , iiewrez 设设,2, 2 r则则, 40,20 映射为映射为故扇形域故扇形域20 ,40 r 2zw仍是扇形仍是扇形(shn xn)域域.第115页/共285页第一百一十五页，共285页。116例例2 2解解 . 2 ,1 的象的象求圆周求圆周对于映射对于映射 zzzw, ivuwiyxz 令令zzw1 映射映射,22yxiyxiyxivu , 22yxxxu 于是于是,22yxyyv : 2 的参数方程为的参数方程为圆周圆周 z20,sin2cos2 yx第116页/共285页第一百一十六页，共285页。11720,sin23cos25 vu所以所以

37、(suy)象的参数方象的参数方程为程为 : 平面上的椭圆平面上的椭圆表示表示 w. 123252222 vu第117页/共285页第一百一十七页，共285页。1186 、复变函数(hnsh)的极限与连续1.函数函数(hnsh)极限的极限的定义定义:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称有有时时使得当使得当相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAz

38、fzzzz 或或记作记作注意注意(zh (zh y):y): . 0的方式是任意的的方式是任意的定义中定义中zz 一一.函数极限函数极限:第118页/共285页第一百一十八页，共285页。1192. 极限计算极限计算(j sun)的性质的性质定理定理(dngl)1.2.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设证证 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根据极限根据极限(jxin)的定的定义义 , )()(0 00时时当当 iyxiyx

39、 ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.第119页/共285页第一百一十九页，共285页。120 , )()(0 2020时时或当或当 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020时时那么当那么当 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有第120页/共285页第一百二十页，共285页。121 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0时时故当故当 zz

40、,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以证毕证毕说明说明(shumng). ),( ),( , ),(),()( 的的极极限限问问题题和和函函数数转转化化为为求求两两个个二二元元实实变变的的极极限限问问题题该该定定理理将将求求复复变变函函数数yxvyxuyxivyxuzf 第121页/共285页第一百二十一页，共285页。122定理定理(dngl).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限性质与实变函数的极限性

41、质(xngzh)类似类似.惟一(wiy)性复合运算等第122页/共285页第一百二十二页，共285页。123例例3 3证证 (一一). 0 )Re()( 不不存存在在时时的的极极限限当当证证明明函函数数 zzzzf, iyxz 令令,)( 22yxxzf 则则, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 第123页/共285页第一百二十三页，共285页。124)1(lim220kxxx ,112k , 值的变化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 00不存

42、在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根据根据(gnj)定理一可定理一可知知, . )(lim0不存在不存在zfz证证 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 则则,cos 第124页/共285页第一百二十四页，共285页。125 , arg 趋于零时趋于零时沿不同的射线沿不同的射线当当 zz .)(趋于不同的值趋于不同的值zf , 0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趋于零时趋于零时沿沿 z, 0)(zf . )(lim 0不存在不存在故故zfz第125页/共285页第一百二十五页，共285页

43、。126例例4 4证证. 0 )0( )( 限不存在限不存在时的极时的极当当证明函数证明函数 zzzzzf,)(, ivuzfiyxz 令令,),( 2222yxyxyxu 则则,2),(22yxxyyxv , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22002lim),(limyxxyyxvkxyxkxyx ,122kk 第126页/共285页第一百二十六页，共285页。127 , 值的变化而变化值的变化而变化随随 k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxvyyxx根据定理根据定理(dngl)一一可知可知, . )(lim0不存在不存在zfz第127页/共285页第一百二十七页，

44、共285页。128二、函数(hnsh)的连续性1. 连续连续(linx)的的定义定义:000lim( ) Def1.17 , ( ) ( ). zzf zf zf zz 如如果果那那末末我我们们就就说说在在处处连连续续 连续(linx)的三要素:000( ) | 0 | ( )()|0 zE |f(z)|M （2） |f(z)|在E上有最值. 即： z1, z2E zE |f(z)|f(z2)| （3） f(z)在E上一致(yzh)连续.即0, 0 当z1, z2E且|z1- z2| 有|f(z1)-f(z2)|第134页/共285页第一百三十四页，共285页。135复平面点集的几个基本(jb

45、n)定理 定理(dngl)1.4 (Bolzano-Weierstrass)聚点定理(dngl) 每一个有界无穷点集,至少有一个聚点 定理(dngl)1.5(Conton闭集套定理(dngl) 设有无穷闭集列Fn, Fn Fn 定理(dngl)1.6(Heine-Borel定理(dngl)第135页/共285页第一百三十五页，共285页。136小结(xioji)与思考 2. 通过本课的学习通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连熟悉复变函数的极限、连续性的运算续性的运算(yn sun)法则与性质法则与性质. 注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同(xin tn), 但

46、在实质上有很大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多. 1. 复变函数以及映射的概念是本章的一个重点复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的只要将后者定义中的“实数实数”换为换为“复数复数”就行了就行了.第136页/共285页第一百三十六页，共285页。137思考题思考题“函数函数”、“映射映射(yngsh)”、“变换变换”等名词有无等名词有无区别？区别？?)( , )( 00有无关系有无关系径径选取的路选取的路所采取的方式所采取的方式趋于趋于此极限值与此极限值与时的极限存在时的极限存在当当设复

47、变函数设复变函数zzzzzf第137页/共285页第一百三十七页，共285页。138思考题思考题1答案答案(d n) 在复变函数中在复变函数中, 对对“函数函数”、“映射映射”、“变换变换”等名词的使用等名词的使用, 没有本质上的区别没有本质上的区别(qbi). 只是只是函数一般是就数的对应而言函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般而映射与变换一般是就点的对应而言的是就点的对应而言的.思考题思考题2答案答案(d n)没有关系没有关系. , 0zz以任何方式趋于以任何方式趋于极限值都是相同的极限值都是相同的.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .第138页/共285页第一百三十

48、八页，共285页。第139页/共285页第一百三十九页，共285页。第140页/共285页第一百四十页，共285页。第141页/共285页第一百四十一页，共285页。第142页/共285页第一百四十二页，共285页。第143页/共285页第一百四十三页，共285页。第144页/共285页第一百四十四页，共285页。第145页/共285页第一百四十五页，共285页。第146页/共285页第一百四十六页，共285页。第147页/共285页第一百四十七页，共285页。第148页/共285页第一百四十八页，共285页。第149页/共285页第一百四十九页，共285页。第150页/共285页第一百五十页

49、，共285页。第151页/共285页第一百五十一页，共285页。第152页/共285页第一百五十二页，共285页。第153页/共285页第一百五十三页，共285页。第154页/共285页第一百五十四页，共285页。第155页/共285页第一百五十五页，共285页。第156页/共285页第一百五十六页，共285页。第157页/共285页第一百五十七页，共285页。第158页/共285页第一百五十八页，共285页。第159页/共285页第一百五十九页，共285页。第160页/共285页第一百六十页，共285页。第161页/共285页第一百六十一页，共285页。第162页/共285页第一百六十二页，

50、共285页。第163页/共285页第一百六十三页，共285页。第164页/共285页第一百六十四页，共285页。第165页/共285页第一百六十五页，共285页。第166页/共285页第一百六十六页，共285页。第167页/共285页第一百六十七页，共285页。第168页/共285页第一百六十八页，共285页。第169页/共285页第一百六十九页，共285页。第170页/共285页第一百七十页，共285页。第171页/共285页第一百七十一页，共285页。第172页/共285页第一百七十二页，共285页。第173页/共285页第一百七十三页，共285页。第174页/共285页第一百七十四页，共

51、285页。第175页/共285页第一百七十五页，共285页。第176页/共285页第一百七十六页，共285页。第177页/共285页第一百七十七页，共285页。第178页/共285页第一百七十八页，共285页。第179页/共285页第一百七十九页，共285页。第180页/共285页第一百八十页，共285页。第181页/共285页第一百八十一页，共285页。第182页/共285页第一百八十二页，共285页。第183页/共285页第一百八十三页，共285页。第184页/共285页第一百八十四页，共285页。第185页/共285页第一百八十五页，共285页。第186页/共285页第一百八十六页，共2

52、85页。第187页/共285页第一百八十七页，共285页。第188页/共285页第一百八十八页，共285页。第189页/共285页第一百八十九页，共285页。第190页/共285页第一百九十页，共285页。第191页/共285页第一百九十一页，共285页。第192页/共285页第一百九十二页，共285页。第193页/共285页第一百九十三页，共285页。第194页/共285页第一百九十四页，共285页。第195页/共285页第一百九十五页，共285页。第196页/共285页第一百九十六页，共285页。第197页/共285页第一百九十七页，共285页。第198页/共285页第一百九十八页，共28

53、5页。第199页/共285页第一百九十九页，共285页。第200页/共285页第二百页，共285页。第201页/共285页第二百零一页，共285页。第202页/共285页第二百零二页，共285页。第203页/共285页第二百零三页，共285页。第204页/共285页第二百零四页，共285页。第205页/共285页第二百零五页，共285页。第206页/共285页第二百零六页，共285页。第207页/共285页第二百零七页，共285页。第208页/共285页第二百零八页，共285页。第209页/共285页第二百零九页，共285页。第210页/共285页第二百一十页，共285页。第211页/共285页第二百一十一页，共285页。第212页/共285页第二百一十二页，共285页。第213页/共285页第二百一十三页，共285页。第214页/共285页第二百一十四页，共285页。第215页