微分和差分方程应用模型分析

1、经济数学模型经济数学模型经济数学模型经济数学模型背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化研究人口变化规律控制人口过快增长规律控制人口过快增长5.15.1 人口预测模型人口预测模型经济数学模型经济数学模型一、指数增长模型一、指数增长模型马尔萨斯提出马尔

2、萨斯提出 (1798)(1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0 x(t) 时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0(0)dxrxdtxxrtextx0)(经济数学模型经济数学模型 马尔萨斯模型的一个显著特点：马尔萨斯模型的一个显著特点：人口数量翻人口数量翻一番所需的时间是固定的一番所需的时间是固定的。令人口数量翻一番所需的时间为令人口数量翻一番所需的时间为T T，则有：，则有： 002rTNN eln 2Tr故故随着时间增加，

3、人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长trextx)()(0trx)1 (0经济数学模型经济数学模型19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N/人马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测几何级数的增长几何级数的增长模型检验模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报有吻合之处，例如，与马尔萨斯模型的预报有吻合之处，例如，19611961年世界人口年世界人口数为数为30.6 30.6 （即（即3.063.0610109 9），人口增长率约为

4、），人口增长率约为2%2%，人口数大，人口数大约每约每3535年增加一倍。检查年增加一倍。检查17001700年至年至19611961的的260260年人口实际数量，年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.634.6年增加一倍，两者也几乎相同。年增加一倍，两者也几乎相同。 MalthusMalthus模型模型实际上只有在人口总数不太实际上只有在人口总数不太大时才合理。用它大时才合理。用它不能预测较长期的人不能预测较长期的人口增长过程。口增长过程。一般地，生物群体总数增一般地，生物群体总数增大时，各成员之间由于有限

5、的生存空间，大时，各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。发生生存竞争等现象。所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净增净增长率不可能始终保持常数，它应当长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。与人口数量有关。经济数学模型经济数学模型二、阻滞增长模型二、阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞

6、作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxr经济数学模型经济数学模型rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxxmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲线形曲线, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/20(1)(0)mdxxrxdtxxx经济数学模型经济数学模型dx/dtx0 xmxm/2)1 ()(mxxrxxxrdtdx对式子 求x导数 2()(1)mddx

7、xrdx dtx02 mxdxxdt02 mxdxxdt当x=xm /2 时，人口增速达到最大值经济数学模型经济数学模型 Malthus Malthus模型与模型与LogisticLogistic模型都是为了研究种群数模型都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。即可。 经济数学模型经济数学模型一、独家耐用产品销售模型一、独家耐用产品销售模型 一种耐用新产品进入市场后，一般会经过一个销售量先增加，然后下降的过程，称为产品的

8、生命周期，简记为PLC。PLC 曲线可能有若干种情况，其中有一种为钟型，建立数学模型分析此现象。5.25.2 产品销售模型产品销售模型经济数学模型经济数学模型问题分析问题分析假设商品信息传播有两个途径：假设商品信息传播有两个途径：w消费者外部信息消费者外部信息: :广告、亲眼看到商品等。广告、亲眼看到商品等。w消费者内部信息消费者内部信息: :部分人使用并有所评价部分人使用并有所评价, ,使周围使周围人了解到有关产品信息。人了解到有关产品信息。 由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买，由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买，故产品累计销售量可以认为是购买者人数。故产品累计销售量可以认为是购买者

9、人数。经济数学模型经济数学模型建模 在 t , t+t 中，n由两部分组成，n1 是由来自消费者外部的产品信息导致的购买者增量；n2 是由来自消费者内部传播的产品信息导致的购买者增量。 n1应与未购买者人数成正比，即 ttnKan1设设K为潜在的消费者总数，为潜在的消费者总数， n(t)n(t)为为t t时刻时刻购买该产品的人数。购买该产品的人数。经济数学模型经济数学模型n2应与已购买者人数、未购买者人数之积成正比，即 2( )( )nbn tKn tt（a，b 0为比例系数） ( )( )( )( )n ta Kn ttbn tKn tt 21nnn 在 t ,t+t 中，n 总数为经济数学

10、模型经济数学模型所以销售量的数学模型为:( )( )(0)0dnKn tabn tdtn ()()1 1a bK ta bK ten tKbKea其曲线即为其曲线即为PLC PLC 曲线，它的图形为钟型。曲线，它的图形为钟型。 经济数学模型经济数学模型二、两家竞争的销售模型假设1、两家企业销售同一种商品，而市场容量是 有限的，设t时刻的市场容量为M(t).2、设N(t) 是t时刻市场的潜在销量， 分别是甲厂和乙厂的销量。)( )(21tStS、3、甲、乙两厂销量的变化率都与潜在的市场 销量N(t)成正比。经济数学模型经济数学模型建立模型(3) )()()()(2) (1) 212211tStS

11、tMtNNCdtdSNCdtdS将（1）、（2）两式相除并两端积分：4132CSCS经济数学模型经济数学模型CBeASdtdSt 11将上式代入（将上式代入（3 3），再代入（），再代入（1 1），得），得不妨假设市场容量函数为不妨假设市场容量函数为 ( )(1) tM te,0 为常数tt0M(t) 经济数学模型经济数学模型解得3 t211)(KeKeKtSAt3 t212)(MeMeMtSAt其中 都是常数。321321,MMMKKK由此可见，甲、乙两厂的销售模型是同一类型。同理经济数学模型经济数学模型三、广告与销售速度模型三、广告与销售速度模型问题：研究销售速度在广告投入变化下的规律 由

12、经济规律猜想：开始是由于广告宣传的影响，销售速度是增长的，但当市场趋于饱和了，销售速度应缓慢下降趋于稳定。经济数学模型经济数学模型假设假设1 1、设设S(t)S(t)为为t t时刻的销售速度，时刻的销售速度，A(t)A(t)为为t t时刻的广告水平。时刻的广告水平。 S(tS(t）因）因 A(t)A(t)的增加而增加，但当市场趋于饱和时，设为的增加而增加，但当市场趋于饱和时，设为 时，时， S(tS(t）开始下降）开始下降. .1t2、设设M M表示销售速度的上限，表示销售速度的上限， 是是t t 时刻的销售时刻的销售率率，则，则 是是潜在的销售速度上升率潜在的销售速度上升率。MtS)(MtS

13、)(1 3、随着时间的推移，销售速度会自然衰减，随着时间的推移，销售速度会自然衰减， 称为衰减称为衰减 因子，因子， 是是单位时间单位时间S(t)S(t)减少的量。减少的量。)(tS经济数学模型经济数学模型建立模型建立模型ttSMtStPAtSttS)()(1)()()(即)()(1)(tSMtStPAdtdS其中其中P P称为响应因子，也就是影响系数。称为响应因子，也就是影响系数。在 上 ， 随着 而增加， 但同时也会受 的影响而减少。 ,ttt)(1)(MtStA)(tSS经济数学模型经济数学模型由假设由假设1 1，当商品在市场上趋于饱和时，增加广告投入，当商品在市场上趋于饱和时，增加广告

14、投入无法阻止销售速度下降，故广告策略应为：无法阻止销售速度下降，故广告策略应为：11t t0t t)(AtA A为常数 t t tt0 )1 (111SSMStaPdtdS设在设在 内内投入的总费用为投入的总费用为a, a, 则则 模型为：模型为：, 01t1taA 经济数学模型经济数学模型设初始条件为： , 求解模型得0)0(SS t t tt0 )1 ()(1)(101ttbtbtkeeSebctS为任意常数其中k tPac 11MtPab为使销售速度是连续函数，取 ，得 )(1tSk t t )(tt0 )1 ()(1)(1101ttbtbtetSeSebctS经济数学模型经济数学模型

15、差分的概念与性质差分的概念与性质一般地，在连续一般地，在连续变化时间变化时间的范围内，变量的范围内，变量 y关于时间关于时间 t的变化率是用的变化率是用 dydt来刻画的；来刻画的； 对离散型的变量对离散型的变量 , y我们常用在我们常用在规定时间区间上的差商规定时间区间上的差商 yt来刻画变量来刻画变量 y的变化率的变化率. .如果取如果取 1t ，则，则 (1)( )yy ty t 可以近似表示变量可以近似表示变量 y的变化率的变化率. .由此给由此给出差分的定义出差分的定义. .补充补充 差分方程基本知识差分方程基本知识经济数学模型经济数学模型2121121()() () 2.ttttt

16、ttttttyyyyyyyyyyy ( )tyy tttyy1tytytytttyyy1( )(1)( )y ty ty t设函数设函数，称改变量，称改变量为函数为函数的差分，也称为函数的差分，也称为函数的的一阶差分一阶差分，记为，记为，即，即 或或 ty2一阶差分的差分一阶差分的差分称为二阶差分，即称为二阶差分，即类似地可定义三节差分，四阶差分，等等类似地可定义三节差分，四阶差分，等等. .经济数学模型经济数学模型intniinitntntnyCyyy0111) 1(ty1nntny一般地，函数一般地，函数的的阶差分的差分称为阶差分的差分称为阶差分，记为阶差分，记为，即，即 二阶及二阶以上的

17、差分统称为二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分高阶差分. .2tyttyty2ty3例 设，求，12) 1()(222ttttyt2) 12( 1) 1(2) 12()(222ttttyt022)(23ttyy经济数学模型经济数学模型差分满足以下性质：)()(为常数CyCCyttttttzyzy)（ttttttzyyzzy1)（)0()1tttttttttzzzzyyzzy（2）（3）（4）（1）)3() 1(3)3(222ttttttty)362(332) 1() 12(322ttttttt ttty32例例 求求的差分的差分. .经济数学模型经济数学模型差分方程差分方程 针对要解决的目标，引

18、入系统或过程中的离散变量，针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定析方程的解，分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），把握这个离散变量的性、渐近性、振动性、周期性等），把握这个离散变量的变化过程的规律。变化过程的规律。经济数学模型经济数学模型ty 含有未知函数含有未知函数差分差分的方程称为差分方程的方程称为差分方

19、程. . 满足差分方程的函数称为该差分方程的满足差分方程的函数称为该差分方程的解解. .12F( ,)0ttttnt yyyy差分方程的一般形式：差分方程的一般形式：( ,)0.ntttG t yyy 差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为为差分方程的差分方程的阶阶. . 21ttyytyt222) 1(21ttyytt例对于一阶差分方程例对于一阶差分方程 ，将，将 代入方程代入方程 tyt2故故是该方程的解，易见对任意的是该方程的解，易见对任意的常数常数C,C,Ctyt 221ttyy都是差分方程都是差分方程的的解，称其为通解。

20、解，称其为通解。经济数学模型经济数学模型如果差分方程的解中含有相互如果差分方程的解中含有相互独立任意独立任意常数的个数恰好常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解通解. .若若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次，则称该差分方程为为一次，则称该差分方程为线性差分方程线性差分方程. . 其一般形式为其一般形式为01111( )( )( )( )t nt nntnta ya t yat ya t yf t tntntyyy,1其特点是其特点是都是都是一次的一次的. .( )0f t 时差

21、分方程称为时差分方程称为齐次齐次的，的，当当否则称为否则称为非齐次的非齐次的. .01111( )t nt nntnta ya yaya yf t 若若 均为常数，则称方程为均为常数，则称方程为n n 阶常系数线性差阶常系数线性差分方程：分方程：12,na aa经济数学模型经济数学模型)(1tfPyytt一阶常系数差分方程的一般方程形式为一阶常系数差分方程的一般方程形式为 P)(tf其中其中为非零常数，为非零常数，为已知函数为已知函数. .01ttPyy0)(tf若若 ，则，则方程变为方程变为 0)(tf称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，时方程时方

22、程一阶常系数线性非齐次差分方程一阶常系数线性非齐次差分方程. .ty*ty*tttyyy为齐次方程的通解，为齐次方程的通解， 为非齐次方程的一个为非齐次方程的一个为非齐次方程的通解为非齐次方程的通解. .定理定理 设设特解，则特解，则经济数学模型经济数学模型 定理定理 设设n n 阶阶常系数常系数非齐非齐次线性次线性差分方程为差分方程为 则（则（1 1）的通解是（）的通解是（2 2）的通解与）的通解与它自己本身的一个特解之它自己本身的一个特解之和，即（和，即（1 1）的通解为）的通解为01111( )t nt nntnta ya yaya yf t 对应对应的齐次的齐次方程为方程为011110

23、t nt nntnta ya yaya y 1*122( )( )( )nnYC ytC ytC ytyt 其中其中*( )yt是（是（1 1）的）的一个特解一个特解. .12( ),( ),( )ny ty ty t是（是（2 2）的）的n n个线性无关的解，个线性无关的解，nCCC,21其中其中为任意常数为任意常数（1）（2）经济数学模型经济数学模型可用可用如下的代数方法求其通解如下的代数方法求其通解： 第一步第一步 先先求解对应的特征方程求解对应的特征方程 0.110nnnaaa第二步第二步 根据特征根的不同情况，求齐次方程的通解根据特征根的不同情况，求齐次方程的通解情况情况1 1 若特

24、征若特征方程有方程有n n个互不相同的实根个互不相同的实根n,21，则则齐次齐次方程的方程的通解为通解为tnntCC .11 (C (C1 1,C,Cn n为任意常数为任意常数) )01111( )t nt nntnta ya yaya yf t 经济数学模型经济数学模型 ，iC情况情况2 2 若若是是特征特征方程的方程的k k重根，通解中重根，通解中对应于对应于的项为的项为tkktCC )(11 为任意常数，为任意常数，i i=1,=1,k k。情况情况3 3 若特征若特征方程有方程有单重复根单重复根 ia 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 ttttsinCcosC2122 为为的模

25、，的模， arctan 为为的幅角。的幅角。 情况情况4 4 ia 为为特征特征方程的方程的k k重复根，则重复根，则通解通解对应对应于它们的项为于它们的项为tttttktk sin)CC(cos)CC(12k1k1k1 iC为任意常数，为任意常数，i i=1,2,2=1,2,2k k。 经济数学模型经济数学模型第三步第三步 求非齐次求非齐次方程的方程的一个一个特解特解yt，若，若yt为非齐次方程为非齐次方程 特解特解, ,则非齐次方程则非齐次方程(1)(1)的通解为的通解为ttyy 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定

26、初值后，通常在给定初值后，通常可用计算机可用计算机迭代求解，迭代求解，但常常但常常需要讨论需要讨论解的稳定性解的稳定性。求非齐次求非齐次方程方程(1)(1)的的特解一般要用特解一般要用到到常数变易法常数变易法，计算较，计算较繁。对特殊繁。对特殊形式的形式的y y( (t t) )也可也可使用使用待定系数法待定系数法。 经济数学模型经济数学模型差分方程差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程1ttyayb的平衡点由的平衡点由yayb解得，为解得，为*,1tbyya 当t时，若y

27、则平衡点是稳定则平衡点是稳定的的*y否则否则 是是不稳定的。不稳定的。二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性考察二考察二阶齐次线性阶齐次线性差分方程差分方程 021120tttyayaya0y*的平衡点的平衡点 稳定性稳定性. .其通解其通解为为 2211tttccy当且仅当当且仅当 时，平衡点才是稳定的时，平衡点才是稳定的. .2 , 1, 1|ii经济数学模型经济数学模型与一阶线性差分方程一样与一阶线性差分方程一样, ,二阶线性非齐次差分方程二阶线性非齐次差分方程 21120byayayattt的平衡点的稳定性的平衡点的稳定性与齐次方程相同，即与齐次方

28、程相同，即 二二阶线性方程的上述结果可以推广到阶线性方程的上述结果可以推广到n n阶线性方程阶线性方程, ,01111t nt nntnta ya yaya yb nii,2, 1, 1|n n阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根都满足阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根都满足当且仅当当且仅当 时，平衡点才是稳定的时，平衡点才是稳定的. .2 , 1, 1|ii经济数学模型经济数学模型一一阶非线性差分方程阶非线性差分方程)(1ttyfy的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性 的平衡点的平衡点y y* *是是代数方程代数方程 y y=f=f( (y y) )的根的根)(1ttyfy*,ty 当

29、t时，若y*y则则 是稳定的，否则不稳定。是稳定的，否则不稳定。,1| )(|*时当 yf对于方程对于方程 , ,*y是稳定的是稳定的; ;)(1ttyfy,1| )y(|*时当 f对于对于方程方程 , ,*y是不稳定的。是不稳定的。)(y1ttyf稳定性结论经济数学模型经济数学模型问问 题题供大于求供大于求现现象象p 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定p 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求p 描述商品数量与价格的变化规律描

30、述商品数量与价格的变化规律经济数学模型经济数学模型模模 型分析型分析gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, )(1kkyhx)(1kkxgy xk+1,xk+2, x0 yk+1,yk+2, y0 价格与产量趋于稳定价格与产量趋于稳定经济数学模型经济数学模型xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2

31、y1P1y2P3P4x3y311223.xyxyx1230.PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型1230.PPPP x1经济数学模型经济数学模型)(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)

32、/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与方程模型与蛛网模型一致蛛网模型一致经济数学模型经济数学模型)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳

33、定结果解释结果解释经济数学模型经济数学模型2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk提高生产者提高生产者管理管理水平水平设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变21022(1) ,1,2,.kkkxxxx k二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx经济数学模型经济数学模型48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk齐次

34、方程齐次方程通解通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了18 x0不稳定当 有两个共轭复根822, 1经济数学模型经济数学模型经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 1. 使使 尽量小尽量小，极端情况，极端情况 =0=0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 2. 使使 尽量小尽量小，极端情况，极端情况 =0=0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量

35、不变xy0y0gfxy0 x0gf需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直经济数学模型经济数学模型 商业银行的贷款还贷方式常见的主要有三种形式商业银行的贷款还贷方式常见的主要有三种形式：1 1）、）、一次性还本付息法一次性还本付息法( (只适用于一年期的贷款只适用于一年期的贷款) )；2 2）、）、等额本息还款法等额本息还款法：每月以相等的额度平均偿还贷款本息，每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；直至期满还清；由于每月的还款额固定，便于每个家庭根据自由于每月的还款额固定，便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。己的收入情况，确定还贷能力。3 3）、）、

36、等额本金还款法等额本金还款法（也称等本不等息递减还款法），是每（也称等本不等息递减还款法），是每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。期满还清。5.6 5.6 贷款偿还模型贷款偿还模型 消费者在进消费者在进行行贷款时，应事先对各种贷款时，应事先对各种贷款贷款方案的还贷方案的还贷方式方式有所了解，根据将来的预期收入，选择适当的贷款方案，以有所了解，根据将来的预期收入，选择适当的贷款方案，以减少风险。本节建立还贷减少风险。本节建立还贷问题的数学问题的数学模型模型。经济数学模型经济数学模型 变量假设变量假设 A A0 0

37、：贷款总额贷款总额 n n： 贷款时间贷款时间( (月月) ) R R： 贷款年利率贷款年利率 r r： 贷款贷款月月利率利率 r=R/12 x xt t：第：第t t月月还款数还款数 A Ak k：贷款后第：贷款后第k k个月时欠款余数个月时欠款余数 模型建立 经济数学模型经济数学模型贷款第贷款第t t月还款后，尚欠银行的金额为月还款后，尚欠银行的金额为A At t元元, ,xt是是t t月的还款月的还款额。从第额。从第t-1t-1月到月到t t月，欠款本金为月，欠款本金为A At-1t-1, ,利息为利息为rArAt-1,t-1, 于是于是尚尚欠银行的金额为欠银行的金额为111=(1) 1

38、,2,ttttttAArAxr Axtn这是一这是一个个一阶一阶差分差分方程，其中方程，其中A A0 0为为贷款总额，贷款总额，n n为贷款为贷款时间时间( (月月) )。经济数学模型经济数学模型问题的数学模型为问题的数学模型为10(1) 1,2, ,tttAr AxtA，本金 12012(1)(1)(1), 1,2,.tttttAr Arxrxxt容易求出该模型的显式解为容易求出该模型的显式解为逐月还款额的逐月还款额的本利和本利和贷款本金本息和经济数学模型经济数学模型等额本息还款即每月还款额固定，直至还清贷款本息。设每等额本息还款即每月还款额固定，直至还清贷款本息。设每月还款额为月还款额为x

39、 ,x ,即即12nxxxx120(1)(1)(1)(1)ttttArArxrxr xx120(1)(1)(1)(1) 1tttrAxrrrrrxrAAttt1)1 ()1 (0( (一一) )、等额本息还款方式、等额本息还款方式经济数学模型经济数学模型 111010(1)(1)1 ()(1)tttttRrAA rrxrA rxrx第第t t月的利息为月的利息为0(1)1(1)0TTrArxr0TA 设贷款人在设贷款人在T T月还清全部本息，则月还清全部本息，则 ，即，即 由上式，由上式，给定还款期限，给定还款期限，可可计算每月的还款金额；或者计算每月的还款金额；或者给定每月的还款金额，计算还

40、款期限。给定每月的还款金额，计算还款期限。若银行指定还款期限若银行指定还款期限T T，从，从上上式解出式解出x x，则每月固定还款额，则每月固定还款额为为T0(1)(1)1TrrxAr经济数学模型经济数学模型10110()(1)(1)1 ()TTiiiiTRRA rxrxrA rxTxr 00(1)1(1)1TTrrRxTAAr或或0lnln()ln(1)xxA rTr若贷款人每月还款若贷款人每月还款x x元，则还清贷款的期限为元，则还清贷款的期限为经济数学模型经济数学模型 例例 如果向商业银行贷款如果向商业银行贷款1 1万元，即万元，即A A0 0=10000=10000元，贷款两元，贷款两

41、年，即年，即n=n=2424，根据最新商业贷款年利率，根据最新商业贷款年利率R=6.48%R=6.48%，则求得月，则求得月利率利率r r=R/12=6.48%/12=5.4=R/12=6.48%/12=5.4。将这些数据。将这些数据代入公式代入公式得到月得到月还款额还款额11124002405.4%5.4%10000445.375.4%（）（）x 每月还款445.37元，两年后还清。共计还款 445.3724=10688.93元两年的利息共计688.93元。由公式可以制定出商业贷款等额本息还款表。经济数学模型经济数学模型年份年份月数月数年利率年利率(%)月利率月利率()月还款额月还款额 本息

42、总额本息总额总利息总利息1126.485.40到期一次到期一次还本付息还本付息10648.0000648.00002246.485.40445.372110688.9310688.93103366.485.40306.399011030.36421030.36424486.485.40237.057311378.75031378.75035606.485.40195.567811734.06901734.06906726.845.70169.722812220.04222220.04227846.845.70150.145912612.2520 2612.2520 8966.845.70135

43、.542313012.0618 3012.0618 91086.845.70124.2539 13419.4190 3419.4190 101206.845.70115.285513834.26473834.2647111326.845.70108.004014256.53354256.5335121446.845.70101.987214686.15384686.1538131566.845.7096.942615123.04835123.0483141686.845.7092.661515567.13425567.1342151806.845.7088.990716018.32306018

44、.3230商业商业贷款等额本息还款表贷款等额本息还款表 经济数学模型经济数学模型年份年份月数月数年利率年利率(%)月利率月利率()月还款额月还款额 本息总额本息总额总利息总利息161926.845.7085.815285.815216476.52146476.5214172046.845.7083.047283.047216941.63106941.6310182166.845.7080.618380.618317413.54907413.5490192286.845.7078.474478.474417892.16847892.1684202406.845.7076.572476.57241

45、8377.37818377.3781212526.845.7074.877274.877218869.06358869.0635222646.845.7073.360373.360319367.10649367.1064232766.845.7071.997871.997819871.38609871.3860242886.845.7070.770170.770120381.778310381.7783253006.845.7069.660569.660520898.157410898.1574263126.845.7068.655168.655121420.394811420.3948273

46、246.845.7067.741967.741921948.360611948.3606283366.845.7066.910566.910522481.9232 12481.9232 293486.845.7066.152266.152223020.949813020.9498303606.845.7065.459265.459223565.306813565.3068如果贷款如果贷款20万，期限万，期限20年，则每月还款年，则每月还款 76.572420=1531.45元元共计共计还款还款18377.378120=367547.56元，利息共计元，利息共计167547.56元。元。 经济数

47、学模型经济数学模型 等额本金还款方式是每月偿还固定金额的本金和相应的利等额本金还款方式是每月偿还固定金额的本金和相应的利息。由于本金在逐月定额减少，每月产生的利息也在逐步减息。由于本金在逐月定额减少，每月产生的利息也在逐步减少。因此，每月的实际还款额是变化的。少。因此，每月的实际还款额是变化的。 假设在假设在T T月末还清贷款。每月固定偿还本金额为月末还清贷款。每月固定偿还本金额为x x, ,则每月则每月固定偿还本金额为固定偿还本金额为0AxT10()ArAx r第二月利息为第二月利息为 在第一月实际还款额为在第一月实际还款额为10 xxA r10AAx尚欠银行金额尚欠银行金额尚欠银行金额尚欠

48、银行金额2102AAxAx第第二二月末实际还款额为月末实际还款额为2100()(1)xxArxAx rAr x( (二二) )、等额本金还款方式、等额本金还款方式经济数学模型经济数学模型第三月利息为第三月利息为20(2 )A rAx r第第三三月实际还款额为月实际还款额为3200(2 )(1 2 )xxA rxAx rAr x尚欠银行金额尚欠银行金额3203AAxAx以此类推以此类推在第在第t t月末，每月利月末，每月利息息为为100(1) )(1)ttRA rAtx rA rtxr10ttAAxAtx尚欠银行余额为尚欠银行余额为100(1) )(1 (1) )ttxxA rxAtx rA r

49、tr x每月实际每月实际还还款额为款额为可以看到，每月的利息和实际还款额是时间可以看到，每月的利息和实际还款额是时间t t的线性递减函数。的线性递减函数。经济数学模型经济数学模型累积还款总额为累积还款总额为01100(1 (1) ) (1)(1) =A (1)A (1)22TTtttxA rtr xTrr TTr总利息为0011(1)(1) )2TTiiiT TxrRRAix rTA r000(1)1A (1)A22r TTRA r或经济数学模型经济数学模型 例例 假设假设某人贷款一万元，期限两年，并计划按某人贷款一万元，期限两年，并计划按照等额本金还款方式进行还款，试建立一张还款计划表。照等

50、额本金还款方式进行还款，试建立一张还款计划表。 解解 已知已知商业贷款商业贷款1-51-5年的利率为年的利率为R=6.48%, R=6.48%, 贷款贷款总额总额1000010000元元, , 贷款时间贷款时间n=24n=24个月，根据计算公式编写出每个月，根据计算公式编写出每个月还贷的计算程序。个月还贷的计算程序。经济数学模型经济数学模型商业商业贷款等额本金还款表贷款等额本金还款表(2(2年贷款年贷款1 1万元万元) ) 月月数数年利率年利率(%)月利率月利率()月还款月还款额额月还款本月还款本金金月还款利月还款利息息累积还款总累积还款总额额16.485.40470.6667416.6667

51、54.0000470.666726.485.40468.4167416.666751.7500939.083436.485.40466.1667416.666749.50001405.250146.485.40463.9167416.666747.25001869.166856.485.40461.6667416.666745.00002330.833566.845.70459.4167416.666742.75002790.250276.845.70454.1667416.666737.50003244.416986.845.70454.9167416.666738.25003699.333

52、696.845.70452.6667416.666736.00004152.0003106.845.70450.4167416.666733.75.004602.417116.845.70448.1667416.666731.50005050.5837126.845.70445.9167416.666729.25005496.5004136.845.70443.6667416.666727.00005940.1671经济数学模型经济数学模型 两年后该贷款人还款总额为10672元，所还利息为672元。月月数数年利率年利率(%)月利率月利率()月还款月还款额额月还款本月还款本金金月还款利月还款利息息累积还款总累积还款总额额146.845.70441.4167416.666724.75006381.5838156.845.70439.1667416.666722.50006820.7505166.845.70436.9167416.6667