多元函数的基本概念(给学生的完整版)

1、1推广第八章第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 善于类比善于类比 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 2 从两个对象之间在某些方面的相似关系中受到启发,从而使问题得到解决的一种创造性思维创造性思维.包括两方面的含义：(1)联想: 即由新信息引起的对已有知识的回忆；(2)类比:在新、旧信息间找相似和相异的地方，即异中求同或同中求异通过类比思维，在类比中联想，从而升华思维，既有模仿又有创新 类比思维类比思维3Multivariable Calculus Functions with two or more independent variables appear m

2、ore often in science than functions of a single variable, and their calculus is even richer. 二元和多元函数比一元函数更经常地出现在科学中，并且它们的微积分更丰富多彩。4Their derivatives are more varied and more interesting because of the different ways in which the variables can interact.Their integrals lead to a greater variety of app

3、lications. 因为各变量间的相互作用，它们的导数更变化多端并且更加有趣。它们的积分有多种多样的应用。5 The studies of probability, statistics, fluid dynamics, and electricity, to mention only a few, all lead in natural ways to functions of more than one variable. 略举几例，如概率论，统计学，流体力学以及电学，略举几例，如概率论，统计学，流体力学以及电学，均是以自然的方式引导出多于一个变量的函数。均是以自然的方式引导出多于一个变

4、量的函数。 有关这些函数的数学是最精美的科学成就之一。有关这些函数的数学是最精美的科学成就之一。 The mathematics of these functions is one of the finest achievements in science.6As we see in this semester, the rules of calculus Remain essentially the same as we move into Higher dimensions.正如我们在本学期将了解到的，正如我们在本学期将了解到的，当我们进入高维时，微积分的当我们进入高维时，微积分的 法则本

5、质上保持原样。法则本质上保持原样。 我们需要明白在同一时间里我们需要明白在同一时间里各个方向各个方向的变化，虽然必须引进一些新记号，其中包括第七章的的变化，虽然必须引进一些新记号，其中包括第七章的向量符号，但幸运的是并不需要彻底改造原有理论。向量符号，但幸运的是并不需要彻底改造原有理论。 We need to keep track of multiple directions of change at the same time, necessitating some new notation that uses the vector notation of chapter 7, but fo

6、rtunately we do not need to reinvent the theory.7第八章 多元函数微分学及其应用第三节 全微分第一节 多元函数的基本概念第二节 偏导数第四节 多元复合函数的求导法则第五节 隐函数的求导公式第一章 函数与极限第二章 导数与微分第三章 微分中值定理与导数的应用第八节 多元函数的极值及其求法第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 方向导数与梯度8 第八章 第一节第一节一、一、二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 n 维空间维空间92Vr h

7、 这里r, h是两个独立取值的变量, 引例引例(圆柱体的体积)当r, h取定一对值( , )(0,0)r hrh时, 就有确定的V 与之对应.( , )VV r h 二元函数二元函数hr一元函数的定义域可用数轴上的点来表示,而二元函数的定义域需用平面上的点平面上的点来表示.10n 元有序数组),(21nxxx),(21nxxx n 维空间中的每一个元素称为n维空间中两点),(),(2121nnyyyQxxxP距离定义为2222211)()()(nnyxyxyxPQ.nR记作设n为正整数,称为n 维空间, 2 , 1,),(21niRxxxxRinn空间中的一个点. 的全体间的一一. . n 维

8、空间维空间111. 邻域邻域点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. . ),(),(0yxPU(圆邻域)0PP)()(2020yyxx几何表示：Oxy. P0 将邻域去掉中心,称为去心邻域.记为),(0 PU 122. 区域区域EP 41),(221yxyxE如设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点.若存在点 P 的某一邻域 U(P ) 则称 P 是 E 的内点. E 的内点属于的内点属于E .如果点集 E 的点都是 E 的内点， E， 则称 E 为开集.xyo13EP 如果点P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，也有不属于E 的点，则称P 为 E 的边界点.边界点边界

9、点 P 本身可以属于本身可以属于E ，也可以不属于也可以不属于E.E 的边界点的全体称为 E 的边界.41),(222yxyxE如4122yx满足的点都是其内点， 且属于2E；122 yx满足的点是边界点，不属于2E422 yx满足的点是边界点， 且属于2E；.14 若开集 D 内的任意两点，都可以用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D ，则称开集 D 是连通的.连通的开集称为开区域(或区域)41 | ),(221yxyxE如xyo41 | ),(223yxyxE如xyo开区域与其边界的并集称为闭区域150| ),( yxyx有界闭区域无界开区域xyo如：( , )EU O r41 | ),

10、(22yxyx对于点集 E，若存在某正数 r，使得 , 则xyo称点集 E 为有界点集有界点集；否则称为无界点集无界点集 .163 3. .聚点聚点(1) 内点一定是聚点内点一定是聚点, 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；(2) 点集点集 E 的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22yxyx如，但不属于集合1| ),(22 yxyx又如边界上的点都是聚点，且属于集合若平面上的点 P 任一邻域内总有无穷多个点属于点集 E, 则称点 P 为 E 的聚点聚点.(0,0)既是其边界点也是其聚点E17二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体

11、积 三角形面积的海伦公式,2hrV2cbap半周长cba0, 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr18定义定义1. 设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .多元函数的定义域：(1)由其数学表达式有意义的点集所确定；(2)由其相应的实际问题的实际意义所决定.映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数.19定义定义1. 设非空点集,RnD DPPfu, )(或点集 D 称为函数的定义域

12、定义域 ; 数集DP,Pfuu)(称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作),(21nxxxfu20多元函数的定义域：(1)由其数学表达式有意义的点集所确定；(2)由其相应的实际问题的实际意义所决定.二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数.21例例1. 求下列函数的定义域:(1)221yxz(2)222)3arcsin(yxyxz解：解： 221yxz的定义域为1),(22 yxyx222)3a

13、rcsin(yxyxz(1) 二元函数的定义域为222, 42),(yxyxyx由 xoy 平面上的单位圆所围成，是有界闭区域。(2) 二元函数2oyx222xzy二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面 .12Rxyzo定义域为图形如右图所示.2R该曲面 在 xoy 坐标面上的投影区域 D即二元函数的定义域.23三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数,R),(nDPPf, ) ,(0PUDP,-)(APf则称 A 为函数当 n

14、=2 时, 记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：),(lim0yxfAPfPP)(lim0P0 是 D 的聚点，若存在常数 A ,对一切记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有对任意正数 , 总存在正数 ,24注：注：（1）二元函数的极限也叫二重极限二重极限; ),(lim00yxfyyxx（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似与一元函数类似；),(lim0yxfAyxfyyxx),(lim00例例2. 求极限 22200sin()lim.xyx yxy 利用适当变量代换 ，把二重极限化为一元函数的极限； 两边夹准则 无穷小的等价代换 极限的四则

15、运算法则25例例2 2 求极限 22200sin()lim.xyx yxy解:22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1222yxyxx21, 00 x. 0)sin(lim22200yxyxyxyxu226注：注：（3）定义中 的方式是任意的.0PP ),(lim0yxfAyxfyyxx),(lim00例例4. 证明 不存在 26300limyxyxyx例例3. 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的极限是否存在讨论函数27例例3 证明 不存在 证26

16、300limyxyxyx取,3kxy 26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在28例4.4. 讨论函数0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性解解取kxy 2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化， 极限故函数 f (x, y) 在(0,0)处不连续不存在2200limyxxyyx29四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 n 元函数)(Pf定义在 D 上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点若函数在 D 上各

17、点处都连续, 则称此函数在 D 上,0DP 聚点如果存在否则称为不连续,0P此时称为间断点 .则称 n 元函数连续.连续； 30函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.函数11),(22yxyxf上间断.122 yx在圆周31闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（2 2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（3 3）介值定理

18、）介值定理 有界闭区域上的多元连续函数是有界的.（1 1）有界性）有界性32多元初等函数多元初等函数：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域）一元函数的极限运算法则同样适用于多元函数；多元连续函数的复合函数仍是连续函数； 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算 和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数.33.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例5.求111lim00yxyx是初等函数，111),(yxyxf点 (0,0) 在其定义域内，)0

19、, 0(111lim00fyxyx在该点连续，即111),(yxyxf因此函数利用连续性计算二重极限：利用连续性计算二重极限：342.多元函数极限的概念多元函数极限的概念3.多元函数连续的概念多元函数连续的概念4.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数基本概念内容小结1.多元函数的定义多元函数的定义35计算二重极限的常用方法计算二重极限的常用方法(1) 利用二元函数连续性的定义计算二重极限； (如例5）(2) 利用适当变量代换把二重极限化为一元函数的极限；(如例2）(3) 利用两边夹准则计算二重极限；例2. 求极限 22200sin(

20、)lim.xyx yxy.11lim00yxyxyx例5. 求极限36证明二重极限不存在的思路证明二重极限不存在的思路000( , )(,)( , )P x yP xyf x y(1)当点以不同的方式趋于点 时，函数00lim( , )xxyyf x y趋向于不同的极限，则可断定不存在；00lim( , )xxyyf x y则可断定不存在.000( , )(,)P x yP xy(2)当点按某一种方式趋于点 时函数极限不存在，(如例3，4）(如练习题4）37多元函数的基本概念练习题2224.( , )arcsinln(1)xyxf x yyxy求的定义域.222.(,),( , ).yf xyxyyxf x yx 设求二元函数12222302220sin.lim.()xyxyxyxy求二重极限3222222001 cos().lim()xyxyx yxy讨论二重极限的存在性.40000.( , )(,)( , )lim( , )?xxyyx yxyf x yAf x yA若点沿着无数多条平面曲线趋向于点时，函数都趋向于 ，能否断定538练习题练习题2224.( , )arcs