控制系统状态空间表达式的学习教案

1、会计学1控制系统状态控制系统状态(zhungti)空间表达式的空间表达式的第一页，共77页。第1页/共77页第二页，共77页。0 0k kk k2 22 20 0)x)xt ta ak!k!1 1t ta a2!2!1 1atat(1(1x(t)x(t)则解则解, ,x xx(0)x(0)ax,ax,x x设标量微分方程设标量微分方程证明证明 ! :00kkkattnaex简单到复杂简单到复杂(fz)(fz)的处理方法的处理方法：在在t t时时的的状状态态？x x) )x x( (t tA Ax x, ,x x0 00 0第2页/共77页第三页，共77页。对于对于 ，解在形式上的推广：，解在形

2、式上的推广：0 00 0 x x) )x x( (t tA Ax x, ,x xk k0 0k k3 30 03 32 20 02 20 00 0t tx xA Ak k! !1 1t tx xA A3 3! !1 1t tx xA A2 2! !1 1t tA Ax xx xx x( (t t) )第3页/共77页第四页，共77页。0 0A At t0 00 0k kk kk k0 0k kk k2 22 2k k0 0k k3 30 03 32 20 02 20 00 0 x x e e) )x xt tA Ak k! !1 1( () )x xt tA Ak k! !1 1t tA A2

3、 2! !1 1A At t( (I It tx xA Ak k! !1 1t tx xA A3 3! !1 1t tx xA A2 2! !1 1t tA Ax xx x即即x x( (t t) ) 状态转移状态转移(zhuny)矩阵矩阵关键问题：状态关键问题：状态(zhungti)转移矩阵转移矩阵 eAt ?第4页/共77页第五页，共77页。矩矩阵阵, ,间间转转移移. .称称为为状状态态转转移移在在状状态态空空意意味味x x( (t t) )随随t t不不断断即即为为时时变变函函数数阵阵, ,为为t t的的函函数数, ,一一般般, ,或或e e转转移移阵阵为为e e) )t tA A(

4、(t tA At t0 0) )x(t)x(tt t(t(t或x(t)或x(t)(t)x(0)(t)x(0)x(t)x(t)e e) )t t(t(te e记记(t)(t)0 00 0) )t tA(tA(t0 0AtAt0 0量量转转移移, ,) )到到终终态态x x( (t t) )的的向向或或x x( (t t) )反反映映从从初初态态x x( (0 0) )x x( (t te ex x( (t t) )x x( (0 0) )或或e e) )齐齐次次状状态态方方程程解解x x( (t t: :一一. .状状态态转转移移矩矩阵阵0 00 0) )t tA A( (t tA At t0

5、0第5页/共77页第六页，共77页。) )x x( (0 0) ) )( (t tt t( (t t) ) )x x( (t tt t( (t t) )则则x x( (t t) )t t) )和和( (t t若若知知x x( (t t1 11 12 21 11 12 22 21 12 21 1 ) )x x( (0 0) ); ;( (t tx xx x) )x x( (t t) )则则和和( (t tx xx x已已知知x x( (0 0) )例例: :1 12 21 11 11 11 11 12 20 01 10 0) )x x( (0 0) ); ;( (t tx xx x) )则则x

6、x( (t t) ), ,若若已已知知( (t t2 22 22 21 12 22 22 22 21 11 12 2A At tA At t) )t tA A( (t t2 21 11 12 2e ee e或或e e) )( (t t) ) )( (t tt t( (t t第6页/共77页第七页，共77页。B B) )t t( (A AB Bt tA At tn nn nn nn ne ee e有有e eB BA A时时, ,当当且且仅仅当当A AB B, ,B B, ,5 5. .A A) )A A( (t tA AA At te ee ee e) ); ;( (t t1 1. .( (t

7、t) )( () )I Ie eI I; ;( (0 0) )t t) )2 2. .( (t tt t) )A A( (t tA At t1 1A At t1 1e ee et t) ); ;( ( (t t) ) 3 3. .A A; ;A A( (0 0) )( (0 0) )0 0时时, ,t t A A; ;e eA Ae ee ed dt td d( (t t) )A A; ;A A( (t t) )( (t t) )4 4. .A At tA At tA At t状态转移状态转移(zhuny)矩阵的基本性质：矩阵的基本性质：第7页/共77页第八页，共77页。n n2 21 1 A

8、 A即即若若A A为为对对角角线线阵阵, ,0 00 0. 1t t t t t t A At tn n2 21 1e ee ee ee e则则 ( (t t) )0 00 0第8页/共77页第九页，共77页。1 1t t1 1t t t t t t A At t1 1T TT Te eT Te ee ee eT Te e( (t t) )则则 , ,A AT T即即T T变变换换对对角角线线化化, ,2 2. .若若A A能能通通过过非非奇奇异异n n2 21 10 00 01 1t tA At t1 1T TT Te ee e: :即即得得左左乘乘T T右右乘乘T TT T, ,e eT

9、T ) )T Tt tA A2 2! !1 1A At t( (I IT TT Tt tA AT T2 2! !1 1A AT Tt tT TI It t2 2! !1 1t tI Ie eA AT T, ,T T: :证证明明A At t1 12 22 21 12 22 21 11 12 22 2t t1 1 第9页/共77页第十页，共77页。121111211212ttttnttn0!)!(! t tJtJtAtAte ee ee e(t)(t)为约当阵若A3.0011JA1)(第10页/共77页第十一页，共77页。1 1t tt t2 2! !1 1t t1 1t t1 1) )! !(

10、 (m m1 1t t2 2! !1 1t t1 1e ee e式式中中; ;e ee ee ee ee e则则( (t t) )2 21 1m mi i2 2t tt tA At tA At tA At tA AJ Jt tA At ti ii ii il l2 21 10 00 00 0i ii im mm mi ii ii ii i2 21 10 01 11 1其其中中A A, ,A A0 0A A0 0A AJ J( (2 2) )A A0 00 0lil,213 3. .若若A A为为约约当当阵阵第11页/共77页第十二页，共77页。第12页/共77页第十三页，共77页。3 32 2

11、3 32 23 32 23 32 22 22 2A At tt t2 25 5t t2 27 73 3t t1 1t t3 37 73 3t t2 2t tt t6 67 7t t2 23 3t tt tt t1 12 2! !t t3 32 21 10 0t t3 32 21 10 01 10 00 01 1e e, ,3 32 21 10 01 1. .A A例例2 2k kk k2 22 2A At tt tA Ak k! !1 1t tA A2 2! !1 1A At tI Ie e定义求解. 1第13页/共77页第十四页，共77页。1 1J Jt tA At t1 1T TT Te

12、ee e A AT T; ;T T则则J J, ,立立特特征征向向量量的的重重特特征征值值( (2 2) )A A有有只只对对应应一一独独; ;T TT Te ee e, ,e ee ee ee eA AT TT T则则 ( (1 1) )A A特特征征值值互互异异, ,1 1 t tA At tt t t t t t t t1 1n n2 21 10 00 0变变换换A A为为约约当当标标准准型型. 2第14页/共77页第十五页，共77页。2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1 1t tA At t1 12 21 12 2e ee e2

13、2e e2 2e ee ee ee e2 2e e1 11 11 12 2e e0 00 0e e2 21 11 11 1T TT Te ee e1 11 11 12 2T T, ,2 21 11 11 11 11 1T T 2 21 1, ,0 0, ,2 2) )1 1) )( ( (2 23 3A AI I为为友友矩矩阵阵3 32 21 10 02 2. .A A例例2 22 21 12 2第15页/共77页第十六页，共77页。2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t2 2t t1 1J Jt tA At t2 2t te ee e2 2t te e2 2

14、t te e2 2t te ee e2 22 22 21 11 10 0t t1 1e e1 1/ /2 21 11 11 1T TT Te ee e. .只只对对应应一一独独立立特特征征向向量量2 2, ,0 0, ,4 44 44 42 22 2A AI I; ;4 42 22 20 0补补例例A A1 1, ,2 22 22 20 01 12 2J J2 22 22 21 1T T , ,1 1/ /2 21 11 11 1p pp pT T: :求求出出p pA A) )p pI I( (0 0A A) )p pI I( (由由1 12 21 11 12 22 21 11 1,第16页

15、/共77页第十七页，共77页。由;2 20 00 00 01 10 00 01 11 1A AT TT T. .J J应应一一独独立立特特征征向向量量只只对对故故1 1, ,n n秩秩为为2 2A A) )I I( ( 1 11 11 1, ,2 2重重特特征征值值352110011为为友友矩矩阵阵, ,4 45 52 21 10 00 00 01 10 0A A1211322524112011111 13 32 21 13 33 31 12 21 11 11 1T Tp pp pp p求求T T0 0A A) )p pI I( ( p pA A) )p pI I( ( 0 0A A) )p

16、pI I( ( ,2 2, , 1 1, , 3 31 1, ,2 2, 0 02 25 54 4A AI I2 23 3则2.2 矩阵指数函数矩阵指数函数(zh sh hn sh)-状态转移矩阵状态转移矩阵 求法求法2第17页/共77页第十八页，共77页。1 12 21 11 13 32 22 25 52 2e e0 00 00 0e e0 00 0t te ee e4 41 11 12 20 01 11 11 11 1T TT Te ee e2 2t tt tt tt t1 1J Jt tA At t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t

17、t t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t4 4e e3 3e et te e8 8e e8 8e e3 3t te e4 4e e4 4e e2 2t te e2 2e e2 2e et te e4 4e e5 5e e3 3t te e) )e ee e2 2( (t te ee ee et te e2 2e e2 2e e3 3t te ee e2 2t te e2.2 矩阵矩阵(j zhn)指数函数指数函数-状态转移矩阵状态转移矩阵(j zhn) 求法求法2第18页/共77页第十九页，共77页。 A A) )

18、 ( (s sI Ie e1 1A At t1 1L L0 00 00 0 x xA A) )X X( (s s) )( (s sI IA AX X( (s s) )x xs sX X( (s s) ): :两两边边取取拉拉氏氏变变换换x xx x( (0 0) )A Ax x( (t t) ), ,( (t t) )x x0 01 10 01 1 x xA A) ) ( (s sI Ix x( (t t) )x xA A) )( (s sI IX X( (s s) )1 1L L第19页/共77页第二十页，共77页。2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1

19、1A At t2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e A A) ) ( (s sI Ie e1 1L L2 2s s2 21 1s s1 12 2s s2 21 1s s2 22 2s s1 11 1s s1 12 2s s1 11 1s s2 22 2) )1 1) )( (s s( (s ss s2 2) )1 1) )( (s s( (s s2 22 2) )1 1) )( (s s( (s s1 12 2) )1 1) )( (s s( (s s3 3s ss s2 21 13 3s s2 23 3s ss s1 1A A) )a ad dj j( (

20、s sI IA As sI I1 1A A) )( (s sI I2 21 13 3s s2 21 1s sA A) )( (s sI I, ,3 32 21 10 04 4. .A A例例2 2第20页/共77页第二十一页，共77页。I I的的线线性性组组合合. .A A, , , ,也也是是A A, ,A A, ,A A同同理理, ,I I的的线线性性组组合合, ,A A, , , ,为为A AI Ia aA Aa aA Aa aA Aa a由由以以上上定定理理得得：A A1 1n n2 2n n1 1n n1 1n n0 01 12 2n n2 2n n1 1n n1 1n nn n(

21、(t t) )I I( (t t) )A A( (t t) )A A( (t t) )A At tA A1 1) )! !( (n n1 1t tA An n! !1 1t tA A1 1) )! !( (n n1 1t tA A2 2! !1 1A At tI Ie e0 01 12 2n n2 2n n1 1n n1 1n n1 1n n1 1n nn nn n1 1n n1 1n n2 22 2A At t : :哈哈密密顿顿定定理理4 4. .用用凯凯莱莱0 0I Ia aA Aa aA Aa aA A则则f f( (A A) )0 0, ,a aa aa aA AI I若若0 01

22、11 1n n1 1n nn n0 01 11 1n n1 1n nn n1 1n n0 0j jj jj j(t)(t)A A问题问题(wnt)：如何确定系数：如何确定系数n-1, , 0？第21页/共77页第二十二页，共77页。第22页/共77页第二十三页，共77页。t tt tt t1 11 1n nn n2 2n nn n1 1n n2 22 22 22 21 1n n1 12 21 11 11 1n n1 10 0j jn n2 21 1e ee ee e1 11 11 1( (t t) )( (t t) )( (t t) ): :) )( (t t) )的的计计算算公公式式( (1

23、 1同同时时，方方程程组组有有唯唯一一解解( (1 1) )当当A A特特征征值值互互相相第23页/共77页第二十四页，共77页。2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1 10 0A At t2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e3 32 21 10 0) )e e( (e e1 10 00 01 1) )e e( (2 2e e( (t t) )A A( (t t) )I Ie e, ,e ee ee e2 2e ee ee e1 11 11 12 2e ee e2 21 11 11 1e

24、 ee e1 11 1( (t t) )( (t t) )2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t1 1t tt t1 12 21 11 10 02 21 12 21 1, , ,3 32 21 10 0A A2 21 1第24页/共77页第二十五页，共77页。t tt tt t2 2t t2 2n nt t1 1n n1 11 1n n1 12 2n n1 12 21 11 12 2n n1 13 3n n1 11 13 3n n1 11 11 1n n2 2n n3 3n n1 10 01 11 11 11 11 1e et te ee et t2 2! !

25、1 1e et t2 2) )! !( (n n1 1e et t1 1) )! !( (n n1 11 11 1) )( (n n2 2) )( (n n2 21 12 2! !2 2) )1 1) )( (n n( (n n1 1) )( (n n1 11 1( (t t) )( (t t) )( (t t) )( (t t) )( (t t) )0 0为为A A的的n n重重特特征征值值时时( (2 2) )当当1 1tnntetntt2121)() 1(.)(2)( 一阶导数tnnettnn11)()!1( 阶导数第25页/共77页第二十六页，共77页。2 2t tt tt t2 2t

26、 tt tt t2 2t tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t1 1e ee et te e2 2e e2 2e e3 3t te ee e2 2t te ee ee et te e1 11 11 12 22 23 31 10 02 2e ee et te e4 42 21 11 11 11 12 21 10 0; ;2 21 1, ,4 45 52 21 10 00 00 01 10 0A A3 31 1, ,2 2t tt tt t1 12 23 33 32 21 11 11 12 21 10 03 31 11 1e ee et te e1 11 12 21 10 0(

27、 (t t) )( (t t) )( (t t) )例例第26页/共77页第二十七页，共77页。2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t4 4e e3 3e et te e8 8e e8 8e e3 3t te e4 4e e4 4e e2 2t te e2 2e e2 2e et te e4 4e e5 5e e3 3t te e) )e ee e2 2( (t te ee ee et te e2 2e e2 2e e3 3

28、t te ee e2 2t te e2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t2 21 10 0e ee et te e2 2e e2 2e e3 3t te ee e2 2t te e( (t t) )( (t t) )( (t t) )2 22 21 10 0A At t( (t t) )A A( (t t) )A A( (t t) )I Ie e4 45 52 21 10 00 00 01 10 04 45 52 21 10 00 00 01 10 0) )e ee et te e( (4 45 52 21 10 00 00 01 10 0) )2 2e e2 2

29、e e( (3 3t te e1 10 00 00 01 10 00 00 01 1) )e e2 2t te e( (2 2t tt tt t2 2t tt tt t2 2t tt t 第27页/共77页第二十八页，共77页。t tt t) )A(tA(t0 0) )t tA(tA(tt tt tA A0 0AtAtAtAt0 00 00 00 0Bu(Bu()d)de e) )x(tx(te ex(t)x(t)Bu(Bu()d)de e) )x(tx(te ex(t)x(t)e eB Bu u( (t t) )e ex x e ed dt td d即即 B Bu u( (t t) ), ,

30、e eA Ax x) )( (x xe eB Bu uA Ax xx xA At tA At tA At tA At tt tt tA A0 0A At tt tA At tt tA A0 00 00 0B Bu u( () )d de et tt tx xe e 则则 B Bu u( () )d de ex x d d e ed dd d两两边边取取积积分分Bu的解Bu的解AxAxx x（1 1）积分法）积分法第28页/共77页第二十九页，共77页。BU(s)BU(s)A)A)(sI(sIx(0)x(0)A)A)(sI(sIBU(s)BU(s)A)A)(sI(sIx(0)x(0)A)A)(s

31、I(sI X(s)X(s)x(t)x(t)1 11 11 11 11 11 11 11 1L LL LL LL L B BU U( (s s) )x x( (0 0) )A A) )X X( (s s) )( (s sI I B BU U( (s s) )A AX X( (s s) )x x( (0 0) )s sX X( (s s) ): :拉拉氏氏变变换换法法B BU U( (s s) )A A) )( (s sI Ix x( (0 0) )A A) )( (s sI IX X( (s s) )1 11 1x x( (0 0) ) )0 0已已知知x x( (t t若若t tB Bu u,

32、 ,A Ax xx x0 00 0（2 2）拉氏变换）拉氏变换(binhun)(binhun)第29页/共77页第三十页，共77页。 A A) ) ( (s sI Ie e1 1A At t1 1L Ldettt0)()()0()(BuxxAA At te e第30页/共77页第三十一页，共77页。2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e( (t t) )1 1( (t t) )u u( (t t) )u u, ,1 10 0 x x3 32 21 10 0 x x2 2t tt t2 2t

33、 tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt tt t0 0) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t2 21 12 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt te ee ee e2 21 1e e2 21 1) )x x( (0 0) )2 2e ee e( () )x x( (0 0) )2 2e e2 2e e( () )x x( (0 0) )e e( (e e) )x x( (0 0) )e e( (2

34、 2e e1 1( () )d d1 10 02 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e( (0 0) )x x( (0 0) )x x2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e ex x( (t t) )1、积分法、积分法第31页/共77页第三十二页，共77页。2 2t t2 21 1t t2 21 12 2t t2 21 1t t2 21 11 1 e e( (0 0) )2 2x x( (0 0) ) 2 2x x1 1 e e( (0 0) )x x( (0 0) ) 2 2x x e e2 21 1( (0 0) )x x( (

35、0 0) ) x x1 1 e e( (0 0) )x x( (0 0) ) 2 2x x2 21 12 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt tt t0 0) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t) )2 2( (t t) )( (t t2 21 12 2t tt t2 2t tt t2 2t tt t2 2t tt te ee ee e2 21 1e e2 21 1) )x x( (0 0) )2 2e ee e( () )x x( (0 0

36、) )2 2e e2 2e e( () )x x( (0 0) )e e( (e e) )x x( (0 0) )e e( (2 2e e1 1( () )d d1 10 02 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e e( (0 0) )x x( (0 0) )x x2 2e ee e2 2e e2 2e ee ee ee e2 2e ex x( (t t) )第32页/共77页第三十三页，共77页。B BU U( (s s) )A A) )( (s sI Ix x( (0 0) )A A) )( (s sI IX X( (s s) )s s2 21 13 3s s2

37、 23 3s ss s1 1A A) )( (s sI I; ;3 3s s2 21 1s sA A) )( (s sI I: :2 2. .拉拉氏氏变变换换法法1 11 12 21 11 11/s1/s2 23s3ss s1 1(0)(0)sxsx(0)(0)2x2x(0)(0)x x(0)(0)3)x3)x(s(s2 23s3ss s1 1s s1 11 10 0s s2 21 13 3s s2 23s3ss s1 1(0)(0)x x(0)(0)x xs s2 21 13 3s s2 23s3ss s1 12 22 21 12 21 12 22 22 21 12 2结结果果同同积积分分法

38、法 X X( (s s) ) x x( (t t) ), ,2 2s s1 1( (0 0) )2 2x x( (0 0) )2 2x x1 1s s1 1( (0 0) )x x( (0 0) )2 2x x2 2s s1 1/ /2 2( (0 0) )x x( (0 0) )x x1 1s s1 1( (0 0) )x x( (0 0) )2 2x xs s1 1/ /2 22 2s s1 11 1s s1 12 2s s1 1/ /2 21 1s s1 1s s1 1/ /2 22 2s s( (0 0) )2 2x x( (0 0) )2 2x x1 1s s( (0 0) )x x

39、( (0 0) )2 2x x2 2s s( (0 0) )x x( (0 0) )x x1 1s s( (0 0) )x x( (0 0) )2 2x x2 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 11 1L L第33页/共77页第三十四页，共77页。一.解的特点:一.解的特点:) )x x( (t t ) )a a( () )d de ex xp p( (x x( (t t) ) a a( () )d d) )l ln nx x( (t tl ln nx x( (t t) ) ) )l ln n( (x x( () )x x( () )d

40、dx x( (a a( (t t) )d dt tx x( (t t) )d dx x( (t t) )a a( (t t) )x x( (t t) )d dt td dx x( (t t) )x x: :标标量量系系统统0 0t tt tt tt t0 0t tt tt tt t0 00 00 00 0 ) ) )d dA A( (e ex xp p( () )t t( (t t, , ) ), ,) )x x( (t tt t( (t t, ,x x( (t t) )A A( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x: :推推广广到到向向量量方方程程t tt t0 0

41、0 00 00 0是否是否(sh fu)可可推广？推广？第34页/共77页第三十五页，共77页。) ) x x( (t tA A( () )d de ex xp p ) ) )x x( (t tt t( (t t, ,才才有有x x( (t t) )时时, ,0 0t tt t0 00 00 0A A( (t t) )A A( () )d dd dA A( () )A A( (t t) )满满足足乘乘法法交交换换条条件件即即A A( () )d d但但只只有有A A( (t t) )和和t tt tt tt tt tt t0 00 00 0第35页/共77页第三十六页，共77页。. .成成封封

42、闭闭形形式式，而而是是级级数数一一般般很很难难满满足足，不不能能写写此此条条件件很很苛苛刻刻, ,3 3t tt t2 2t tt tt tt tt tt t0 00 00 00 0) )d dA A( (3 3! !1 1) )d dA A( (2 2! !1 1) )d dA A( (I I) )d dA A( (e ex xp pA A( (t t) )成成立立. .) )d dA A( () )d dA A( (A A( (t t) )须须式式成成立立, ,使使要要比比较较上上两两式式, ,t tt tt tt t 0 0 0 00 0 2 2t tt tt tt tt tt t )

43、)d dA A( (A A( (t t) ) 2 2! !1 1) )d dA A( (A A( (t t) )A A( (t t) ) )d dA A( (A A( (t t) )e ex xp p: :) )对对上上式式两两边边左左乘乘A A( (t t0 00 00 0 A A( () )d dA A( (t t) )e ex xp p A A( () )d d e ex xp pd dt td dt tt tt tt t0 00 0则则须须) )是是方方程程解解, , x x( (t tA A( () )d d若若e ex xp p : :证证明明0 0t tt t0 0A A( (t

44、 t) ) ) )d dA A( (2 21 1) )d dA A( (A A( (t t) )2 21 1A A( (t t) ) ) )d dA A( ( e ex xp pd dt td dt tt tt tt tt tt t0 00 00 0第36页/共77页第三十七页，共77页。) )t tA A( (t t) )( (t t, ,) )t t( (t t, ,( (4 4) ). .t t) ), ,( (t t) )t t( (3 3) ). .( (t t, ,I It t) )( (2 2) ). .( (t t, ,) )t t, ,( (t t) )t t, ,) )(

45、(t tt t, ,( (1 1) ). .( (t t) )的的基基本本性性质质t t三三. .( (t t, ,0 00 00 01 10 00 02 20 01 11 12 20 0I I) )t t, ,) )和和( (t tt tA A( (t t) )( (t t, ,) )t t( (t t, , 满满足足n n非非奇奇异异阵阵, ,n n) ), ,t tt t) )类类似似定定常常系系统统的的( (t t式式中中( (t t, , ) ), ,) )x x( (t tt t( (t t, ,x x( (t t) ) ) )的的解解为为：x x( (t tx x( (t t)

46、)A A( (t t) )x x( (t t) ), ,x x方方程程二二. .线线性性时时变变其其次次状状态态0 00 00 00 00 00 00 00 00 0t tt t0 0(t)A(t)AA A(t)(t)(t)(t)4.4.t)t)( (t)(t)3.3.I I(0)(0)t)t)2.2.(t(t) )(t(t1.1.(t)(t)( () ): :定常系统状态转移矩阵定常系统状态转移矩阵1 1第37页/共77页第三十八页，共77页。t tt t0 00 00 00 0d d) )B B( () )u u( () )( (t t, ,) ) )x x( (t tt t( (t t,

47、 ,则则x x( (t t) )分分段段连连续续, ,t t 内内, ,B B( (t t) )的的元元在在 t t设设A A( (t t) ), ,B B( (t t) )u u( (t t) ), ,A A( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x次次状状态态方方程程的的解解四四. .线线性性时时变变系系统统非非齐齐 1 1 u u0 00 0u u0 00 00 0( (t t) ) _ _ _x x) ) ) x x( (t tt t( (t t, , ( (t t) ) )x xt t( (t t, ,) ) )x x( (t tt t( (t t, ,则则x

48、 x( (t t) ), ,线线性性系系统统满满足足叠叠加加原原理理B B( (t t) )u u( (t t) ), ,A A( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x xB B( (t t) )u u( (t t) )A A( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x) )t t( (t t, ,( (t t) ) x x) ) ) x x( (t tt tA A( (t t) )( (t t, ,B B( (t t) )u u( (t t) )A A( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x) )t t( (t t, ,(

49、 (t t) ) x x) ) ) x x( (t tt t( (t t, ,u u0 0u u0 00 0u u0 0u u0 00 0第38页/共77页第三十九页，共77页。d d) )B B( () )u u( () )( (t t, ,) ) )x x( (t tt t( (t t, ,d d) )B B( () )u u( () ), ,( (t t) )t t( (t t, ,) ) )x x( (t tt t( (t t, ,x x( (t t) )t tt t0 00 0t tt t0 00 00 00 00 00 0t t) )B B( (t t) )u u( (t t) )

50、, ,( (t t) )B B( (t t) )u u( (t t) )t t( (t t, ,( (t t) )x xB B( (t t) )u u( (t t) )A A( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x) )t t( (t t, ,A A( (t t) )x x( (t t) )0 00 01 1u uu u0 00 0) )( (t t得得x x代代入入t t用用t t) ), ,( (t tx xd d) )B B( () )u u( () ), ,( (t t( (t t) )x x0 0u u 1 1 0 00 0u ut tt t0 0u u0

51、0第39页/共77页第四十页，共77页。t tt t0 0t t1 1t t2 22 21 10 0t tt t0 0t t1 11 10 0t tt t0 00 00 00 01 10 00 00 00 00 0d dd d) )d dA A( () )A A( () )A A( (d d) )d dA A( () )A A( (A A( () )d dI I) )t t( (t t, ,则则不不满满足足该该条条件件, ,一一般般, , t tt t3 3t tt t2 2t tt tt tt t0 00 0t tt t0 00 00 00 00 00 00 0A A( () )d d 3

52、3! !1 1A A( () )d d 2 2! !1 1A A( () )d dI I A A( () )d de ex xp p ) )t t即即( (t t, ,) ) x x( (t tA A( () )d de ex xp p ) ) )x x( (t tt t( (t t, ,才才有有x x( (t t) )A A( (t t) )时时, ,A A( () )d dd dA A( () )交交换换条条件件即即A A( (t t) )满满足足乘乘法法A A( () )d d只只有有A A( (t t) )和和t tt tt tt tt tt t0 00 00 0第40页/共77页第四

53、十一页，共77页。2 22 2t t0 0t t0 0t t2 21 1t tt tt t2 21 1d dt t1 11 1t tA A( () )d d: :求求( (t t, ,0 0) )t t1 11 1t tA A( (t t) ) 例例1 1?t t0 0t t0 0A A( () )d dA A( (t t) )A A( (t t) )A A( () )d dt t1 11 1t tt t2 21 1t tt tt t2 21 1t tt t2 21 1t t2 23 3t t2 23 3t tt t2 21 1t t2 21 1t tt tt t2 21 1t t1 11 1

54、t t2 22 23 32 22 23 32 22 2可可写写为为封封闭闭形形式式A A( () )d dA A( (t t) )A A( (t t) )A A( () )d d即即t t0 0t t0 0,第41页/共77页第四十二页，共77页。4 42 23 33 34 42 22 22 22 22 22 2t t0 0t t8 81 1t t1 1t t2 21 1t tt t2 21 1t tt t8 81 1t t1 1t t2 21 1t tt tt t2 21 12 21 1t t2 21 1t tt tt t2 21 11 10 00 01 1 A A( () )d de ex

55、 xp p ( (t t, ,0 0) )t tt t3 3t tt t2 2t tt tt tt t0 00 00 00 00 0A A( () )d d 3 3! !1 1A A( () )d d 2 2! !1 1A A( () )d dI I A A( () )d de ex xp p ) )t t即即( (t t, ,第42页/共77页第四十三页，共77页。表表达达. .( (t t, ,0 0) )只只能能级级数数A A( (t t) ), ,A A( () )d dA A( () )d dA A( (t t) )t t0 0t t0 0a at t2 2t t0 0a at tt

56、 t0 0e ea a1 10 02 2t t0 0d de e0 0t t0 0A A( () )d d: :求求( (t t, ,0 0) )x x, ,e e0 0t t0 0 x xa at t2 2a at ta at ta at t2 2a at tt t0 0e ea a1 10 0t te ea a1 10 0e ea a1 10 02 2t t0 0e e0 0t t0 0A A( () )d dA A( (t t) )?t t0 0t t0 0A A( () )d dA A( (t t) )A A( (t t) )A A( () )d d第43页/共77页第四十四页，共77

57、页。2 2a at t2 2a at t3 32 22 2a at t2 23 3a at t2 20 0a a2 20 0t t0 0a a0 0a at t2 2e e2 2a a1 1e ea a1 11 10 01 1) )( (a at ta a1 1t t2 21 11 1e e2 2a a1 10 01 1) )( (a at ta a1 10 0e ea a1 10 02 2t t0 01 10 00 01 1d de ea a1 10 02 20 0e e0 00 0e ea a1 10 02 2t t0 01 10 00 01 1( (t t, ,0 0) )0 00 0t

58、 tt t0 0t t1 1t t2 22 21 10 0t tt t0 0t t1 11 10 0t tt t0 00 00 00 01 10 00 00 00 00 0d dd d) )d dA A( () )A A( () )A A( (d d) )d dA A( () )A A( (A A( () )d dI I) )t t( (t t, , 第44页/共77页第四十五页，共77页。0 00 01 12 22 21 13 30 01 11 12 22 23 31 12 22 23 32 23 33 3b ba aa aa ab ba aa ab ba ab bu ux xy yu ux

59、 xa ax xa ax xa ax xu ux xx xu ux xx x3 31 10 03 32 22 21 11 10 03 31 13 32 22 22 21 1u ub bu ub bu ub bu ub by ya ay ya ay ya ay y0 01 12 23 30 01 12 2u u. .x xy yu ux xa aa aa ax x3 30 01 12 21 10 00100010201第45页/共77页第四十六页，共77页。u u. .x x0 00 01 1y yu ux xa aa aa aI I0 00 0 x xn n0 01 11 1n n1 1n n

60、1 10 01 1n n0 01 12 2n n1 1n nn n0 01 12 2n n1 1n nn n1 1n n2 21 10 03 32 21 11 1n n2 2n n1 1n nb bb bb bb bb b1 1a aa aa aa a0 01 1a aa aa a0 00 01 1a aa a0 00 00 01 1a a0 00 00 00 01 1: :关系为关系为与b的与b的式中,式中,0 01 11 1n n1 1n nn n0 01 11 1n n1 1n nn nn na as sa as sa as sb bs sb bs sb bs sb bW W( (s s