力矩与平面力偶理论

1、1第第3 3章章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论2 31 力矩的概念与计算力矩的概念与计算 22 力偶及其性质力偶及其性质 23 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡第第3 3章章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论 力力F对刚体产生的绕平面上对刚体产生的绕平面上O 点的转动效应取决于：点的转动效应取决于： 转动效应的强度：转动效应的强度：Fd； 转动的方向：顺时针或逆时针。转动的方向：顺时针或逆时针。 力对点之矩（力矩）是为了描力对点之矩（力矩）是为了描述刚体运动中的转动效应。述刚体运动中的转动效应。OAFBd一、力对点的矩一、力对点的矩( (力矩力矩) )定义定义: 为力对

2、点之矩。为力对点之矩。O( )MFFd 力使刚体绕矩心力使刚体绕矩心 逆时针转动逆时针转动 时为正，时为正， 顺时针转动顺时针转动 时为负。时为负。 正负规定正负规定 ：O( )2MFFdOAB 其中：其中：O 为参考系中的某一点，称为矩心。为参考系中的某一点，称为矩心。d 为矩心至力为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。作用线的垂直距离，称为力臂。OAFBd平面中力对点之矩是一个代数量。平面中力对点之矩是一个代数量。力矩在下列两种情况下等于零：力矩在下列两种情况下等于零： 1. 力的大小等于零；力的大小等于零； 2. 力的作用线通过矩心，即力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力臂等于零。 力

3、矩的单位常用力矩的单位常用Nm或或kNm。OAFBd6 若FR为两个共点力F1 和F2的合力，则合力对平面内任一点的矩，等于分力对同一点之矩的代数和，即 MO(FR) = MO(F1) + MO(F2) 二、合力矩定理二、合力矩定理证明：证明：由合力投影定理有，Od=Ob+OcA。 B F1CF2DFRx。Ocbd因此， MO(FR) = MO(F1) + MO(F2)又 MO(F1) = 2SOAB=OAObMO(F2) = 2SOAC=OAOcMO(FR) = 2SOAD=OAOd例题例题3-13-1：图示梁受到载荷集度为：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作的均布载荷的作用，求均布载荷的

4、合力及其作用线位置。用，求均布载荷的合力及其作用线位置。00( )2llxqlQq x dxqdxl解解: :根据合力投影定理，根据合力投影定理，则合力的大小为：则合力的大小为：再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。假设合力假设合力Q的作用线距离的作用线距离A点的距离为点的距离为xC 。lxqqx2023lCqlxqlxqdx xl23Clx 思考：这个力系的合力及作用线位置思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq19 如图所示，一带轮直径D=400mm，胶带拉力FT1=1500N，FT2=750N，与水平线的夹角=15。求它们对轮心O之矩。FT1F

5、T2OD 应用力矩计算公式，胶带拉力沿轮的切线方向，则力臂均为 ,而与角无关，故d=D/2MO(FT1)=-FT1D/2=-300 NmMO(FT2)=FT2D/2=150 Nm10ODDFn 如图所示，作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆直径D=160mm，压力角=20。求啮合力Fn=1000N对于轮心O之矩。ODDFnFtF 解：直接用定义求解解：直接用定义求解MO(Fn)=-Fn(Dcos)/2 =-75.2 Nm应用合力矩定理求解应用合力矩定理求解Ft=FncosFr=FnsinMO(Fn)= MO(Ft)+ MO(Fr) =-(Fncos) D/2+0 =-75.2Nm11 把两

6、个大小相等，作用线不重合的反向平行力把两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫叫力偶力偶，常记为：，常记为：一、一、 力偶的定义力偶的定义(F,F)无法再简化的简单力系之一。无法再简化的简单力系之一。 力偶作用面：由一对力力偶作用面：由一对力 F F 所组成的平面；所组成的平面； 力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用用 d d 表示；表示；度量转动作用效应的物理量。度量转动作用效应的物理量。单位为单位为Nm或或kNm。 力偶系：力偶系：作用于刚体上的一作用于刚体上的一群力偶。群力偶。使刚体的转动状态发生改变。使刚体的转动状态发生改变。FFd力偶

7、的作用面力偶臂二、力偶的等效定理和性质二、力偶的等效定理和性质作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。1. 平面力偶的等效定理平面力偶的等效定理两个推论两个推论： 力偶可在其作用面内任意移动，而不影响它对刚力偶可在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。体的作用效应。 Mr r F r rd(a) Fr rFr r Mr r F r r d/ (c) Fr r Mr r F r rd(b)Fr r 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力只要保持力偶矩

8、大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。作用效应。152. 力偶的性质力偶的性质 （2）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本身又不平衡，也不能与一个力平衡（身又不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来力偶只能由力偶来平衡平衡）。是一个基本的力学量。）。是一个基本的力学量。（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。( ,)()oABMF FrrFM rr rrrrrBAMrFrrr力偶矩力偶矩FFr

9、r因因（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。而改变。( ,)()()oooMF FMFMFrr rrrrrABrFrFrrrr3、力偶的表示方法、力偶的表示方法MM相同处：两者量纲相同；相同处：两者量纲相同； 作用效应相同。作用效应相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶矩是常量。力偶矩是常量。联联 系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。偶矩。三、力对点的矩与力偶矩的区别与联系三、力对点的矩与力偶矩的

10、区别与联系19平面力偶系：平面力偶系：作用面共面的力偶系称为平面力偶系一、平面力偶系的合成平面力偶系的合成F2dF2dF1F1d1F2F2d2F3F3d3dF1dF1dF3dF3dFRFRd1F1d=F1d1/dF2d=F2d2/dF3d=F3d3/dFR=F1d+F2d-F3dFR=F1d+F2d-F3dM=FRd=(F1d+F2d-F3d)d =F1d1+F2d2-F3d3M=M1+M2+M3 平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶系各力偶力偶矩的代数和于力偶系各力偶力偶矩的代数和.122RMMMMM结论：结论：21 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系

11、平衡的充要条件是: :所有各分力偶矩的代数所有各分力偶矩的代数和等于零。和等于零。 二、平面力偶系的平衡二、平面力偶系的平衡M=0OBDA1M2M例题例题 3-4 图示的铰接四连杆机构图示的铰接四连杆机构OABD，在杆，在杆OA 和和BD 上上分别作用着矩为分别作用着矩为 和和 的力偶，而使机构在图示位置处的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。于平衡。 已知已知OA = r，DB = 2r，= 30，不计杆重，试求，不计杆重，试求 和和 间的关系。间的关系。1M2M1M2MOAABF1MOFDBBAF2MDF解：解：1）画受力图，杆）画受力图，杆AB为二力杆。为二力杆。aABCMbcBCCFBF

12、例题例题 3-5 图示机构在图示位置处于平衡。图示机构在图示位置处于平衡。解：解：1）画受力图，）画受力图，BC为二力体。为二力体。ACMCFAF220AMFab0,M 2）列平衡方程：）列平衡方程：22BCCAMFFFFab22AMFab已知，已知，a:b=c:a,不计杆重，求不计杆重，求A，B两点的约束力。两点的约束力。2）分别写出杆）分别写出杆AO 和和BD 的平衡方程：的平衡方程：1cos0ABMFr22cos0BAMF r0,M 212ABBAFFMMOAABF1MOFDBBAF2MDF例题例题 3-6 各构件不计自重，在构件各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为上作用一力偶矩为

13、M的力偶。试求支座的力偶。试求支座A的约束力。的约束力。解：解：1）以）以BC构件为研究对象，画出分离体及其受力图。构件为研究对象，画出分离体及其受力图。根据力偶平衡条件，列平衡方程根据力偶平衡条件，列平衡方程 ：C0,0MMFl 2）以）以ACD构件为研究对构件为研究对象，画出分离体受力图。象，画出分离体受力图。根据力偶平衡条件，列平根据力偶平衡条件，列平衡方程：衡方程：DC0,0MFlFl DMFlA,xMFlAyMFlA A点约束力为点约束力为: : 方向与图示一致。方向与图示一致。1M2M2MAF1OF1MAFCF例题例题 3-7 图示使机构在图示位置处于平衡。图示使机构在图示位置处于

14、平衡。已知，已知，OA=a， M1，不计杆重，求，不计杆重，求M2。解：解：1）画受力图。）画受力图。2）列平衡方程：）列平衡方程：0,M 曲柄曲柄OA：0,M 摆杆摆杆O1B：1sin300AMFOA210AMFO A又：又：AAFF 可得：可得：214MM28M1M2M3M4 如图所示，用多轴钻床在水平放置的工件上同时如图所示，用多轴钻床在水平放置的工件上同时钻四个等直径的孔钻四个等直径的孔,每个钻头的主切削力在水平面内组成每个钻头的主切削力在水平面内组成一力偶，各力偶矩的大小为一力偶，各力偶矩的大小为 ,转向转向如图，求工件受到的总切削力偶矩是多大如图，求工件受到的总切削力偶矩是多大? 15N m M1=M2=M3=M4解解:由 M=Mi 4 ( 15)60 N mM M1+M2+M3+M429 梁梁AB上作用一力偶上作用一力偶,其力偶矩大小为其力偶矩大小为 ,转转向如图，梁长向如图，梁长l=5m,不计自重。求支座不计自重。求支座A、B的约束力。的约束力。 100 N m MABFBFAMl解解:由平面力偶系的平衡方程M=0 FAl