垂径定理推论

1、O.CAEBD垂径定理垂径定理观察并回答观察并回答 （1）两条直径）两条直径AB、CD，CD平分平分AB吗？吗？（2）若把直径）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，向下平移，变成非直径的弦，弦弦AB是否一定被直径是否一定被直径CD平分？平分？?A?D?O?C?B?A?D?O?C?B思考：当非直径的弦思考：当非直径的弦AB与直径与直径CD有什么位置关系时，弦有什么位置关系时，弦AB有可能被直径有可能被直径CD平分？平分？OABCDE 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E . 条件条件CD为直径为直径CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理

2、的几何语言叙述:CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1 1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论结论AE=BEAC=BCAD=BD垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CDAB垂径定理垂径定理l如图如图,小明的理由是小明的理由是:l连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM

3、，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC?=BC,AD?=BD.判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦）缺一缺一不可！不可！我学习，我快乐我学习，我快乐Ramming foundation 判断下列图形，能否使用判断下列图形，能否使用垂径定理垂径定理？定理辨析定理辨析E

4、DCOAB?D?C?O?A?B?E E O C D A BECOAB?E?D?O?A?B?E?O?A?B垂径定理垂径定理三种语言三种语言l定理定理:?垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦,?并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.l老师提示老师提示:l垂径定理是圆中一个垂径定理是圆中一个重要的结论重要的结论,三种语三种语言要相互转化言要相互转化,形成形成整体整体,才能运用自如才能运用自如.OABCDMCDAB,如图如图?CD是直径是直径,AM=BM, ?AC?=BC,?AD=BD.双基训练双基训练判断：判断：(?)(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,?并且平分并且

5、平分?弦所对的两条弧弦所对的两条弧.?(?)(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.?(?)(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.?如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求 O的半径。的半径。E.ABO练一练：试 金 石解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米?AE4厘米厘米?在在Rt?AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米? O的半径为的半径为5厘米。厘米。O

6、 OA AB BE E变形变形2 2、CE=8,DE=2,CE=8,DE=2,则则AB=AB= 。D DC C变形变形1 1、AB=8,AB=8,CD=10,CD=10,则圆心则圆心O O到到ABAB的距离的距离 是是 。变形变形3 3、CD=10,AB=8,CD=10,AB=8,则则DE=DE= 。3 38 82 2若若CDCD为圆为圆O O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于点于点E,E,到弦的距离用到弦的距离用d表示，半径用表示，半径用r表示，表示，弦长用弦长用a表示，这三者之间有怎样的关表示，这三者之间有怎样的关系？系？如图，两个圆都以点如图，两个圆都以点O O为圆心，为圆心，求证求

7、证:AC=BD:AC=BDO OA AB BC CD D垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?垂径定理的垂径定理的逆定理逆定理l如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM?CD是直径是直径,?AM=BM,?CDAB,

8、AC?=?BC,?AD?=?BD.知二推三知二推三垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件条件结论结论命命 题题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平?分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.?垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦

9、所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.?CD是直径是直径,?AM=BM,?CDAB, AC=BC,AD=BD.l填空：如图，在填空：如图，在O中中 l（1）若若MNAB，MN为直径；则为直径；则l （ ），（），（ ），（），（ ）；）；l（2）若若ACBC，MN为直径为直径；AB不是直径，则不是直径，则

10、l （ ），（），（ ），（），（ ）；）；l（3）若若MNAB，ACBC，则则l （ ），（），（ ），（），（ ）；）；l（4）若弧若弧AM弧弧BM，MN为直径，则为直径，则l （ ），（），（ ），（），（ ）。）。COBAMN我能行！我能行！Upper formation building 判断判断垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( )弦所对的两弧中点的连线弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦垂直于弦,并且经过圆心并且经过圆心 ( )圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( )平分弦的直径垂直于弦平分弦

11、的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 ( )圆内两条非直径的弦不能互相平分（圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）直径直径两条直径两条直径不是直径不是直径（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)不是直径不是直径直径直径1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.2.弦垂直于直径，这

12、条直径就被弦平分弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCDO(5)ABCDO(6)E1 1、如图，在、如图，在O O中，中，ABAB为为O O的弦，的弦，C C、D D是是直线直线ABAB上两点，且上两点，且ACACBDBD求证：求证：OCDOCD为等腰三角形。为等腰三角形。ABCDOEABCDO2 2、如图如图，两个圆都以点，两个圆都以点O O为圆心，小圆的为圆心，小圆的弦弦CDCD与大圆的弦与大圆的弦ABAB在同一条直线上。你认在同一条直线上。你认为为ACAC与与BDBD的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？G变式变式1.?已知：如图，线段已知：如图，线段AB与与 O交于交于

13、C、D两点，且两点，且OA=OB?求证：求证：AC=BD?BOACD证明圆中与弦有关证明圆中与弦有关的线段相等时的线段相等时, , 常借常借助垂径定理助垂径定理, ,利用其利用其平分弦的性质来解平分弦的性质来解决问题决问题. . M如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGHMN3452如图为一圆弧形拱桥，半径如图为一圆弧形拱桥，半径OA?=?10m，拱高为，拱高为4m，求拱桥跨度，求拱桥跨度AB的长。的长。 ACBDO1046816变式变式2?连接连接?OC，OD，设，设?OC=OD，求证：求证：AC=BDD

14、OCAB练习练习1:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，?CEB=30，DE=9，CE=3，求弦求弦AB的的长。长。OABCDEF2:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于D，OD=4?，弦，弦AC=?，?求圆求圆O的半径。的半径。10DCEOABABCDEO试试一试一试挑战自我挑战自我填一填填一填l1、判断：判断：l?垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对?的两条弧的两条弧.?（?）l平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所?对的另一条弧对的另一条弧.?（?）l经过弦的中点的直径一定

15、垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.?（?）l圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.?l弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.?（?）l2.已知：如图已知：如图, O?中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有?:?.图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有:?.FEOMNABCDDcm5251.P1.P为为OO内一点内一点, ,且且OP=2cm,OP=2cm,若若OO的半径的半径为为3cm,3cm,则过则过P P点的最短弦长等于点的最短弦长等于

16、( )( ) A.1cm B.2cm C. Cm D. A.1cm B.2cm C. Cm D. 2. 2.已知已知:O:O中弦中弦ABCDABCD且且AB=9cm,CD=12cm, AB=9cm,CD=12cm, OO的直径为的直径为15cm,15cm,则弦则弦AB,CDAB,CD间的距离为间的距离为( )( ) A.1.5cm B.10.5cm; A.1.5cm B.10.5cm; C.1.5cm C.1.5cm或或10.5cm D.10.5cm D.都不对都不对; ;COABCD5OP23解：（解：（1） OAB+ AOC=90 AC=CB，OC 是半径（已知）是半径（已知）OC AB(

17、如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）这条弧所对的弦） ADO=90 OAB=90 -35 =55 ABCDO如图，在扇形如图，在扇形OAB中，中，C是是AB的中点，的中点，OC交交AB于点于点D AOC=35 ,AD=16cm求（求（1） OAB的度数（的度数（2）AB的长的长已知：如图，已知：如图， O?中，中，?AB为为?弦，弦，C?为为?弧弧AB?的中点，的中点，OC交交AB?于于D?，AB?=?6cm?，CD?=?1cm.?求求 O?的半径的半径OA.DOABCxx-1322231 xxl课堂学习检测课堂学习检测l一、基础知识填空一、基础知识填空l1圆是_对称图形，它的对称轴是_；圆又是_对称图形，它的对称中心是_l2垂直于弦的直径的性质定理是_l3 平 分 _ _ _ _ _ _ _ _ 的 直 径 _ _ _ _ _ _ _ _ 于 弦 ， 并 且 平 分_l二、填空题二、填空题l4圆的半径