第3章 恒定电流的电场和磁场

1、第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 3.2 3.2 磁感应强度磁感应强度 3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.4 3.4 矢量磁位矢量磁位 3.5 3.5 磁磁偶极子偶极子 3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 3.8 3.8 互感和自感互感和自感 3.9 3.9 磁场能量磁场能量 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 3.1.1 3.1.1 电流密度电流密度 l流动方向VS1.1.体体电流密度电流密度设通过设通过SS的电流为的电流为

2、II，则该点处的电流密度，则该点处的电流密度J J为为 ndSdInSIJS0lim通过面积通过面积S S的电流就的电流就等于电流密度等于电流密度J J在在S S上的通量，即上的通量，即 SSdSJSdJicosvJ2. 2. 面电流密度面电流密度 ndldInlIJlS0lim3.1.2 3.1.2 电荷守恒定律电荷守恒定律 VSdVdtddtdqSdJdVtSdJVS0dVtJV要使这个积分对任意的体积要使这个积分对任意的体积V V均成立，必须使被均成立，必须使被积函数为零，即积函数为零，即 0tJ0t0 JSSdJ0由于由于3.1.3 3.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 E

3、J材 料 电导率/(S/m) 铁(99.98%) 107 黄铜 1.46107 铝 3.54107 金 3.10107 铅 4.55107 铜 5.80107 银 6.20107 硅 1.5610-3 ABl dE0ll dElABl dEEdlE) (3.1.4 3.1.4 焦耳定律焦耳定律 在导体中，沿电流线方向取一长度为在导体中，沿电流线方向取一长度为l l、截面为、截面为S S的体积元，该体积元的体积元，该体积元内消耗的功率为内消耗的功率为 VEJSlEJIlEIUP 当当V V00，得导体内任一点的热功率密度，得导体内任一点的热功率密度20limEEJVPpVEJp焦耳定律的微分形式

4、。焦耳定律的微分形式。 3.1.5 3.1.5 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 00EJlSl dESdJ00电源外部导体中恒定电场的基本方程：电源外部导体中恒定电场的基本方程： 与其相应的积分形式为与其相应的积分形式为 由于恒定电场的旋度为零，因而可以引由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位入电位, , 。在均匀导体内部。在均匀导体内部( (电导率电导率为常数为常数) )，有，有 E0)(2E3.1.6 3.1.6 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 0)(0)(1212JJnEEn或或 ttnnEEJJ2121恒定电流场的边界条件为恒定电流场的边界条件为 在恒定电场中，在

5、恒定电场中， 用电位用电位表示的边界条件为表示的边界条件为 21nn2211 时，时， 分界面上的面电荷密度为零。分界面上的面电荷密度为零。 1122应用边界条件，可得应用边界条件，可得 2121tantan 可以看出，当可以看出，当1 12 2，即第一种媒质为良导体，即第一种媒质为良导体时，第二种媒质为不良导体时，时，第二种媒质为不良导体时， 只要只要1 1/2, /2, 2 200，即在不良导体中，即在不良导体中， 电力线近似地与分界面电力线近似地与分界面垂直。这样，垂直。这样，可以将良导体的表面看作等位面。可以将良导体的表面看作等位面。 3.1.7 3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟恒

6、定电流场与静电场的比拟 恒定电场与静电场的比较恒定电场与静电场的比较 当某一特定的静电问题的解已知时，与其当某一特定的静电问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换（将（将D D、q q和和 换为换为J J、I I、 ）直接得出。这种）直接得出。这种方法称方法称静电比拟法静电比拟法。 静电场中一个重要内容是求电容，恒定电静电场中一个重要内容是求电容，恒定电场中重要内容是求电导。利用静电比拟法，若场中重要内容是求电导。利用静电比拟法，若已知电容已知电容C C就可以求出电导就可以求出电导G G。21l dESdEUqCS21l dESdEUIG

7、SaadnC1aadnG1例如，将金属导体例如，将金属导体1 1、2 2作为正、负极板置于无作为正、负极板置于无限大导电媒质中，如上图所示，可用静电比拟限大导电媒质中，如上图所示，可用静电比拟法从电容计算极板间的电导。法从电容计算极板间的电导。求电导的方法：求电导的方法：1 1、假设电极间流过电流、假设电极间流过电流I I，然后按照，然后按照I IJ J E E U U G G步骤（或假设两电极间电压步骤（或假设两电极间电压U U，然后按照，然后按照U UE E J J I I G G ）求得）求得G G。这种方法适用于。这种方法适用于场分布具有对称性的情况。场分布具有对称性的情况。2 2、求

8、解恒定电场的边值问题，得到电位函数、求解恒定电场的边值问题，得到电位函数 ，再按照再按照 E E J J I I G G 步骤求步骤求G G。3 3、当恒定电场与静电场具有相同的边界条件时，、当恒定电场与静电场具有相同的边界条件时，利用静电比拟法，若已求得静电场中两导体间的利用静电比拟法，若已求得静电场中两导体间的电容，可由对偶关系电容，可由对偶关系 求出求出G G。 例例 3-1 3-1 电导率为电导率为的均匀无界电介质中，有两个半的均匀无界电介质中，有两个半径分别为径分别为r r1 1和和r r2 2的理想导体小球，两球间的距离的理想导体小球，两球间的距离d d r r1 1 ，drdr2

9、 2，求两导体球面间的电阻。，求两导体球面间的电阻。 例例 3-2 3-2 设同轴线的内导体半径为设同轴线的内导体半径为a a，外导体内半径，外导体内半径为为b b，内外导体间填充电导率为，内外导体间填充电导率为 的导电媒质。求同的导电媒质。求同轴线单位长度的漏电电导。轴线单位长度的漏电电导。abr3.2 3.2 磁磁 感感 应应 强强 度度 安培定律安培定律 1. 安培力定律：安培力定律：在真空中载有电流在真空中载有电流I I1 1的回路的回路C C1 1上任上任一线元一线元d dl l1 1对另一载有电流对另一载有电流I I2 2的回路的回路C C2 2上任一线元上任一线元d dl l2

10、2的的作用力表示为作用力表示为 31122012)(4RRl dIl dIFd31122012)(421RRl dIl dIFCC 31102212124RRl dIul dIFCC令令 131104CRRl dIB若电流不是线电流，而是具有体分布的电流若电流不是线电流，而是具有体分布的电流J J，则改为，则改为 ) (4)(30dVRRrJrBV) (4)(30dSRRrJrBSS2.2.磁感应强度磁感应强度对以速度对以速度v v运动的点电荷运动的点电荷q q，其在外磁场，其在外磁场B B中受的力是中受的力是 BvqF 如果空间还存在外电场如果空间还存在外电场E E，带电，带电q q以速度以

11、速度v v运动的点电运动的点电荷在外电磁场荷在外电磁场( (E E，B B) )中受到的电中受到的电磁力为磁力为 )(BvEqF上式称为洛仑兹力公式。上式称为洛仑兹力公式。 例例 3-3 3-3 求载流求载流I I的有限长直导线外任一点的磁场。的有限长直导线外任一点的磁场。 例例 3-4 3-4 （习题（习题3-83-8）一个正）一个正n n边形（外接圆边形（外接圆半径为半径为a a）线圈中通过的电流为）线圈中通过的电流为I I，试证明线，试证明线圈中心的磁感应强度为圈中心的磁感应强度为nanIBtan20 作业：作业：如图表示一条如图表示一条“无线长无线长”传送电流的扁平铜传送电流的扁平铜片

12、，宽度为片，宽度为a，厚度不计，电流为，厚度不计，电流为I，求离铜片中心，求离铜片中心线正上方线正上方y处处P点的磁感应强度。点的磁感应强度。3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.3.1 3.3.1 磁通连续性原理磁通连续性原理 磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量( (或或磁通磁通) )，单位是，单位是WbWb( (韦伯韦伯) )，用，用表示表示： sSdB如如S S是一个闭曲面，是一个闭曲面， 则则 SSdBSCCSSRSdRlIdSdRRlIdSdB303044SSCSdRlIdSdB140由矢量恒定式由矢量恒定式 VSSd

13、AdVA则有则有 dVRlIdSdBVSC14001R所以所以 SSdB0使用散度定理使用散度定理SVdVBSdB00 B 上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度应强度B B是一个是一个无无散场散场。 3.2.2 3.2.2 安培环路定律安培环路定律 安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。的依赖关系。 安培总结出磁感应强度与电流的一般规律安培总结出磁感应强度与电流的一般规律: : 真空中磁感应强度沿闭合路径的线积分等于该闭真空中磁感应强度沿闭合路径的线积分等于该闭合路径包围电流的代数和乘以合路

14、径包围电流的代数和乘以0 0, , 取与回路成右取与回路成右螺旋关系的电流为正螺旋关系的电流为正, , 反之为负。反之为负。数学表示式为：数学表示式为： Il dBC0Il dBC0 根据斯托克斯定理，可以得安培回路定律的微分形式：根据斯托克斯定理，可以得安培回路定律的微分形式： CCSdBl dB)(由于由于 SSdJISSSdJSdB0)(JB0 上式是安培环路定律的微分形式，它说明上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场磁场的涡旋源是电流的涡旋源是电流。 例例3-63-6半径为半径为a a的无限长直导线，载有电流的无限长直导线，载有电流I I，计算导计算导体内、外的磁感应强度。体内、外的

15、磁感应强度。 例例3-7 3-7 半径为半径为a a的圆柱区域内部有沿轴向方向的电的圆柱区域内部有沿轴向方向的电流，其电流密度为流，其电流密度为计算柱内、外的磁感应强度。计算柱内、外的磁感应强度。arJeJz0注意：注意： 使用安培环路定律求使用安培环路定律求B B和和H H，必须根据磁，必须根据磁场的对称性，选择是场的对称性，选择是H H能提到积分号外或沿回能提到积分号外或沿回路的某段路的某段H H的方向与回路绕行方向垂直的环路。的方向与回路绕行方向垂直的环路。能用安培环路定律求能用安培环路定律求B B和和H H尽量用此方法。尽量用此方法。3.4 3.4 矢矢 量量 磁磁 位位 定义式定义式

16、 AB0 A库仑规范库仑规范 JA0AAA2JA02磁矢位的泊松方程磁矢位的泊松方程对无源区对无源区( ( ) )，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即即 02 AzzyyxxAeAeAeA2222zzyyxxJAJAJA020202VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA4440000J将其写成矢量形式为将其写成矢量形式为 VdVRJA40若磁场由面电流若磁场由面电流J JS S产生，其磁矢位为产生，其磁矢位为 SSdSRJA40线电流产生的磁矢位为线电流产生的磁矢位为 lRlIdA40磁通的计算也可以通过磁矢位表示：磁通的计算也可以通过磁矢位表示： SCSl

17、dASdASdB)( 例例 3-9 3-9 求长度为求长度为l l 的载流直导线的磁矢位。的载流直导线的磁矢位。例例 310 310 一根长直细导线，通有电流一根长直细导线，通有电流I I旁有一个矩旁有一个矩形回路。它的尺寸和位置如图。试用矢量磁位计算形回路。它的尺寸和位置如图。试用矢量磁位计算穿过矩形回路的磁通。穿过矩形回路的磁通。IABCxzba 一个载流回路的磁矩是一个矢量，其一个载流回路的磁矩是一个矢量，其方向与环方向与环路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，路的法线方向一致，大小等于电流乘以回路面积，即其定义为即其定义为 SIm 当场点到载流小线圈的距离远大于它的尺寸当场点到载

18、流小线圈的距离远大于它的尺寸时，这个载流小线圈就是一个时，这个载流小线圈就是一个磁偶极子磁偶极子。可用。可用载流回路的磁矩来描述其磁性质。载流回路的磁矩来描述其磁性质。 磁介质中分子或原子内的电子运动形成分子磁介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，形成分子磁矩电流，形成分子磁矩3.5 3.5 磁偶极子磁偶极子3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。观上不显磁性。在外磁场作用下，分子磁矩定在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介

19、质的磁化。磁介质的磁化。 无外加磁场无外加磁场外加磁场外加磁场B3.6.1 3.6.1 磁化强度磁化强度 VmMV0lim如在磁化介质中的体积元如在磁化介质中的体积元V V内，内， 每一个分子磁矩的大每一个分子磁矩的大小小和方向全相同和方向全相同( (都为都为m)m)， 单位体积内分子数是单位体积内分子数是N N， 则则磁化强度为磁化强度为 mNVmVNM3.6.2 3.6.2 磁化电流磁化电流 可将磁矢位的表示式变形为可将磁矢位的表示式变形为 VVdSRnMdVRMA4400nMJMJmSm3.6.3 3.6.3 磁场强度磁场强度 在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流在外磁场的作用下，磁介

20、质内部有磁化电流J Jm m。 磁磁化电流化电流J Jm m和外加的电流和外加的电流J J都产生磁场，这时应将真空中的都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：安培环路定律修正为下面的形式： SdJJIIl dBSmCm)()(00l dMIl dBCC00CIl dMB0令令 MBH0CIl dH与上式相应的微分形式是与上式相应的微分形式是 JH3.6.4 3.6.4 磁导率磁导率 )(0MHBM M与与H H间的关系为间的关系为 HMmHHHxMHBrm000)1 ()(3.6.5 3.6.5 磁介质中恒定磁场基本方程磁介质中恒定磁场基本方程 0BJHSSCSdBSdJl

21、dH0 例例3-11 3-11 通有电流通有电流I I，半径为，半径为R R的无限长圆柱导体的磁的无限长圆柱导体的磁导率为导率为，其内有一半径为，其内有一半径为a a的不同轴的圆柱空腔，的不同轴的圆柱空腔，两轴线距离为两轴线距离为b b，求空腔内的磁感应强度，求空腔内的磁感应强度B B。3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 Bn的边界条件 1.1.法向边界条件法向边界条件021SnBSnBnnBB12写成矢量形式为写成矢量形式为 0)(12BBnHt的边界条件 2.2.切向边界条件切向边界条件SSdJllHlH)(12若界面上的电流可以看成面电流，若界面上的电流可以看成面电流，

22、 则则 lbJSdJSSlbJlHHlS )(12考虑到考虑到l l= =b bn n, , 得得 bJHHnbS)()(12bJbHHnS)(12SJHHn)(12如果无面电流如果无面电流( (J JS S=0=0)0)(12HHnttHH12 3.3.折射定律折射定律11221122coscossinsinBBHH上式两式相除上式两式相除2121tantan这表明，磁力线在分界面上要改变方向。若介质这表明，磁力线在分界面上要改变方向。若介质1 1为铁为铁磁材料，介质磁材料，介质2 2为空气，此时为空气，此时2 2 1 1, , 则则2 2 1 1，B B2 2 B B1 1。 例例3-12

23、 3-12 如图所示，无限长直线电流如图所示，无限长直线电流I I位于磁导率位于磁导率为为 的磁介质与空气的分界面上。试求的磁介质与空气的分界面上。试求磁介质内外磁介质内外的磁场分布。的磁场分布。IOzx03.8 3.8 互感和自感互感和自感 1. 1.自感：自感：一个回路的自感定义为回路的磁链和回一个回路的自感定义为回路的磁链和回路电流之比，路电流之比， 用用L L表示，表示， 即即 IL11212IM22121IM可以用载流回路可以用载流回路C C2 2的磁场在回路的磁场在回路C C1 1上产生的磁链上产生的磁链2121与与电流电流I I2 2的比来定义互感的比来定义互感M M2121，即

24、，即 2.2.互感：互感：21221121222l dASdBSC1110124CRl dIA 21212101121221101244CCCCRl dl dIMRl dl dIMMM2112例例 313 313 一根长直导线与一边长为一根长直导线与一边长为a ab b的矩形线的矩形线圈共面圈共面。线圈。线圈b b边与直线平行，接近直导线的边与直线平行，接近直导线的b b边到边到直导线的距离为直导线的距离为d d，求两导线间的互感。，求两导线间的互感。IIabrddr思考题：（习题思考题：（习题3-273-27）一个直长导线和一个圆）一个直长导线和一个圆环（半径为环（半径为a a）在同一平面内

25、，圆心与导线的）在同一平面内，圆心与导线的距离为距离为d,d,求它们之间的互感。求它们之间的互感。 当保持回路当保持回路 2 2 的电流的电流i i2 2=0=0时，回路时，回路1 1中的电流中的电流i i1 1在在d dt t时间内有一个增量时间内有一个增量d di i1 1, , 周围空间的磁场将发生改变，周围空间的磁场将发生改变，回路回路1 1和和2 2 的磁通分别有增量的磁通分别有增量d d1111和和dd1212，相应地在，相应地在两个回路中要产生感应电势两个回路中要产生感应电势E E1 1=-d=-d1 11 1/d/dt t和和E E2 2=-=-dd1212/d/dt t。感应电势的方向总是阻止电流增加。感应电势的方向总是阻止电流增加。所以在所以在d dt t时间里，电源作功为时间里，电源作功为 111111111122111diiLdidtiEdtiUdtiU